Fyzická nastavení

Naším cílem je poskytnout maximální kvantitativní meze použitelné pro jakékoliv chladicí postup—a to, chceme najít spodní hranici teploty, kterou systém může dosáhnout po jakýkoli proces, který využívá dané prostředky nebo trvalé nějaký daný čas t. Proto musíme povolit nejobecnější kvantovou transformaci, tedy ty, které respektují celkovou úsporu energie a jsou mikroskopicky reverzibilní (jednotné). Toto obecné nastavení zahrnuje termodynamicky nevratné protokoly a také nerealistické protokoly, kde je vyžadována úplná kontrola mikroskopických stupňů volnosti lázně. Překvapivě zde zjistíme, jak bylo zjištěno v případě druhého zákonu25, 27,29, 30, že mít takovou nerealistickou míru kontroly se nezdá být výhodou oproti velmi hrubé kontrole.

ukážeme, že hustota stavů nádrže napomáhající procesu chlazení má důležitý vliv na rychlost chlazení systému. (Hustota stavů Ω (E) je počet stavů s energií e.) vidíme, že čím rychleji Ω (E) roste, tím nižší je teplota, které lze dosáhnout pevnými zdroji nebo v pevném čase. Ještě více: pokud Ω(E) roste exponenciálně nebo rychleji, je v zásadě možné ochlazení na absolutní nulu v konečném čase, což umožňuje porušení třetího zákona. Uvidíme však, že exponenciální nebo superexponenciální Ω (E) by mělo být považováno za nefyzické. To se stává více intuitivní, když se vyjádřil ve smyslu (micro-kanonické) tepelnou kapacitu C(E), vztahující se k S(E)=ln Ω(E), a to prostřednictvím

kde prvočísel představují rozdíly. Pokud Ω(E) roste exponenciálně nebo rychleji, pak C (E) je nekonečný nebo negativní, což je považováno za nefyzické. Pokud Ω (E) je subexponenciální, pak C (E) je kladné. A čím rychleji Ω (E) roste, tím větší C(E) je. Pouze nádrž s nekonečně-dimenzionálním Hilbertově prostoru může udržet S(E) rostoucí pro všechny. E. A skutečně, nekonečně-rozměrné zásobníky jsou ty, které umožňují rychlejší chlazení. Naše výsledky jsou však obecné a vztahují se také na konečný rozměr.

Předpokládejme, že chceme cool kvantový systém s Hilbert prostor dimenze d, a Hamiltonián HS s země-státní degenerace g, mezera nad zemí státní Δ a největší energie. J., Jaké zdroje jsou zapotřebí?

Základní předpoklady

Dovolte nám upřesnit nastavení konkrétněji a sbírat předpoklady přijmeme, (ty, které pocházejí z prvních principů):

(i) považujeme za začátek procesu, kdy systém dosud nebyl uveden do kontaktu s prací úložný systém (váha), ani nádrž, takže zpočátku, globální stát je pS⊗pB⊗pW. Zatímco jiný počáteční počáteční scénář může být zajímavý, jeho zvážení je nad rámec současného dokumentu.

(ii) umožňujeme nejobecnější kvantovou transformaci systému, lázně a hmotnosti, která je reverzibilní (jednotková) a zachovává celkovou energii. Možná se to jeví jako omezující ve srovnání s paradigmaty, které umožňují libovolné interakce hlediska, nicméně to není tento případ, protože svévolné interakce mohou být zahrnuty do modelu, jak je uvedeno v Dodatku H ref. 27 a ref. 25, jednoduše tím, že umožňuje kolísání energie pracovního systému. V mnoha paradigmatech je to implicitně vynuceno předpokládáním, že veškerá chybějící energie se počítá jako práce. Paradigmata, která tento stav uvolňují, v podstatě ignorují energii přenesenou do jiných systémů, nebo tyto jiné systémy považují za klasické. V podstatě jsme se ukládají úspory energie, aby zajistili, že správně účtu pro všechny náklady na energie spojené s interakcí při různých unitaries nebo interakce jde jednoduše přenášet nebo vzít energie z hmotnosti kompenzovat. Proces chlazení je tedy jakékoli transformace formě

