physical setup

naszym celem jest zapewnienie ostatecznych ograniczeń ilościowych mających zastosowanie do każdej procedury chłodzenia—mianowicie, chcemy znaleźć niższą granicę temperatury, którą system może osiągnąć po każdym procesie, który wykorzystuje pewne dane zasoby lub trwa jakiś określony czas t. Dlatego musimy pozwolić na najbardziej ogólną transformację kwantową, czyli taką, która respektuje całkowite zachowanie energii i jest mikroskopijnie odwracalna (unitarna). Ta ogólna konfiguracja obejmuje termodynamicznie nieodwracalne protokoły, a także nierealistyczne protokoły, w których wymagana jest całkowita kontrola mikroskopijnych stopni swobody kąpieli. Co zaskakujące, znajdziemy tutaj, jak stwierdzono w przypadku drugiego prawa25,27, 29, 30, że posiadanie takiego nierealistycznego stopnia kontroli nie wydaje się dawać przewagi nad posiadaniem bardzo prymitywnej kontroli.

pokażemy, że gęstość Stanów zbiornika wspomagającego proces chłodzenia ma istotny wpływ na szybkość chłodzenia układu. (Gęstość Stanów Ω (E) jest liczbą stanów z energią E.) widzimy, że im szybciej Ω (E) rośnie, tym niższa temperatura, którą można osiągnąć przy stałych zasobach lub w określonym czasie. Co więcej: jeśli Ω (E) rośnie wykładniczo lub szybciej, to ochłodzenie do zera absolutnego w skończonym czasie jest w zasadzie możliwe, dopuszczając naruszenie trzeciego prawa. Zobaczymy jednak, że wykładnicze lub nadekomponentne Ω(E) powinny być uważane za niefizyczne. Staje się to bardziej intuicyjne, gdy wyraża się je w kategoriach (mikro-kanonicznej) pojemności cieplnej C(E), związanej z S(E)=Ln Ω(E) poprzez

, gdzie liczby pierwsze reprezentują różnice. Jeśli Ω(E) rośnie wykładniczo lub szybciej, to C (E) jest nieskończone lub ujemne, co jest uważane za niefizyczne. Jeśli Ω (E)jest sub wykładnicza, to C (E) jest dodatnia. Im szybciej Ω(E) rośnie, tym większe jest C (E). Tylko zbiornik z nieskończenie wymiarową przestrzenią Hilberta może utrzymywać wzrost S (E) dla wszystkich E. i rzeczywiście, nieskończenie wymiarowymi zbiornikami są te, które pozwalają na szybsze chłodzenie. Jednak nasze wyniki są ogólne i odnoszą się również do przypadku skończonych wymiarów.

Załóżmy, że chcemy schłodzić układ kwantowy z wymiarem przestrzennym Hilberta d, A Hamiltonian HS z degeneracją w stanie przyziemnym g, luką nad stanem przyziemnym Δ i największą energią J. jakie są zasoby potrzebne do tego?

podstawowe założenia

określimy bardziej konkretną konfigurację i zbierzmy założenia, które przyjmiemy (te, które pochodzą z pierwszych zasad):

(i) uważamy, że początek procesu jest wtedy, gdy system nie został jeszcze wprowadzony w kontakt z systemem przechowywania pracy (wagą) ani zbiornikiem, tak że początkowo stan Globalny to pS⊗pB p pW. Chociaż inny scenariusz początkowy może być interesujący, jego rozważenie wykracza poza zakres niniejszego dokumentu.

(ii) pozwalamy na najbardziej ogólną transformację kwantową układu, kąpieli i masy, która jest odwracalna (unitarna)i zachowuje energię całkowitą. Może to wydawać się restrykcyjne w porównaniu z paradygmatami, które pozwalają na arbitralne warunki interakcji, jednak tak nie jest, ponieważ arbitralne interakcje mogą być włączone do modelu, jak pokazano w dodatku H do ref. 27 i w ref. 25, po prostu pozwalając na wahania energii systemu pracy. W wielu paradygmatach jest to pośrednio wymuszane przez założenie, że cała brakująca energia jest liczona jako praca. Paradygmaty, które rozluźniają ten warunek, zasadniczo ignorują energię przekazywaną innym systemom lub traktują te inne systemy jako klasyczne. Zasadniczo nakładamy oszczędność energii, aby zapewnić właściwe uwzględnienie wszystkich kosztów energii związanych z interakcją, podczas gdy różne jednostki lub pojęcia interakcji po prostu przenoszą lub pobierają energię z ciężaru, aby ją zrekompensować. Proces chłodzenia jest więc dowolną transformacją postaci

