Hvor mange måter kan en kortstokk ordnes? Det er veldig enkelt å beregne svaret, men veldig vanskelig å forstå dens betydning.

Det er 52 kort. Dermed kan den første velges på 52 måter. Den neste kan være noen av de resterende 51 kortene. For det tredje er det 50 valg, og så videre til bare ett kort forblir, slik at bare muligheten til å sette den sist.

derfor er det totale antall muligheter

dette nummeret kalles faktoriell 52. Å si at det er et stort antall er en underdrivelse. Programmet Mathematica kan beregne til vilkårlig presisjon og skrive inn kommandoen Factorial gir følgende resultat:

i Mer Komprimert Notasjon er dette , eller, til bare en enkelt nøyaktighet, ; det vil si 1 etterfulgt av 68 nuller.

Beskriver 52!

det er vanskelig å illustrere størrelsen på i form av noe praktisk. Folk har snakket om antall dråper i havet eller hvor mange sandkorn ville fylle Grand Canyon. Disse tallene kommer ikke i nærheten av .

antallet atomer i det observerbare universet anslås å være omtrent , som er en trillion ganger større enn . Men hjelper dette oss virkelig å visualisere hva noen av disse tallene er? Wikipedia-artikkelen om Navn På Store Tall beskriver som en unvigintillion. Dermed er omtrent åtti unvigintillion. Men dette er bare et navn.

Universet er sekunder gammel. Hvis et tilfeldig arrangement av kort ble valgt hvert sekund i Hele Universets Liv, ville bare en liten brøkdel av alle mulige ordrer bli valgt. Sjansen for at samme bestilling blir valgt to ganger er helt ubetydelig. Selv om en milliard ordninger ble valgt hvert sekund, ville det fortsatt ikke være noen reell sjanse for en duplikat.

For en morsom beskrivelse av den forbløffende størrelsen på , se http://czep.net/weblog/52cards.html

Stirlings Tilnærming

beregningen av tallet er enkel. Bare multipliser 52 med 51, resultatet med 50 og så videre til du når 1. Men hvor kjedelig dette er, og hvor feil-utsatt!Det er et vakkert uttrykk som gir en tilnærming til noen faktoriell, oppkalt Etter James Stirling (1692-1770), En Skotsk matematiker (selv om det ser ut til at resultatet ble uttalt Tidligere Av Abraham De Moivre). Tilnærmingen er

dette er faktisk den første termen i en asymptotisk ekspansjon. Tar neste term vi har

Plugging i argumentet , den første formelen gir som er riktig til 2 desimaler. Den andre formelen gir , med relativ feil på bare en del i en million.En annen tilnærming ble funnet blant papirene Til Den Indiske matematikeren Srinivasa Ramanujan og publisert i Sin Tapte Notatbok i 1988:

dette gir til en del i en milliard.

Shuffling og Gjentatte Bestillinger

Med et så stort antall muligheter, kan man spørre om noen tilfeldig valgt rekkefølge av et kort kort skjer mer enn en gang. Å gjøre svært rimelige forutsetninger, det er lett å argumentere for at en bestemt bestilling aldri vil skje to ganger i Universets liv. Således, når du blander kortene grundig, er du bundet til å komme til en bestilling som aldri har blitt sett før og aldri vil bli sett igjen.

det er imidlertid et stort forbehold her. Shuffling av kortene må være tilstrekkelig grundig for å sikre sann randomisering. Matematiske studier har indikert at et lite antall effektive shuffles nok til å blande pakken til tilfeldig rekkefølge. Bayer Og Diaconis (1992) viste at etter syv tilfeldige riffle shuffles, noen av de 52! mulige konfigurasjoner er like sannsynlige.