, kde U je globální jednotné uspokojující

(iii) dílo, které je spotřebováno v rámci transformace je převzat z hmotnosti. Protože nás zajímají konečná omezení, uvažujeme idealizovanou váhu s Hamiltonianem, který má spojité a neomezené spektrum . S tímto lze simulovat jakýkoli jiný pracovní systém30. Označme wmax nejhorší hodnotu práce spotřebované, to je to,

wmax obecně bude mnohem větší, než průměrná práce 〈W〉. V každém fyzicky rozumném procesu prováděném v konečném čase člověk očekává, že bude konečný.

(iv) také požadujeme, jako v ref. 29, že transformace chlazení dojíždí s překlady na hmotnosti. Jinými slovy, fungování tepelného stroje je nezávislé na původu energií hmotnosti, takže záleží jen na tom, kolik práce je z hmotnosti dodáno. To lze chápat jako definování toho, co je práce-je to pouze změna energie, kterou můžeme vyvolat na nějakém vnějším systému. To také zajišťuje, že váha je pouze mechanismem pro doručování nebo ukládání práce a nejedná se například o skládku entropie (viz výsledek 1 v doplňující diskusi). Zajišťuje také, že proces chlazení vždy ponechává váhu ve stavu, který lze použít při dalším běhu nebo procesu. Tak

kde Hermitian provozovatel Π chová jako . Kromě toho dovolujeme, aby počáteční stav hmotnosti pW byl libovolný. Zejména může být koherentní, což poskytuje výhodu27.

(v) Budeme předpokládat, že vana má objem V a je v tepelné státu v daném inverzní teplota , s ZB oddíl funkce lázně. Hustotu volné energie Lázně (v kanonickém stavu pB) označujeme .

(vi) mikrokanonická tepelná kapacita (2) není záporná C(E) pro všechny energie E. to znamená, že S(E) je sublineární v e. V doplňkových metodách také dokazujeme, že pokud S(E) roste lineárně nebo rychleji, pak je možné dokonalé chlazení v konečném čase.

S těmito předpoklady jsme ukázat, že se dokonale cool systém k absolutní nule, alespoň jeden z těchto dvou zdrojů, objem vany V, nebo nejhorší hodnota práce spotřebované wmax musí být nekonečný. Také jsme vázali nejnižší dosažitelnou teplotu systému z hlediska V a wmax.

Kvantifikaci unattainability z prvních principů

S předpoklady (i)–(vi), budeme uvažovat dva případy, jeden, kde počáteční a konečný stav jsou tepelné, a kde jsme umožňují libovolné počáteční a konečné stavy. Naše první výsledek se týká bývalého, a uvádí, že v jakémkoli procesu, kde je nejhorší práce injekčně je wmax, konečná teplota systému nemůže být nižší než

ve velkém wmax,V limitu. Mikro-kanonické zdarma-hustota energie na inverzní teplota β0 je definována

kde E0 je řešení rovnice Y'(E0)=β0. Připomeňme si, že, když objem lázně V je velké, to je obvykle případ, že fmic(β0)=fcan(β0) a tyhle jsou nezávislé.

Nechte nás analyzovat chování rovnice (7) z hlediska investovaných zdrojů. Jak wmax roste, β0 klesá a fmic se zvyšuje, čímž se získá nižší konečná teplota . Od té doby celý objem závislosti v rovnici (7) je explicitní, tedy větší V také promítá do nižší konečné teploty.

