i matematik er en ring en algebraisk struktur med to binære operationer, der almindeligvis kaldes addition og multiplikation. Disse operationer er defineret for at efterligne og generalisere heltalene. Andre almindelige eksempler på ringe inkluderer ring af polynomer af en variabel med reelle koefficienter eller en ring af firkantede matricer af en given dimension.

for at kvalificere sig som en ring skal tilføjelsen være kommutativ, og hvert element skal have en invers under tilsætning: for eksempel er additivet invers af 3 -3. Imidlertid opfylder multiplikation generelt ikke disse egenskaber. En ring, hvor multiplikation er kommutativ, og hvert element undtagen additiv identitetselement (0) har en multiplikativ invers (gensidig) kaldes et felt: for eksempel sættet med rationelle tal. (Den eneste ring, hvor 0 har en invers, er den trivielle ring af kun et element.)

en ring kan have et endeligt eller uendeligt antal elementer. Et eksempel på en ring med et endeligt antal elementer er , sættet af rester, når et heltal er divideret med 5, dvs.Sættet {0,1,2,3,4} med operationer såsom 4 + 4 = 3, fordi 8 har resten 3, Når det er divideret med 5. En lignende ring kan dannes for andre positive værdier af .

formel definition

en ring er et sæt R udstyret med to binære operationer, som generelt betegnes + og · og kaldes henholdsvis addition og multiplikation, således at:

• (R,+) er en abelsk gruppe
• multiplikation er associativ
• de venstre og højre distributive Love holder:
  • a·(b + c) = (A·b) + (A·c)
  • (a + b)·c = (a·c) + (b·c)

i praksis er symbolet · normalt udeladt, og multiplikation er bare betegnet ved sammenstilling. Den sædvanlige rækkefølge af operationer antages også, således at a + bc er en forkortelse for a + (b·c). Den distributive egenskab er angivet separat for venstre og højre multiplikation for at dække tilfælde, hvor multiplikation ikke er kommutativ, såsom en ring af matricer.

typer af ringe

Unital ring

en ring, hvor der er et identitetselement til multiplikation, kaldes en unital ring, enhedsring eller blot ring med identitet. Identitetselementet er generelt betegnet 1. Nogle forfattere, især Bourbaki, kræver, at deres ringe skal have et identitetselement, og kalder ringe uden en identitet pseudorings.

kommutativ ring

en ring, hvor multiplikationsoperationen er kommutativ, kaldes en kommutativ ring. Sådanne kommutative ringe er det grundlæggende objekt for undersøgelse i kommutativ algebra, hvor ringe generelt også antages at have en enhed.

Division ring

For mere information, se: Division ring.

en unital ring, hvor hvert ikke-nul element a har en invers, det vil sige et element a−1 Sådan at a−1a = aa−1 = 1, kaldes en divisionsring eller skævt felt.

Homomorfier af ringe

en ringhomomorfisme er en kortlægning fra en ring til en ring respekt for ringoperationerne. Det vil sige

hvis ringene er unital, antages det ofte, at kortlægger identitetselementet i til identitetselementet i .

en homomorfisme kan kortlægge et større sæt på et mindre sæt; for eksempel kan ringen være heltalene og kunne kortlægges på den trivielle ring, der kun indeholder det enkelte element.

Underringe

If er en ring, en delmængde af kaldes en underring, hvis er en ring under ringoperationerne arvet fra. Det kan ses, at dette svarer til at kræve, at lukkes under multiplikation og subtraktion.

Hviser unital, kræver nogle forfattere, at en underring afskal indeholde enheden.

idealer

et tosidet ideal for en ring er en subring sådan at for ethvert element i og ethvert element i vi har det og er elementer af. Begrebet ideal for en ring svarer til begrebet normale undergrupper af en gruppe. Således kan vi indføre en ækvivalensrelation på ved at erklære, at to elementer afer ækvivalente, hvis deres forskel er et element af. Sættet af ækvivalensklasser betegnes derefter med og er en ring med de inducerede operationer.

Hviser en ringhomomorfisme, så er kernen af h, defineret som det inverse billede af 0,, et ideal for. Omvendt, hvis er et ideal for , så er der en naturlig ringhomomorfisme, kvotienthomomorfismen, fra til sådan at er sæt af alle elementer kortlagt til 0 i .

eksempler

• den trivielle ring {0} består af kun et element, der tjener som både additiv og multiplikativ identitet.
• heltalene danner en ring med tilføjelse og multiplikation defineret som normalt. Dette er en kommutativ ring.
  • de rationelle, reelle og komplekse tal danner hver kommutative ringe.
• sættet af polynomer danner en kommutativ ring.
• sættet af kvadrat matricer danner en ring under komponentvis Tilføjelse og matrice multiplikation. Denne ring er ikke kommutativ, hvis n > 1.
• sættet af alle kontinuerlige realværdierede funktioner defineret på intervallet danner en ring under punktvis Tilføjelse og multiplikation.

konstruktion af nye ringe fra givne

• for hver ring vi kan definere den modsatte ring ved at vende multiplikationen i. I betragtning af multiplikationen i er multiplikationen i defineret som . “Identitetskortet”fra til , der kortlægger hvert element til sig selv, er en isomorfisme, hvis og kun hvis er kommutativ. Selvom ikke er kommutativ, er det stadig muligt for og at være isomorf ved hjælp af et andet kort. For eksempel, hvis er ringen af matricer af reelle tal, så er transpositionskortet fra til , der kortlægger hver matrice til dens transponerer, en isomorfisme.
• midten af en ring er sæt af elementer af der pendler med hvert element af ; det vil sige er et element af den samme ring, der er en del af den samme ring ; det vil sige center if for hver . Centret er en subring af . Vi siger, at en subring af er central, hvis det er en subring af midten af .
• det direkte produkt af to ringe R og S er det kartesiske produkt R-S sammen med operationerne

(r1, s1) + (r2, s2) = (r1+r2, s1+s2) og (r1, s1)(r2, s2) = (r1r2, s1s2). Med disse operationer er R kr. S en ring.

• mere generelt for ethvert indekssæt J og samling af ringe findes det direkte produkt og den direkte sum.
  • det direkte produkt er samlingen af” infinite-tuples” med komponentvis Tilføjelse og multiplikation som operationer.
  • den direkte sum af en samling af ringe er subringen af det direkte produkt bestående af alle uendelige-tupler med den egenskab, at rj=0 for alle, men endeligt mange j. især hvis J er endelig, er den direkte sum og det direkte produkt isomorfe, men generelt har de helt forskellige egenskaber.
• da enhver ring både er et venstre og højre modul over sig selv, er det muligt at konstruere tensorproduktet af R over en ring s med en anden ring T for at få en anden ring, forudsat at S er en central underring af R og T.

historie

undersøgelsen af ringe stammer fra undersøgelsen af polynomiske ringe og algebraiske talfelter i anden halvdel af det nittende århundrede, blandt andet af Richard Dedekind. Selve udtrykket ring blev imidlertid opfundet af David Hilbert i 1897.

Se også

• ordliste over ringteori
• Algebra over en kommutativ ring
• Nonassociative ring

• særlige typer ringe:
  • kommutativ ring
  • Divisionsring
  • felt
  • integreret domæne (ID)
  • Principal ideal domain (PID)
  • unikt faktoriseringsdomæne (UFD)
• konstruktioner af ringe
  • gruppe ring
  • Matriksring
  • polynomisk ring
• ringe med tilføjet struktur
  • differentialring
  • euklidisk domæne (ed)