hvor mange måder kan et spil kort arrangeres? Det er meget nemt at beregne svaret, men meget svært at forstå dets betydning.

Der er 52 kort. Således kan den første vælges på 52 måder. Den næste kan være et af de resterende 51 kort. For det tredje er der 50 valg, og så videre, indtil der kun er et kort tilbage, hvilket kun giver mulighed for at sætte det sidst.

derfor er det samlede antal muligheder

dette nummer kaldes factorial 52. At sige, at det er et stort antal, er en underdrivelse. Programmet Mathematica kan beregne til vilkårlig præcision og indtaste kommandoen Factorial giver følgende resultat:

i mere komprimeret notation, dette er , eller til bare en enkelt figur af nøjagtighed, ; det vil sige 1 efterfulgt af 68 nuller.

beskriver 52!

det er svært at illustrere størrelsen af med hensyn til noget praktisk. Folk har talt om antallet af dråber i havet, eller hvor mange sandkorn der ville fylde Grand Canyon. Disse tal kommer ingen steder tæt på .

antallet af atomer i det observerbare univers anslås at være omkring , som er en billion gange større end . Men hjælper dette os virkelig med at visualisere, hvordan et af disse tal er? Artiklen om navne på store tal beskriver som en unvigintillion. Således er omkring firs unvigintillion. Men dette er bare et navn.

universet er sekunder gammel. Hvis der blev valgt et tilfældigt arrangement af kort hvert sekund i hele universets liv, ville kun en lille brøkdel af alle mulige ordrer blive valgt. Chancen for, at den samme ordre vælges to gange, er fuldstændig ubetydelig. Selv hvis der blev valgt en milliard arrangementer hvert sekund, ville der stadig ikke være nogen reel chance for et duplikat.

for en morsom beskrivelse af den forbløffende størrelse af , se http://czep.net/weblog/52cards.html

Stirlings tilnærmelse

beregningen af tallet er enkel. Multiplicer bare 52 med 51, resultatet med 50 og så videre, indtil du når 1. Men hvor kedeligt dette er, og hvor fejlbehæftet!

der er et smukt udtryk, der giver en tilnærmelse til enhver factorial, opkaldt efter James Stirling (1692-1770), en skotsk matematiker (selvom det ser ud til, at resultatet blev nævnt tidligere af Abraham de Moivre). Tilnærmelsen er

Dette er faktisk det første udtryk i en asymptotisk ekspansion. Ved at tage det næste udtryk har vi

tilslutning af argumentet , den første formel giver hvilket er korrekt til 2 decimaler. Den anden formel giver , med relativ fejl på kun en del i en million.

en anden tilnærmelse blev fundet blandt papirerne fra den indiske matematiker Srinivasa Ramanujan og offentliggjort i sin mistede notesbog i 1988:

dette giver til en del i en milliard.

Shuffling og gentagne ordrer

Med så mange muligheder kan man spørge, om en tilfældigt valgt rækkefølge af et kortkort forekommer mere end en gang. Gør meget rimelige antagelser, det er let at argumentere for, at en bestemt ordre aldrig vil forekomme to gange i løbet af universets liv. Således, når du grundigt blande op kortene, du er bundet til at nå frem til en bestilling, der aldrig har været set før, og vil aldrig blive set igen.

der er dog et stort forbehold her. Kortets blanding skal være tilstrækkelig grundig til at sikre ægte randomisering. Matematiske undersøgelser har vist, at et lille antal effektive blandinger er tilstrækkelige til at blande pakken til tilfældig rækkefølge. Bayer og Diaconis (1992) viste, at efter syv tilfældige riffelblandinger, nogen af de 52! mulige konfigurationer er lige så sandsynlige.