V to, co následuje, nabízíme vázané pro tělesně příslušné rodiny entropies

kde α>0 a ν∈[1/2, 1) jsou dvě konstanty. Takové entropie je rozsáhlý, a pokud jsme si stanovili popisuje elektromagnetické záření (nebo jakékoliv nehmotné bosonic pole) v D-rozměrné krabici objem V. Obecně se předpokládá, že neexistuje žádný jiný rezervoár, který by měl hustotu stavů rostoucích rychleji s E než tento, a rozhodně žádný, který by měl ν≥1. Později odpovídá lázni se zápornou tepelnou kapacitou diskutovanou dříve, což umožňuje chlazení konečným wmax. V Doplňující Diskusi, jsme se přizpůsobit vázán (7) entropie (9), získání

na přední podmínek. Nyní je veškerá závislost na V a wmax explicitní. Zejména pozorujeme, že větší hodnoty V a wmax umožňují nižší teploty. A také větší hodnoty ν, které představují rychlejší růst entropie, což umožňuje nižší teploty.

jak bylo uvedeno výše, procesy chlazení, které považujeme za velmi obecné. Zejména, mohou během procesu měnit Hamiltonian systému, pokud je konečný Hamiltonian identický s počátečním HS. To vylučuje nezajímavou metodu chlazení spočívající v opětovném škálování Hamiltonianu HS→0. Naše hranice však lze snadno přizpůsobit procesu, kde se konečný Hamiltonian liší od původního, jak budeme diskutovat v závěru.

uvažujme nyní obecnější případ, kdy ani počáteční nebo konečný stav nemusí být tepelný, ale může být místo toho libovolný. Jak je již dobře known14,15,17,18,30, unattainability absolutní nula není důsledkem skutečnosti, že cílový stav má nízkou energii, ale spíše to, že má nízkou entropii. Proto, to se přímo promítá do nedosažitelnosti jakéhokoli čistého stavu, nebo obecněji, jakýkoli stav s hodností g nižší než počáteční stav. Tyto typy procesů jsou obecně známé jako vymazání informací nebo čištění. Teď jsme se analyzovat omezení veškerých procesů, které trvá libovolný počáteční stav pS a transformuje jej do konečné státu s podporou na g-rank projektor P. Můžeme vyčíslit nepřesnost transformace chyba . Pro přehlednost budeme předpokládat, že soustava má triviální Hamiltonián HS=0 (obecný případ je nakládáno v Doplňující Diskusi), a označme λmin a λmax nejmenší a největší vlastní čísla a vlastní pS. V Doplňkové Metody, ukážeme, že každý proces pS→ chyba

výsledky jsou uvedeny výše, jakož i jiné větší obecnost uvedeny v Doplňující Diskusi, kvantifikovat naše schopnost cool systém (nebo obecněji, dát to do snížena hodnost, státní), pokud jde o dva zdroje: objem lázně V, a v nejhorším případě kolísání práce spotřebované wmax. Představují tedy formu třetího zákona v tom smyslu, že kladou vazbu na chlazení, vzhledem k určitým omezeným zdrojům. Nyní si to přejeme převést na čas potřebný k ochlazení systému, a uděláme to tak, zvážením pojmu tepelného stroje a vytvořením dvou fyzicky rozumných předpokladů.

Tepelné stroje

připomeňme si, že v oblasti výpočetní složitost vychází z Church-Turingova teze—myšlenka, že bychom zvážit počítač Turingův stroj, a pak zkoumat, jak čas výpočtu váhy s velikostí problému. Různé stroje mohou fungovat odlišně-hlava počítače se může přes paměťovou pásku pohybovat rychleji nebo pomaleji; informace mohou být uloženy v bitech nebo ve vyšších rozměrových paměťových jednotkách a hlava může zapisovat do této paměti různými rychlostmi. Zdá se, že příroda neukládá zásadní omezení rozměru paměťové jednotky počítače ani rychlosti, s jakou může být zapsána. Pro jakoukoli fyzicky rozumnou realizaci počítače a bez ohledu na rychlost těchto operací je však pevná a konečná a teprve poté zkoumáme měřítko času s velikostí problému. A co je důležité, je celkové škálování času se vstupem (polynomiální nebo exponenciální), spíše než jakékoli konstanty. Stejně tak zde uvažujeme o pevném tepelném stroji a předpokládáme, že může v konečném čase přenést konečné množství energie do tepelné lázně. Stejně tak v konečném čase nemůže prozkoumat tepelnou lázeň nekonečné velikosti. Tepelný stroj, který by jinak byl fyzicky nepřiměřený.

