Fysisk oppsett

Vårt mål Er å gi ultimate kvantitative grenser som gjelder for enhver kjøleprosedyre—nemlig vi ønsker å finne en nedre grense for temperaturen som et system kan nå etter en prosess som bruker noen gitte ressurser eller varer en gitt tid t. Derfor må vi tillate den mest generelle kvantetransformasjonen, det vil si de som respekterer total energibesparelse og er mikroskopisk reversibel (enhetlig). Dette generelle oppsettet inkluderer termodynamisk irreversible protokoller og også urealistiske protokoller der total kontroll over badets mikroskopiske frihetsgrader er nødvendig. Overraskende vil vi finne her, som det ble funnet for tilfellet av den andre loven 25, 27, 29, 30, at det å ha en slik urealistisk grad av kontroll ikke ser ut til å gi en fordel over å ha veldig grov kontroll.

vi vil vise at tettheten i reservoarets tilstand som bidrar til kjøleprosessen, har en viktig innvirkning på hvor raskt et system kan kjøles ned. (Tettheten av Stater Ω (E) er antall stater Med energi E.) vi ser at jo raskere Ω (E) vokser, jo lavere temperatur som kan oppnås med faste ressurser eller i en fast tidsperiode. Enda mer: Hvis Ω (E) vokser eksponentielt eller raskere, er det i prinsippet mulig å kjøle til absolutt null i begrenset tid, noe som muliggjør brudd på tredje lov. Vi vil imidlertid se at eksponentiell eller super-eksponentiell Ω (E) bør betraktes som unfysisk. Dette blir mer intuitivt når det uttrykkes i form av den (mikrokanoniske) varmekapasiteten C (E), relatert til S(E)=Ln Ω(E) via

hvor primtall representerer differensialer. Hvis Ω (E) vokser eksponentielt eller raskere, Er C(E) uendelig eller negativ, som regnes som ufysisk. Hvis Ω (E) er subeksponentiell, Er C (E) positiv. Ja, jo raskere Ω (E) vokser, jo storre C (E) er. Bare et reservoar med uendelig dimensjonalt Hilbert-rom kan holde S (E) voksende for Alle E. og faktisk er uendelige dimensjonale reservoarer de som tillater raskere kjøling. Men våre resultater er generelle og gjelder også for det endelige dimensjonale tilfellet.Anta at vi vil avkjøle et kvantesystem Med Hilbert romdimensjon d, Og Hamiltonian HS som har degenerasjon av bakken, gap over bakken og Største energi j. Hva er ressursene som kreves for å gjøre det?

Fundamentale forutsetninger

La oss spesifisere oppsettet mer konkret og samle forutsetningene vi vil vedta (de som kommer fra første prinsipper):

(i) vi anser starten av prosessen å være når systemet ennå ikke er satt i kontakt med arbeidslagrings systemet (vekten) eller reservoaret, slik at i utgangspunktet er den globale tilstanden pS⊗pB⊗pw. Mens andre innledende start scenario kan være av interesse, er dens vurdering utenfor omfanget av dagens papir.(ii) vi tillater den mest generelle kvantetransformasjonen på system, bad og vekt, som er reversibel (enhetlig) og bevarer total energi. Dette kan virke restriktiv sammenlignet med paradigmer som tillater vilkår for vilkårlig interaksjon, men dette er ikke tilfelle, siden vilkårlige interaksjoner kan innlemmes i modellen som vist I Vedlegg h av ref. 27 og ref. 25, bare ved å la energien i arbeidssystemet svinge. I mange paradigmer håndheves dette implisitt ved å anta at all manglende energi regnes som arbeid. Paradigmer som slapper av denne tilstanden, ignorerer i hovedsak energien som overføres til andre systemer, eller behandler disse andre systemene som klassiske. I hovedsak pålegger vi energibesparelser for å sikre at vi på riktig måte tar hensyn til alle energikostnader knyttet til samspillet, mens de ulike enhetene eller interaksjonsbetingelsene bare overfører eller tar energi fra vekten for å kompensere. Kjøleprosessen er således en hvilken som helst transformasjon av formen

