geometristen sarjojen edit

mikä tahansa yhteenlaskumenetelmä, jolla on säännöllisyyden, lineaarisuuden ja stabiilisuuden ominaisuudet, summaa geometrisen sarjan

∑ K = 0 ∞ a R k = a 1 − r . {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ar^{k} = {\frac {a}{1-r}}.}

tässä tapauksessa a = 1 ja r = -2, joten summa on 1/3.

Euler summasi edit

vuoden 1755 laitoksissaan Leonhard Euler toteutti tehokkaasti niin sanotun Eulerin muunnoksen 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯, saapuminen konvergenttisarjaan 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯. Koska jälkimmäinen summat 1/3, Euler totesi, että 1 − 2 + 4 − 8 + … = 1/3. Hänen ajatuksiaan ääretön sarja eivät aivan noudata nykyaikaista lähestymistapaa; tänään yksi sanoo, että 1 − 2 + 4 − 8 + … on Euler summattavissa ja että sen Euler summa on 1/3.

Eulerin muunnos alkaa positiivisten termien jaksolla:

a0 = 1, a1 = 2, A2 = 4, a3 = 8,…

etenevien erojen järjestys on tällöin

Δa0 = a1 − a0 = 2 − 1 = 1, Δa1 = a2 − a1 = 4 − 2 = 2, Δa2 = a3 − A2 = 8 − 4 = 4, Δa3 = a4 − a3 = 16 − 8 = 8,…

, joka on aivan sama järjestys. Näin ollen iteroitu eteenpäin ero sekvenssit kaikki alkavat Δna0 = 1 jokaista n. Eulerin muunnos on sarja

A 0 2-Δ A 0 4 + Δ 2 a 0 8-Δ 3 a 0 16 + ⋯ = 1 2 − 1 4 + 1 8 − 1 16 + ⋯ . {\displaystyle {\frac {a_{0}}{2}}-{\frac{0}}{4}}+{\frac {\Delta ^{2}a_{0}}{8}}-{\frac {\Delta ^{3}a_{0}}{16}}+\cdots = {\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}} + \cdots .}

Tämä on konvergentti geometrinen sarja, jonka summa on tavallisen kaavan mukaan 1/3.

Borel summamedit

Borelin summa 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ on myös 1/3; kun Émile Borel esitteli raja muotoilu Borel summattu vuonna 1896, tämä oli yksi hänen ensimmäisistä esimerkeistä jälkeen 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯

P-adiset numerosedit

osittaissummien jono, joka liittyy 1 − 2 + 4 − 8 … {\displaystyle 1-2+4-8\ldots }

2-adisessa metriikassa on 1 , − 1 , 3 , − 5 , 11 , … {\displaystyle 1,-1,3, -5,11,\ldots }