můžeme považovat V I wmax za monotónní funkce času t. čím déle náš tepelný stroj běží, tím více práce může pumpovat do tepelné lázně a čím větší je objem lázně, kterou může prozkoumat. Pro každý konkrétní tepelný stroj lze umístit konečnou vazbu na nahrazením těchto funkcí do rovnice (10). Zejména, pokud budeme předpokládat, že interakce je zprostředkována dynamiku místní Hamiltonián, pak se interakce systému s vanou o objemu V a prostorové dimenze d bude nějakou dobu trvat,

kde v je úměrná rychlosti zvuku ve vaně (nebo Lieb–Robinson velocity37), a V1/D lineární rozměr vany. Implementace obecných unitářů trvá mnohem déle než rovnice (12), ale slouží jako dolní hranice. Protože nás zde zajímá škálování teploty s časem, spíše než s konstantními faktory, nemusíme se obávat skutečnosti, že praktické tepelné stroje pracují mnohem pomalejšími rychlostmi. Samozřejmě, stejně jako u skutečných počítačů, tepelné stroje mají obecně rychlosti hluboko pod hranicí Lieb-Robinson. Všimněte si, že navzdory tomu, že V je konečný, Hilbertův prostor lázně může být nekonečně dimenzionální. Pokud by se člověk chtěl mít vázaný, který byl nezávislý na tepelné stroje a nezávislá na rychlosti zvuku, která je vlastnictvím lázni, pak jeden by vždy brát v rychlost světla. I když by taková vazba nebyla prakticky relevantní, byla by zásadní. To je podobné kroky na výpočet, kde získat základní vázán, jeden by měl vzít bránu rychlost být nekonečný (protože tam je žádné zásadní vázán na to) a převést počet bitů použitých v procesu do času vynásobením rychlostí světla.

vztah mezi workem wmax a časem t se získá pozorováním následujícího. V konečném t Není možné injektovat do lázně nekonečné množství práce. Pro jednoduchost zde budeme předpokládat lineární vztah

je-li konstantní u, bude záviset na interakcích mezi systém a hmotnost. Zdůrazňujeme však, že pokud je konkrétní fyzické nastavení nesprávně modelováno vztahy (12) a (13), pak je také dobré jakékoli jiné vázané t≥h1(wmax) a t≥h2(V). Dokud jsou h1 a h2 přísně monotónní funkce, bude držet princip nedosažitelnosti.

Omezení použití tepelných strojů

Pro konkrétní tepelný stroj, můžeme nyní odvodit omezení na teplotě, které může být dosaženo v daném čase t. Od fyzikální systém s nejrychlejší entropie růst, že jsme si vědomi, je záření, stojí za to věnovat další odstavec v rovnici (9), protože to by mělo poskytnout vázán s širokou platnost. Pomocí zvláštní vztahy (12) a (13) a dosazením do rovnice (10) pro případ záření, získáme

velké t limit. Naše vazba (14) může být přímo přizpůsobena jakémukoli jinému vztahu t≥h1 (wmax)a t≥h2(V). Je zajímavé sledovat v rovnici (14) vztah mezi charakteristickým časem (jak dlouho trvá ochlazení na pevnou ) a velikostí systému VS. Využití obvyklého vztahu v d∝VS jsme získat sublinear měřítko,

Něco o výsledek (11) je, že v limitu λmin→0 vázán stává triviální . To lze vyřešit tím, ořezávání počáteční stav pS k podprostor obsahující k největší vlastní čísla a optimalizaci výsledné vázán na jako funkci k. Také toto zkrácení metoda umožňuje prodloužit všechny naše výsledky nekonečně-dimenzionální systémy (d=∞).