gdzie U jest globalnym unitarnym spełniającym

(iii) praca zużywana w ramach transformacji jest pobierana od wagi. Ponieważ jesteśmy zainteresowani ostatecznymi ograniczeniami, rozważamy idealizowaną wagę z Hamiltonianem o ciągłym i nieograniczonym spektrum . Każdy inny system pracy może być symulowany za pomocą tego one30. Oznaczamy przez wmax najgorszą wartość zużytej pracy, czyli

wmax będzie na ogół znacznie większy niż średnia praca 〈W〉. W każdym fizycznie rozsądnym procesie przeprowadzanym w skończonym czasie, oczekuje się, że będzie skończony.

(iv) wymagamy również, jak w ref. 29, że transformacja chłodzenia dojeżdża do tłumaczenia na wagę. Innymi słowy, działanie maszyny termicznej jest niezależne od pochodzenia energii ciężaru, tak że po prostu zależy od tego, ile pracy jest dostarczana z ciężaru. Można to rozumieć jako określenie, czym jest praca—jest to jedynie zmiana energii, którą możemy wywołać na jakimś zewnętrznym systemie. Zapewnia to również, że waga jest tylko mechanizmem dostarczania lub przechowywania pracy, a nie jest na przykład zrzutem entropii (patrz wynik 1 w dyskusji dodatkowej). Zapewnia to również, że proces chłodzenia zawsze pozostawia wagę w stanie, który może być użyty w następnym uruchomieniu lub procesie. Tak więc

gdzie operator Π działa jako dla wszystkich . Poza tym pozwalamy na arbitralny stan początkowy wagi pW. W szczególności może on być spójny, co stanowi zalet27.

(v) Zakładamy, że kąpiel ma objętość V i jest w stanie termicznym przy danej temperaturze odwrotnej , z ZB funkcja podziału kąpieli. Gęstość energii swobodnej kąpieli (w stanie kanonicznym pB) oznaczamy .

(vi) mikro-kanoniczna pojemność cieplna (2) nie jest ujemna C(E) dla wszystkich energii E. Oznacza to, że S(E) jest podliniowa w E. W metodach uzupełniających udowadniamy również, że jeśli S (E) rośnie liniowo lub szybciej, wówczas możliwe jest doskonałe ochłodzenie w skończonym czasie.

z tymi założeniami pokazujemy, że aby idealnie schłodzić system do zera bezwzględnego, przynajmniej jeden z tych dwóch zasobów, objętość bath V, lub najgorsza wartość pracy zużywanej wmax musi być nieskończona. Ponadto ograniczyliśmy najniższą osiągalną temperaturę układu pod względem V i wmax.

Kwantyfikując nieosiągalność na podstawie pierwszych zasad

z założeniami (i)–(vi), rozważamy dwa przypadki, jeden, w którym stan początkowy i końcowy są termiczne i jeden, w którym zezwalamy na dowolne Stany początkowe i końcowe. Nasz pierwszy wynik dotyczy pierwszego i stwierdza, że w każdym procesie, w którym najgorszą pracą jest Wmax, końcowa temperatura układu nie może być niższa niż

w dużym limicie wmax,V. Mikro-kanoniczna gęstość energii swobodnej w temperaturze odwrotnej β0 jest określona przez

gdzie E0 jest rozwiązaniem równania s'(E0)=β0. Przypomnijmy, że gdy objętość kąpieli V jest duża, zwykle jest tak, że fmic(β0)=fcan (β0) i są one niezależne od V.

przeanalizujmy zachowanie równania (7) pod względem zainwestowanych zasobów. W miarę wzrostu wmax, β0 maleje, a FMIC wzrasta, dając niższą temperaturę końcową . Ponieważ cała zależność objętości w równaniu (7) jest jednoznaczna, stąd większe V przekłada się również na niższą temperaturę końcową.

