Geometriai sorozatSzerkesztés

minden olyan összegzési módszer, amely rendelkezik a szabályosság, linearitás és stabilitás tulajdonságaival, egy geometriai sorozatot fog összeadni

a r k = a 1 − r . {\displaystyle \ sum _ {k=0}^{\infty }ar^{k}={\frac {a}{1-r}}.}

ebben az esetben a = 1 és r = -2, tehát az összeg 1/3.

Euler summationEdit

az ő 1755 institutions, Leonhard Euler hatékonyan vette, amit most az úgynevezett Euler-transzformáció 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯, érkezés a konvergens sorozathoz 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯. Mivel ez utóbbi összege 1/3, Euler arra a következtetésre jutott, hogy 1 − 2 + 4 − 8 + … = 1/3. A végtelen sorozatokkal kapcsolatos elképzelései nem egészen követik a modern megközelítést; ma azt mondják 1 − 2 + 4 − 8 + … Euler-összegezhető, és Euler-összege 1/3.

az Euler-transzformáció a pozitív kifejezések sorrendjével kezdődik:

a0 = 1, a1 = 2, a2 = 4, a3 = 8,…

az előremutató különbségek sorrendje ekkor

A1a0 = A1 − a0 = 2-1 = 1, A1a1 = a2 − a1 = 4 − 2 = 2, A2a2 = A3 − a2 = 8 − 4 = 4, A3a3 = a4 − a3 = 16 − 8 = 8,…

ami ugyanaz a sorrend. Ezért az iterált előremenő differenciaszekvenciák Minden N-re vonatkozóan a 0 = 1-gyel kezdődnek. Az Euler-transzformáció a

a 0 2-A 0 4 + 2 A 0 8-a 3 A 0 16 + ⋯ = 1 2 − 1 4 + 1 8 − 1 16 + ⋯ . {\displaystyle {\frac {a_{0}}{2}}-{\frac {\Delta a_{0}}{4}}+{\frac {\Delta ^{2}a_{0}}{8}}-{\frac {\Delta ^{3}a_{0}}{16}}+\cdots = {\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}}+ \ cdots .}

Ez egy konvergens Geometriai sorozat, amelynek összege a szokásos képlet szerint 1/3.

Borel összegzése

a Borel összege 1 − 2 + 4 − 8 + szintén 1/3; amikor 1896-ban bevezette a Borel-összegzés határérték-megfogalmazását, ez volt az egyik első példája 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯

P-adikus számokszerkesztés

a részösszegek sorrendje 1 − 2 + 4 − 8 … {\displaystyle 1-2+4-8 \ ldots }

a 2-adikus metrikában 1 , − 1 , 3 , − 5 , 11 , … {\displaystyle 1,-1,3,-5,11, \ ldots }