der U er en global enhetlig tilfredsstillende

tatt fra vekten. Siden vi er interessert i ultimate begrensninger, vurderer vi en idealisert vekt med Hamiltonian som har kontinuerlig og ubundet spektrum. Ethvert annet arbeidssystem kan simuleres med denne one30. Vi betegner ved wmax den verste verdien av arbeidet som forbrukes, det vil si

wmax vil generelt være mye større enn gjennomsnittlig arbeid 〈W〉. I enhver fysisk rimelig prosess utført i begrenset tid, forventer man at den skal være endelig.

(iv) vi krever også, som i ref. 29, at kjøletransformasjonen pendler med oversettelsene på vekten. Med andre ord er funksjonen til den termiske maskinen uavhengig av opprinnelsen til energiene i vekten, slik at det bare avhenger av hvor mye arbeid som leveres fra vekten. Dette kan forstås som å definere hva arbeid er—det er bare endringen i energi vi kan indusere på noe eksternt system. Dette sikrer også at vekten bare er en mekanisme for å levere eller lagre arbeid, og ikke er for eksempel en entropi dump (se Resultat 1 I Tilleggsdiskusjonen). Det sikrer også at kjøleprosessen alltid etterlater vekten i en tilstand som kan brukes i neste løp eller prosess. Dermed

Hvor den Hermitiske operatøren Π fungerer somfor alle. Utover dette tillater vi at den opprinnelige tilstanden til vekten pW er vilkårlig. Spesielt kan det være sammenhengende, noe som gir en fordel27.

(v) vi antar at badet har volum V og er i termisk tilstand ved gitt invers temperatur , MED zb partisjonsfunksjonen til badet. Vi betegner badets frie energitetthet (i kanonisk tilstand pB) ved .

(vi) den mikrokanoniske varmekapasiteten (2) er ikke negativ C (E) for alle energier E. Dette innebærer At S (E) er sublineær I E. Vi viser også I Tilleggsmetodene at Hvis S (E) vokser lineært eller raskere, er perfekt kjøling i begrenset tid mulig.

med disse antagelsene viser vi at for å perfekt avkjøle systemet til absolutt null, må minst en av disse to ressursene, volumet Av badet V, eller den verste verdien av arbeidet som forbrukes wmax, være uendelig. Vi bundet også den laveste oppnåelige temperaturen til systemet Når Det Gjelder V og wmax.

Kvantifisere uoppnåelighet fra første prinsipper

med antagelser (i)–(vi), vurderer vi to tilfeller, en hvor den første og endelige tilstanden er termisk, og en hvor vi tillater vilkårlig innledende og endelige tilstander. Vårt første resultat gjelder førstnevnte, og sier at i enhver prosess hvor worst-case arbeid injisert er wmax, kan den endelige temperaturen i systemet ikke være lavere enn

i den store wmax,v grense. Den mikrokanoniske fri-energitettheten ved inverstemperatur β0 er definert av

Hvor E0 er løsningen Av ligningen S'(E0)=β0. Husk at når volumet av badet V er stort, er det vanligvis tilfelle at fmic(β0)=fcan (β0) og disse er uavhengige Av V.

La oss analysere oppførselen til ligningen (7) i form av de investerte ressursene. Etter hvert som wmax vokser, reduseres β og fmic øker, noe som gir en lavere slutttemperatur . Siden all volumavhengighet i ligning (7) er eksplisitt, oversetter en større V også til en lavere slutttemperatur.