poniżej podajemy Wiązanie dla fizycznie istotnej rodziny entropii

gdzie α > 0 i ν∈[1/2, 1) są dwiema stałymi. Taka Entropia jest obszerna i jeśli ustawimy opisuje ona promieniowanie elektromagnetyczne (lub dowolne bezmasowe pole bozonowe) w D-wymiarowym polu objętości V. Powszechnie uważa się, że nie ma innego zbiornika, który ma gęstość Stanów rosnących szybciej z E niż ten36, a na pewno żaden, który ma ν≥1. Późniejsza, odpowiada omawianej wcześniej kąpieli o ujemnej pojemności cieplnej, która umożliwia chłodzenie za pomocą skończonego wmax. W dyskusji uzupełniającej dostosowujemy bound (7) do entropii (9), uzyskując

do terminów wiodących. Cała zależność od V i wmax jest wyraźna. W szczególności obserwujemy, że większe wartości V i wmax pozwalają na niższe temperatury. A także większe wartości ν, co powoduje szybszy wzrost entropii, pozwalając na niższe temperatury.

jak wspomniano powyżej, procesy chłodzenia, które uważamy za bardzo ogólne. W szczególności mogą zmieniać Hamiltonian układu podczas procesu, o ile końcowy Hamiltonian jest identyczny z początkowym. Wyklucza to nieinteresującą metodę chłodzenia polegającą na przeskalowaniu Hamiltonianu HS→0. Jednak nasze granice można łatwo dostosować do procesu, w którym końcowy Hamiltonian różni się od początkowego, co omówimy we wniosku.

rozważmy teraz bardziej ogólny przypadek, w którym ani stan początkowy, ani końcowy nie muszą być termiczne, ale mogą być arbitralne. Jak już wiadomo14,15,17,18,30, nieosiągalność zera bezwzględnego nie wynika z faktu, że stan docelowy ma niską energię, ale raczej z niskiej entropii. Stąd to bezpośrednio przekłada się na nieosiągalność dowolnego czystego stanu, lub bardziej ogólnie dowolnego stanu o randze g niższej niż stan początkowy. Tego typu procesy są ogólnie znane jako usuwanie informacji lub oczyszczanie. Teraz analizujemy ograniczenia procesów, które przyjmują dowolny stan początkowy pS i przekształcają go w stan końcowy ze wsparciem na projektorze g-rank P. obliczamy niedokładność transformacji za pomocą błędu . Dla jasności Zakładamy, że układ ma trywialny Hamiltonian HS=0 (ogólny przypadek jest traktowany w dyskusji uzupełniającej) i oznaczamy przez λmin i λmax najmniejsze i największe wartości własne pS. W metodach uzupełniających pokazujemy, że każdy proces pS→ ma błąd

wyniki przedstawione powyżej, a także inne bardziej ogólnikowe przedstawione w dyskusji uzupełniającej, określają naszą zdolność do chłodzenia systemu (lub bardziej ogólnie, wprowadzają go w stan obniżonej rangi), pod względem dwóch zasobów: objętości kąpieli V i najgorszej fluktuacji pracy zużywanej Wmax. Stanowią więc formę trzeciego prawa, w tym sensie, że wiążą się z chłodzeniem, biorąc pod uwagę pewne skończone zasoby. Teraz chcemy przełożyć to na czas potrzebny na ochłodzenie systemu, i zrobimy to, rozważając pojęcie maszyny termicznej i tworząc dwa fizycznie rozsądne założenia.

maszyny termiczne

przypomnijmy, że dziedzina złożoności obliczeniowej opiera się na tezie Churcha-Turinga—idei, że uważamy komputer za maszynę Turinga, a następnie badamy, jak czas obliczeń skaluje się z rozmiarem problemu. Różne maszyny mogą działać inaczej—Głowica komputera może poruszać się szybciej lub wolniej po taśmie pamięci; Informacje mogą być przechowywane w bitach lub w wyższych jednostkach pamięci, a głowica może zapisywać do tej pamięci z różną prędkością. Wydaje się, że natura nie narzuca podstawowego ograniczenia wymiarów jednostki pamięci komputera ani szybkości, z jaką może być zapisana. Jednak dla jakiejkolwiek fizycznie racjonalnej realizacji komputera i bez względu na szybkość tych operacji, jest on stały i skończony, a dopiero potem badamy skalowanie czasu z rozmiarem problemu. Ważne jest ogólne skalowanie czasu za pomocą danych wejściowych (wielomianowych lub wykładniczych), a nie jakichkolwiek stałych. Podobnie tutaj, rozważymy stałą maszynę termiczną i założymy, że może ona przenosić tylko skończoną ilość energii do łaźni cieplnej w skończonym czasie. Podobnie, w skończonym czasie, nie może zbadać nieskończonej wielkości kąpieli cieplnej. Maszyna termiczna, która w przeciwnym razie byłaby fizycznie nierozsądna.

