i matematikk er en ring en algebraisk struktur med to binære operasjoner, ofte kalt addisjon og multiplikasjon. Disse operasjonene er definert for å etterligne og generalisere heltallene. Andre vanlige eksempler på ringer inkluderer ringen av polynomer av en variabel med reelle koeffisienter, eller en ring av kvadratiske matriser av en gitt dimensjon.

for å kvalifisere som en ring må addisjon være kommutativ og hvert element må ha en invers under addisjon: for eksempel er additiv invers av 3 -3. Imidlertid tilfredsstiller multiplikasjon generelt ikke disse egenskapene. En ring der multiplikasjon er kommutativ og hvert element bortsett fra additividentitetselementet (0) har en multiplikativ invers (gjensidig) kalles et felt: for eksempel settet av rasjonale tall. (Den eneste ringen der 0 har en invers er den trivielle ringen av bare ett element.)

en ring kan ha et endelig eller uendelig antall elementer. Et eksempel på en ring med et endelig antall elementer er , settet med remainders når et heltall er delt med 5, dvs. settet {0,1,2,3,4} med operasjoner som 4 + 4 = 3 fordi 8 har resten 3 når delt med 5. En lignende ring kan dannes for andre positive verdier av .

Formell definisjon

en ring er et sett R utstyrt med to binære operasjoner, som generelt betegnes + og · og kalles addisjon og multiplikasjon, henholdsvis slik at:

• (R,+) er en abelsk gruppe
• Multiplikasjon er assosiativ
• venstre og høyre distribusjonslover holder:
  • a·(b + c) = (a·b) + (a·c)
  • (a + b)·c = (a·c) + (B·c)

i praksis er symbolet · vanligvis utelatt, og multiplikasjon er bare betegnet ved sidestilling. Den vanlige rekkefølgen av operasjoner antas også, slik at a + bc er en forkortelse for a + (b·c). Fordelingsegenskapen er spesifisert separat for venstre og høyre multiplikasjon for å dekke tilfeller der multiplikasjon ikke er kommutativ, for eksempel en ring av matriser.

Typer ringer

Unital ring

en ring der det er et identitetselement for multiplikasjon kalles en unital ring, enhetlig ring, eller bare ring med identitet. Identitetselementet er vanligvis betegnet 1. Noen forfattere, spesielt Bourbaki, krever at deres ringer skal ha et identitetselement, og ringer uten identitets pseudoringer.

Kommutativ ring

en ring der multiplikasjonsoperasjonen er kommutativ kalles en kommutativ ring. Slike kommutative ringer er det grunnleggende studieobjektet i kommutativ algebra, hvor ringer generelt også antas å ha en enhet.

Divisjon ring

For mer informasjon, se: Divisjon ring.

en unital ring der hvert ikke-null element a har en invers, det vil si et element a−1 slik at a−1a = aa−1 = 1, kalles en divisjonsring eller skråfelt.

Homomorfismer av ringer

en ringhomomorfisme er en kartlegging fra en ring til en ring respekterer ringoperasjonene. Det vil si

hvis ringene er enhetlige, antas det ofte atkartlegger identitetselementet tiltil identitetselementet til.for eksempel kan ringenvære heltalleneog kan tilordnes den trivielle ringen som bare inneholder enkeltelementet.

Delringer

Hvis er en ring, en delmengde av kalles en delring hvis er en ring under ringen operasjoner arvet fra. Det kan sees at dette tilsvarer å kreve at lukkes under multiplikasjon og subtraksjon.

Hviser enhetlig, krever noen forfattere at en delring av skal inneholde enheten til .

Idealer

et tosidig ideal av en ring er en subring slik at for ethvert element i og ethvert element i har vi at og er elementer av . Begrepet ideal for en ring tilsvarer begrepet normale undergrupper av en gruppe. Dermed kan vi introdusere en ekvivalensrelasjon på ved å erklære at to elementer aver ekvivalente hvis deres forskjell er et element av. Settet av ekvivalensklasser betegnes da med og er en ring med de induserte operasjonene.

Hvis er en ringhomomorfisme, er kjernen til h, definert som det inverse bildet av 0,, et ideal for . Omvendt, hvis er et ideal for , så er det en naturlig ringhomomorfisme, kvotienthomorfismen, fra til slik at er settet av alle elementer kartlagt til 0 i .

Eksempler

• den trivielle ringen {0} består av bare ett element, som tjener som både additiv og multiplikativ identitet.
• heltallene danner en ring med addisjon og multiplikasjon definert som vanlig. Dette er en kommutativ ring.
  • de rasjonelle, reelle og komplekse tallene danner hver kommutative ringer.
• settet av polynomer danner en kommutativ ring.
• settet med kvadrat matriser danner en ring under komponentvis tillegg og matrisemultiplikasjon. Denne ringen er ikke kommutativ hvis n > 1.
• settet av alle kontinuerlige reelle funksjoner definert i intervallet danner en ring under punktvis addisjon og multiplikasjon.

Konstruere nye ringer fra gitte

• for hver ringvi kan definere motsatt ring ved å reversere multiplikasjonen i . Gitt multiplikasjonen i , er multiplikasjonen i definert som. «Identitetskartet» fra til , som tilordner hvert element til seg selv, er en isomorfisme hvis og bare hvis er kommutativ. Selv om ikke er kommutativ, er det likevel mulig for og å være isomorf ved hjelp av et annet kart. Hvis for eksempel er ringen av matriser av reelle tall, er transponeringskartet fra til , som tilordner hver matrise til transponeringen, en isomorfisme.
• midten av en ring er settet av elementer av som pendler med hvert element av ; det vil si, er et element av senter hvis for hver . Senteret er en delring av . Vi sier at en subring av er sentral hvis det er en subring av sentrum av .
• det direkte produktet Av to ringer R og S er det kartesiske produktet R×S sammen med operasjonene

(r1, s1) + (r2, s2) = (r1+r2, s1+s2) og (r1, s1)(r2, s2) = (r1r2, s1s2). Med disse operasjonene Er R×S en ring.

• Mer generelt, for et indekssett J og samling av ringer , eksisterer direkte produkt og direkte sum.
  • det direkte produktet er samlingen av «infinite-tuples» med komponentvis tillegg og multiplikasjon som operasjoner.
  • den direkte summen av en samling ringer er subringen av det direkte produktet som består av alle uendelige-tuples med egenskapen at rj=0 for alle, men endelig mange j. spesielt, Hvis J er endelig, er den direkte summen og det direkte produktet isomorfe, men generelt har de ganske forskjellige egenskaper.Siden en ring er både en venstre og høyre modul over seg selv, er det mulig å konstruere tensorproduktet Av R over en ring S med en annen ring T for å få en annen ring, forutsatt At S er en sentral delring av R og T.

  Historie

  studiet av ringer stammer fra studiet av polynomiske ringer og algebraiske tallfelt i andre halvdel av det nittende århundre, blant Annet Av Richard Dedekind. Begrepet ring selv ble imidlertid laget Av David Hilbert i 1897.

  Se også

  • Ordliste for ringteori
  • Algebra over en kommutativ ring
  • Ikke-Assosiativ ring
  • Spesielle typer ringer:
    • Kommutativ ring
    • Felt
    • Integral domene (ID)
    • hoved ideal domene (PID)
    • Unik faktorisering domene (UFD)
• Konstruksjoner av ringer

Gruppering

Matrisering

Polynom ring li

ringer med ekstra struktur

• differensialring
• euklidsk domene (ed)