V matematice, prsten je algebraická struktura se dvěma operacemi, běžně nazývané sčítání a násobení. Tyto operace jsou definovány tak, aby napodobovaly a zobecňovaly celá čísla. Mezi další běžné příklady prstenců patří kruh polynomů jedné proměnné s reálnými koeficienty nebo kruh čtvercových matic dané dimenze.

Chcete-li kvalifikovat jako kruh, sčítání musí být komutativní a každý prvek musí mít inverzní pod přidáním: například aditivní inverzní 3 je -3. Násobení však obecně tyto vlastnosti nesplňuje. Kruh, ve kterém je násobení komutativní a každý prvek kromě prvku aditivní identity (0) má multiplikativní inverzní (reciproční), se nazývá pole: například množina racionálních čísel. (Jediný prstenec, ve kterém má 0 inverzi, je triviální prstenec pouze jednoho prvku.)

kruh může mít konečný nebo nekonečný počet prvků. Příklad prsten s konečným počtem prvků je , sada zbytky, když číslo je děleno 5, tj. množina {0,1,2,3,4} s operací jako 4 + 4 = 3, protože 8 zbytek 3, když děleno 5. Podobný kroužek může být vytvořen pro další kladné hodnoty .

Formální definice

prsten je množina R je vybaven dvěma binárními operacemi, které jsou obecně označeny + a · a nazývané sčítání a násobení, respektive takové, že:

• (R, +) je abelovská skupiny
• Násobení je asociativní
• levý a pravý distributivní zákony:
  • a·(b + c) = (a·b) + (a·c)
  • (a + b)·c = (a·c) + (b·c)

V praxi, symbol · je obvykle vynechán, a násobení je jen označeny vedle sebe. Předpokládá se také obvyklé pořadí operací, takže a + bc je zkratka pro A +(b * c·. Distribuční vlastnost je specifikována samostatně pro násobení vlevo a vpravo, aby pokryla případy, kdy násobení není komutativní, jako je kruh matic.

typy kroužků

Unital ring

kruh, ve kterém je prvek identity pro násobení, se nazývá unital ring, unitary ring nebo jednoduše ring s identitou. Prvek identity je obecně označován 1. Někteří autoři, zejména Bourbaki, požadují, aby jejich prsteny měly prvek identity, a volání prstenů bez identity pseudorings.

komutativní kruh

kruh, ve kterém je operace násobení komutativní, se nazývá komutativní kruh. Takové komutativní kruhy jsou základním předmětem studia v komutativní algebře, ve kterém se obecně předpokládá, že kruhy mají jednotku.

dělicí kroužek

další informace viz: dělicí kroužek.

unital kruh, v němž každý nenulový prvek má inverzní, to znamená, že prvek a−1 takový, že a−1a = aa−1 = 1, se nazývá dělení kruhu nebo zkosení pole.

Homomorfismy kroužků

prsten homomorphism je mapování kroužku vyzvánění respektování prsten operace. To je,

v Případě, že kroužky jsou unital, to je často předpokládal, že mapy totožnosti prvek totožnosti prvek .

homomorphism můžete mapu většího souboru na menší soubor, například, prsten mohla by to být celá čísla a mohl by být mapovány na triviální prsten, který obsahuje pouze jeden prvek .

Subrings

Pokud je prsten, podmnožina se nazývá subring pokud je prsten za prsten operace zdědil od . Je vidět, že to odpovídá požadavku, aby byl uzavřen pod násobením a odčítáním.

Pokud je unital, někteří autoři poptávka, že subring by měl obsahovat jednotku .

Ideály

oboustranný ideál prsten je subring takové, že pro libovolný prvek a jakýkoliv prvek jsou elementy . Koncept ideálu kruhu odpovídá konceptu normálních podskupin skupiny. Proto můžeme zavést rovnocennost vztahu na prohlášením, že dva prvky jsou ekvivalentní, jestliže jejich rozdíl je prvek . Množina tříd ekvivalence je pak označován a je prsten s vyvolanou operací.

Pokud je prsten homomorphism, pak jádro h, která je definována jako inverzní obraz 0, , je ideální . Naopak, pokud je ideální , pak existuje přirozené prsten homomorphism, kvocient homomorphism, je množina všech prvků mapovány na 0 v .

příklady

• triviální kruh {0} se skládá pouze z jednoho prvku, který slouží jako aditivní i multiplikativní identita.
• celá čísla tvoří kruh s přidáním a násobením definovaným jako obvykle. Toto je komutativní kruh.
  • racionální, reálná a komplexní čísla tvoří komutativní kruhy.
• množina polynomů tvoří komutativní kruh.
• množina čtverců matice tvoří kruh pod složkovým sčítáním a násobením matic. Tento kruh není komutativní, pokud n>1.
• množina všech spojitých reálných funkcí definovaných v intervalu tvoří kruh pod bodovým sčítáním a násobením.

Vytváření nových kroužků z daných jednotek.

• Pro každý kruh můžeme definovat opak prsten couvání násobení v . Vzhledem k násobení , násobení je definována jako . „Identita mapa“ , mapování každý prvek sám sobě, je izomorfismus, pokud a pouze pokud je komutativní. Nicméně, i když není komutativní, je stále možné, aby být izomorfní s použitím různých map. Například, pokud kruh matice reálných čísel, pak provedení mapě z , mapování každá matice k jeho provedení, je izomorfismus.
• střed prstenu je sada prvků dojíždět každý prvek , to znamená, je prvek center pro každého . Střed je podokruh . Řekneme, že subring je centrální, pokud je subring centra .
• přímý produkt dva prsteny R a S je kartézský součin R×S spolu s operací

(r1, s1) + (r2, s2) = (r1+r2, s1+s2) a (r1, s1) a(r2, s2) = (r1r2, s1s2). S těmito operacemi R×S je prsten.

• obecněji, pro libovolný index nastavit, J a kolekce prstenů , přímý produkt a přímý součet neexistuje.
  • přímým produktem je sbírka „nekonečných n-tic“ s komponentovým sčítáním a násobením jako operací.
  • přímý součet kolekce prstenů je subring přímých produkt skládající se ze všech nekonečné-n-tic s vlastností, že rj=0 pro všechny, ale konečně mnoho j. Zejména, pokud J je konečná, pak přímý součet a přímý produkt jsou izomorfní, ale obecně mají zcela odlišné vlastnosti.
• Od jakékoli prsten je jak vlevo a vpravo modulu přes sebe, je možné sestrojit tenzor produktu R nad prstenem s další prsten T získat další prsten, za předpokladu, S je střední subring R a T

Historie

studium prstenů pochází ze studie polynomu kroužky a algebraické počet polí v druhé polovině devatenáctého století, mimo jiné Richard Dedekind. Samotný termín prsten však vytvořil David Hilbert v roce 1897.

Viz také

• Slovníček prsten teorie
• Algebra nad komutativní prsten
• Nonassociative ring

• Speciální typy kroužků:
  • Komutativní prsten
  • Rozdělení kruhu
  • Pole
  • Integrální domény (ID)
  • Hlavní ideální domény (PID)
  • Unikátní faktorizace domén (UFD)

• Konstrukce kroužky
  • Skupina prsten
  • Matrix ring
  • Polynom ring

• Prsteny s přidanou struktura
  • Diferenciální ring
  • Euklidovský domény (ED)