I det følgende gir vi en bundet for den fysisk relevante familien av entropier

der α > 0 og ν ∈[1/2, 1) er to konstanter. En slik entropi er omfattende, og hvis vi setterbeskriver den elektromagnetisk stråling (eller et masseløst bosonisk felt) i en d-dimensjonal boks med volum V. Det er generelt antatt at det ikke er noe annet reservoar som har en tetthet av stater som vokser raskere Med E enn this36, og absolutt ingen som har ν ≥ 1. Den senere, tilsvarer badet med negativ varmekapasitet diskutert tidligere, noe som muliggjør kjøling med endelig wmax. I Den Supplerende Diskusjonen tilpasser vi bundet (7) til entropien (9), og oppnår

opp til ledende vilkår. Nå er all avhengighet Av V og wmax eksplisitt. Spesielt observerer vi at større verdier Av V og wmax tillater lavere temperaturer. Og også større verdier av ν, som utgjør en raskere entropivekst, noe som gir lavere temperaturer.

som nevnt ovenfor er kjøleprosessene vi vurderer svært generelle. Spesielt kan De endre Hamiltonian av systemet under prosessen, så lenge den endelige Hamiltonian er identisk MED DEN første HS. Dette utelukker den uinteressante kjølemetoden som består av re-skalering Av Hamiltonian HS→0. Imidlertid kan våre grenser lett tilpasses for å behandle hvor den endelige Hamiltonian er forskjellig fra den første, som vi vil diskutere i konklusjonen.

la oss nå vurdere det mer generelle tilfellet, hvor verken den opprinnelige eller endelige tilstanden må være termisk, men i stedet kan være vilkårlig. Som det allerede er kjent14,15, 17, 18, 30, er uoppnåeligheten av absolutt null ikke en konsekvens av at målstaten har lav energi, men heller at den har lav entropi. Derfor oversetter dette direkte til uoppnåelighet av enhver ren tilstand, eller mer generelt, enhver stat med rang g lavere enn den opprinnelige tilstanden. Denne typen prosesser er generelt kjent som informasjon sletting, eller rensing. Nå analyserer vi begrensningene i alle prosesser som tar en vilkårlig innledende tilstand pS og forvandler den til en endelig tilstand med støtte på g-rank projektoren P. vi kvantifiserer unøyaktigheten av transformasjonen ved feilen . For klarhetens skyld antar vi at systemet har trivial Hamiltonian HS=0 (det generelle tilfellet behandles I Tilleggsdiskusjonen), og vi betegner ved λ og λ de minste og største egenverdiene til pS. I Tilleggsmetodene viser vi at enhver prosess pS→ har feil

resultatene som presenteres ovenfor, samt andre av mer generalitet presentert i Tilleggsdiskusjonen, kvantifiserer vår evne til å avkjøle et system (eller mer generelt, sett det inn i en redusert rangstatus), I Form Av To ressurser: volumet av badet v, og worst-case svingninger i arbeidet forbrukes wmax. De utgjør dermed en form for tredje lov, i den forstand at de legger en bundet på kjøling, gitt noen begrensede ressurser. Vi ønsker nå å oversette dette til tiden det tar å avkjøle systemet, og vi vil gjøre det ved å vurdere begrepet en termisk maskin og gjøre to fysisk rimelige forutsetninger.

Termiske maskiner

la oss huske at feltet av beregningskompleksitet er basert På Kirke-Turing-avhandlingen-ideen om at vi anser en datamaskin For Å Være En Turing-maskin, og deretter utforske hvordan beregningstiden skalerer med størrelsen på problemet. Ulike maskiner kan utføre annerledes-datamaskinens hode kan bevege seg raskere eller langsommere over minnebåndet; informasjon kan lagres i biter eller i høyere dimensjonale minneenheter, og hodet kan skrive til dette minnet med forskjellige hastigheter. Naturen ser ikke ut til å pålegge en grunnleggende grense for dimensjonen til en dataminne eller hastigheten som den kan skrives på. Men for enhver fysisk rimelig realisering av en datamaskin, og uansett hastigheten på disse operasjonene, er den fast og endelig, og først da undersøker vi skaleringen av tid med problemstørrelse. Og det som er viktig er den generelle skaleringen av tiden med input (polynom eller eksponentiell), i stedet for noen konstanter. På samme måte her vil vi vurdere en fast termisk maskin, og vi vil anta at den bare kan overføre en endelig mengde energi til varmebadet i begrenset tid. På samme måte, i en begrenset tid, kan den ikke utforske et uendelig størrelse varmebad. En termisk maskin som ellers ville være fysisk urimelig.Vi kan vurdere Både V og wmax som monotoniske funksjoner av tid t. jo lenger vår termiske maskin går, jo mer arbeid det kan pumpe inn i varmebadet, og jo større volumet av badet det kan utforske. For en bestemt termisk maskin kan man sette en endelig bundet på ved å erstatte disse funksjonene i ligning (10). Spesielt, hvis vi antar at samspillet formidles av dynamikken til en lokal Hamiltonian, vil samspillet mellom et system med et bad med volum V Og romdimensjon d ta tid

