faktoriál 52: Stirlingův problém

kolik způsobů může být balíček karet uspořádán? Je velmi snadné vypočítat odpověď, ale velmi obtížné pochopit její význam.

Card-Arc

existuje 52 karet. První z nich tedy může být zvolena 52 způsoby. Další může být kterákoli ze zbývajících 51 karet. Za třetí, existuje 50 možností, a tak dále, dokud nezůstane jen jedna karta, takže zůstane pouze možnost, aby byla poslední.

proto je celkový počet možností

52! \equiv 52 \ krát 51 \ krát 50 \ krát \ tečky \ krát 3 \ krát 2 \ krát 1 \,.

toto číslo se nazývá faktoriál 52. Říci, že je to velké množství, je podhodnocení. Program Mathematica lze spočítat pro libovolnou přesností a zadání příkazu Faktoriál přináší následující výsledek:

80658175170943878571660636856403766975289505440883277824000000000000

Ve více komprimované notace, je 8.06582\times 10^{67}, nebo jen jeden údaj o přesnosti, {10^{68}}; to znamená, že 1 následuje 68 nul.

popisující 52!

je obtížné ilustrovat velikost {52!} pokud jde o cokoli praktického. Lidé mluvili o počtu kapek v oceánu nebo o tom, kolik zrn písku by naplnilo Grand Canyon. Tato čísla se nikde nepřibližují {52!}.

počet atomů v pozorovatelném vesmíru se odhaduje na o {10^{80}}, který je bilion krát větší než {52!}. Ale opravdu nám to pomůže představit si, jaké je jedno z těchto čísel? Článek na Wikipedii o jménech velkých čísel popisuje {10^{66}} jako unvigintillion. Tak, {52! \cca 8\krát 10^{67}} je asi osmdesát unvigintillion. Ale tohle je jen jméno.

vesmír je 4 \ krát 10^{17} sekund Starý. Pokud by bylo vybráno náhodné uspořádání karet každou sekundu během celého života vesmíru, byl by vybrán jen nepatrný zlomek všech možných objednávek. Šance, že bude stejná objednávka vybrána dvakrát, je naprosto zanedbatelná. I kdyby se každou vteřinu vybírala miliarda, stále by neexistovala reálná šance na duplikát.

pro zábavný popis ohromující velikosti {52!}http://czep.net/weblog/52cards.html

Stirlingova Aproximace

výpočet počtu {52} je jednoduchá. Stačí vynásobit 52 51, výsledek 50 a tak dále, dokud nedosáhnete 1. Ale jak je to únavné a jak náchylné k chybám!

Tam je krásný výraz, který dává aproximace jakékoli faktoriál, pojmenovaný pro James Stirling (1692-1770), Skotský matematik (i když se zdá, že výsledek byl již dříve uvedl Abraham de Moivre). Aproximace je

n! \approx S_1(n) \equiv \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n

Toto je vlastně první období v asymptotické expanze. Vezmeme-li další termín, máme

n! \approx S_2(n) \equiv \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\left(1+\frac{1}{12n}\right)

po dosazení argumentu {n = 52}, první vzorec dává {S_1(52) = 8.0529\times 10^{67}} což je správné na 2 desetinná místa. Druhý vzorec dává {s_2(52) = 8.06581 \ krát 10^{67}}, s relativní chybou pouze jedné části v milionu.

Další aproximace byla nalezena mezi papíry Indického matematika Srinivasy Ramanujana a publikována v jeho ztraceném notebooku v roce 1988:

\ln (n!)\přibližně n\ln(n)-n+{\frac{1}{6}}\ln(n(1+4n(1+2n)))+{\frac {1}{2}}\ln (\pi).

to dává {52!} na jednu část z miliardy.

míchání a opakované objednávky

při tak obrovském množství možností se člověk může zeptat, zda se náhodně zvolené pořadí balíčku karet vyskytne více než jednou. Díky velmi rozumným předpokladům je snadné tvrdit, že k určitému uspořádání nikdy nedojde dvakrát během života vesmíru. Když tedy karty důkladně promícháte, jste povinni dospět k objednávce, která nikdy předtím nebyla vidět a už nikdy nebude vidět.

zde je však velká podmínka. Míchání karet musí být dostatečně důkladné, aby byla zajištěna skutečná randomizace. Matematické studie ukázaly, že malý počet účinných zamíchání stačí smíchat balíček do náhodného pořadí. Bayer a Diaconis (1992) ukázal, že po sedmi náhodných riffle zamíchá, některý z 52! možné konfigurace jsou stejně pravděpodobné.

admin

Napsat komentář

Vaše e-mailová adresa nebude zveřejněna.