możemy uznać zarówno V, jak i wmax za monotoniczne funkcje czasu t. im dłużej pracuje nasza maszyna termiczna, tym więcej pracy może pompować do łaźni cieplnej i tym większa objętość wanny może eksplorować. Dla każdej konkretnej maszyny termicznej można umieścić skończone Wiązanie na , podstawiając te funkcje do równania (10). W szczególności, jeśli założymy, że interakcja jest pośredniczona przez dynamikę lokalnego Hamiltonianu, to interakcja układu z wanną o objętości V i wymiarze przestrzennym d zajmie czas

gdzie v jest proporcjonalna do prędkości dźwięku w wannie (lub prędkości Lieb–Robinson 37), A V1/D wymiar liniowy w wannie. Implementacja General unitaries zajmuje znacznie więcej czasu niż równanie (12), ale to służy jako dolna granica. Ponieważ interesuje nas skalowanie temperatury z czasem, a nie ze stałymi czynnikami, nie musi nas niepokoić fakt, że praktyczne maszyny termiczne działają ze znacznie wolniejszymi prędkościami. Oczywiście, podobnie jak w przypadku rzeczywistych komputerów, maszyny termiczne mają zwykle prędkości znacznie poniżej granicy Lieb-Robinsona. Zauważ, że pomimo skończenia V, przestrzeń Hilberta w łaźni może być nieskończenie wymiarowa. Jeśli chcemy mieć wiązkę niezależną od maszyny termicznej i niezależną od prędkości dźwięku, która jest własnością łaźni, to zawsze możemy przyjąć v jako prędkość światła. Chociaż taka granica nie byłaby praktycznie istotna, byłaby fundamentalna. Jest to podobne do ograniczeń w obliczeniach, gdzie aby uzyskać podstawową Wiązanie, należy wziąć prędkość bramy, aby być nieskończoną (ponieważ nie ma na tym podstawowej wiązania) i przekształcić liczbę bitów używanych w procesie na czas, mnożąc przez prędkość światła.

zależność między pracą Wmax a czasem t uzyskuje się poprzez zauważenie następujących W skończonym t nie jest możliwe wstrzyknięcie do wanny nieskończonej ilości pracy. Dla uproszczenia Zakładamy tutaj zależność liniową

gdzie stała u będzie zależeć od oddziaływań między układem a wagą. Podkreślamy jednak, że jeśli konkretna konfiguracja fizyczna jest nieprawidłowo modelowana przez relacje (12) i (13), to wszelkie inne wiązania t≥H1(wmax) i t≥H2(V) są również dobre. Dopóki H1 i h2 są funkcjami ściśle monotonicznymi, zasada nieosiągalności będzie obowiązywać.

ograniczenia korzystanie z maszyn termicznych

dla każdej konkretnej maszyny termicznej możemy teraz określić ograniczenia temperatury, którą można osiągnąć w danym czasie t. ponieważ układ fizyczny z najszybszym wzrostem entropii, o którym jesteśmy świadomi, jest promieniowaniem, warto poświęcić następny akapit sprawie w równaniu (9), ponieważ powinno to zapewnić Wiązanie o szerokiej ważności. Korzystając z poszczególnych relacji (12) i (13), i podstawiając je do równania (10), dla przypadku promieniowania otrzymujemy

w dużej granicy t. Nasza granica (14) Może być bezpośrednio dostosowana do dowolnej innej relacji t≥H1(wmax) i t≥H2(V). Interesujące jest obserwowanie w równaniu (14) zależności między czasem charakterystycznym (ile czasu zajmuje schłodzenie do stałej ) a wielkością układu VS. Wykorzystując zwykłą relację LN D∝VS otrzymujemy skalowanie podliniowe

coś co dotyczy wyniku (11) jest takie, że w granicy λmin→0 granica staje się trywialna . Można to rozwiązać poprzez obcięcie stanu początkowego pS do podprzestrzeni zawierającej największe wartości własne K i optymalizację wynikającej wiązania dla jako funkcji K. Ponadto ta metoda obcinania pozwala rozszerzyć wszystkie nasze wyniki do układów nieskończenie wymiarowych (d=∞).