hvis en topp er satt til en tilt på en horisontal overflate og spunnet raskt, starter rotasjonsaksen precessing om vertikal. Etter et kort intervall settes toppen inn i en bevegelse der hvert punkt på rotasjonsaksen følger en sirkulær bane. Den vertikale tyngdekraften gir et horisontalt dreiemoment τ om kontaktpunktet med overflaten; toppen roterer i retning av dette dreiemomentet med en Vinkelhastighet Ω slik at når som helst

τ = Ω × L , {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {\omega } \times \mathbf {l} ,}

hvor l Er det Øyeblikkelige vinkelmomentet på toppen.

I Utgangspunktet er Det imidlertid ingen presesjon, og toppen faller rett nedover. Dette gir opphav til en ubalanse i momenter som starter presesjonen. Ved fallende overskrider toppen nivået der det ville precessere jevnt og deretter oscillerer om dette nivået. Denne svingningen kalles nutasjon. Hvis bevegelsen er dempet, vil svingningene dø ned til bevegelsen er en jevn presesjon.

fysikken i nutation i topper og gyroskoper kan utforskes ved hjelp av modellen av en tung symmetrisk topp med spissen fast. (En symmetrisk topp er en med rotasjonssymmetri, eller mer generelt en der to av de tre hovedmomentene av treghet er like.) I utgangspunktet ignoreres effekten av friksjon. Bevegelsen til toppen kan beskrives med tre euler-vinkler: vippevinkelen θ mellom symmetriaksen til toppen og den vertikale; azimuth φ av toppen om vertikal; og rotasjonsvinkelen ψ av toppen om sin egen akse. Precession er dermed endringen i φ og nutation er endringen i θ.

hvis toppen har masse M og massesenteret er i en avstand l fra svingpunktet, er dens gravitasjonspotensial i forhold til støtteplanet

V = m g l cos ⁡ ( θ ) . {\displaystyle V=mgl\cos(\theta ).}

i et koordinatsystem hvor z-aksen er symmetriaksen, har toppen vinkelhastigheter ω1, ω2, ω3 Og momenter av treghet I1, I2, i3 om x -, y-og z-aksene. Siden vi tar en symmetrisk topp, har Vi I1=I2. Den kinetiske energien er

E r = 1 2 I 1 ( ω 1 2 + ω 2 2 ) + 1 2 I 3 ω 3 2 . {\displaystyle E_ {\text{r}}={\frac {1}{2}} I_{1} \ venstre (\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2}\høyre) + {\frac {1}{2}} I_{3} \ omega _{3}^{2}.}

I form av Euler-vinkler, dette er

E r = 1 2 i 1 ( θ 2 + ϕ 2 sin 2 ⁡ ( θ ) ) + 1 2 i 3 ( ψ + ϕ cos ⁡ ( θ ) ) 2 . {\displaystyle E_{\text{r}}={\frac {1}{2} I_{1}\venstre({\dot {\theta}} ^{2}+{\dot {\phi}} ^{2}\sin ^{2} (\theta )\høyre)+{\frac {1} {2}} I_{3}\venstre({\dot {\psi}} +{\dot {\phi}} \cos(\theta )\høyre)^{2}.}

Hvis euler-Lagrange-ligningene er løst for dette systemet, er det funnet at bevegelsen avhenger av to konstanter a og b (hver relatert til en bevegelseskonstant). Presesjonsraten er relatert til vippingen ved

ϕ = b – a cos ⁡ (θ ) sin 2 ⁡ ( θ) i overtredelse av opphavsrettigheter svært alvolrig . {\displaystyle {\dot{\phi}} ={\frac {b-a\cos (\theta)} {\sin ^{2} (\theta )}}.}

tiltingen bestemmes av en differensialligning for u = cos(θ) av formen

u 2 = f ( u ) {\displaystyle {\dot {u}}^{2}=f(u)}

hvor f er a kubisk polynom som avhenger av parametrene a og b samt Konstanter som er relatert til energi og gravitasjonsmoment. Røttene til f er cosinus av vinklene der endringshastigheten til θ er null. En av disse er ikke relatert til en fysisk vinkel; de andre to bestemmer øvre og nedre grenser på vippevinkelen, mellom hvilken gyroskopet svinger.