hvor v er proporsjonal med lydens hastighet I badekaret (Eller Lieb–Robinson velocity37) og V1 / D den lineære dimensjonen av badet. Implementeringen av generelle unitaries tar mye lengre tid enn ligning (12), men dette tjener som en nedre grense. Siden vi er interessert her i skalering av temperatur med tiden, i stedet for med konstante faktorer, trenger vi ikke å være bekymret for at praktiske termiske maskiner opererer med mye langsommere hastigheter. Selvfølgelig, akkurat som med faktiske datamaskiner, har termiske maskiner generelt hastigheter godt under Lieb–Robinson bundet. Merk at, Til Tross For V re endelig, Kan Hilbert-rommet i badekaret v re uendelig dimensjonalt. Hvis man onsket a ha en bundet som var uavhengig av termisk maskin, og uavhengig av lydens hastighet som er en egenskap av bade, da kunne man alltid v re lysets hastighet. Mens en slik bundet ikke ville være praktisk relevant, ville det være grunnleggende. Dette ligner grenser på beregning, hvor å få en grunnleggende bundet, man bør ta porthastigheten til å være uendelig (siden det ikke er noen grunnleggende bundet på dette) og konvertere antall biter som brukes i prosessen til tid ved å multiplisere med lysets hastighet.

et forhold mellom worst-case work wmax og tid t oppnås ved å merke følgende. I endelig t er det ikke mulig å injisere i badet en uendelig mengde arbeid. For enkelhet antar vi et lineært forhold

hvor konstant u vil avhenge av samspillet mellom system og vekt. Vi understreker imidlertid at hvis et bestemt fysisk oppsett er feil modellert av relasjonene (12) og (13), er alle andre bundet t≥h1(wmax) og t≥h2(V) også bra. Så lenge h1 og h2 er strengt monotoniske funksjoner, vil uoppnåelighetsprinsippet holde.

Begrensninger ved bruk av termiske maskiner

for en bestemt termisk maskin kan vi nå utlede begrensninger på temperaturen som kan nås i en gitt tid t. Siden det fysiske systemet med den raskeste entropiveksten som vi er klar over er stråling, er det verdt å dedikere neste avsnitt til saken i ligning (9), fordi dette bør gi en bundet med bred gyldighet. Ved å bruke de spesielle relasjonene (12) og (13), og erstatte dem i ligning (10), får vi

i den store t-grensen. Våre bundet (14) kan enkelt tilpasses til ethvert annet forhold t≥h1 (wmax) og t≥h2 (V). Det er interessant å observere i ligning (14) forholdet mellom den karakteristiske tiden (hvor lang tid tar det å kjøle seg til en fast) og størrelsen på systemet VS. Utnyttelse av det vanlige forholdet ln d∝VS vi får den sublineære skaleringen

noe som gjelder om resultat (11) er at i grensen chennais 0 blir bundet trivielt. Dette kan løses ved å avkorte den opprinnelige tilstanden pS til underrommet som inneholder de k største egenverdiene og optimalisere den resulterende bunden forsom en funksjon av k.denne avkortingsmetoden tillater også å utvide alle våre resultater til uendelig-dimensjonale systemer (d=∞).