w matematyce pierścień jest strukturą algebraiczną z dwiema operacjami binarnymi, potocznie nazywanymi dodawaniem i mnożeniem. Operacje te są zdefiniowane tak, aby emulować i uogólniać liczby całkowite. Inne typowe przykłady Pierścieni to pierścień wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach rzeczywistych lub pierścień macierzy kwadratowych o danym wymiarze.

aby kwalifikować się jako pierścień, dodawanie musi być komutacyjne, a każdy element musi mieć odwrotność pod dodawaniem: na przykład odwrotność addytywna 3 wynosi -3. Jednak mnożenie w ogóle nie spełnia tych właściwości. Pierścień, w którym mnożenie jest przemienne i każdy element oprócz addytywnego elementu tożsamościowego (0) mA odwrotność mnożenia (odwrotność) nazywa się polem: na przykład zbiorem liczb wymiernych. (Jedynym pierścieniem, w którym 0 mA odwrotność, jest trywialny pierścień tylko jednego elementu.)

pierścień może mieć skończoną lub nieskończoną liczbę elementów. Przykładem pierścienia o skończonej liczbie elementów jest , zbiór resztek, gdy liczba całkowita jest podzielona przez 5, tj. zbiór {0,1,2,3,4} z operacjami takimi jak 4 + 4 = 3, Ponieważ 8 ma resztę 3, gdy dzieli się przez 5. Podobny pierścień można utworzyć dla innych dodatnich wartości .

definicja Formalna

pierścień jest zbiorem R wyposażonym w dwie operacje binarne, które na ogół są oznaczone + i · oraz nazywane odpowiednio dodawaniem i mnożeniem, takie, że:

• (R, +) jest grupą abelową
• Mnożenie jest asocjacyjne
• lewe i prawe prawa dystrybutywne posiadają:
  • a·(b + c) = (a·b) + (a·c)
  • (A + B)·C = (A·C) + (B·C)

w praktyce symbol · jest zwykle pomijany, a mnożenie jest po prostu oznaczane przez zestawienie. Przyjmuje się również zwykłą kolejność operacji, tak że a + bc jest skrótem od A + (b·c). Własność rozdzielności jest określona oddzielnie dla lewego i prawego mnożenia, aby objąć przypadki, w których mnożenie nie jest przemienne, takie jak pierścień macierzy.

rodzaje pierścieni

Pierścień jednostkowy

pierścień, w którym istnieje element tożsamości do mnożenia nazywany jest pierścieniem jednostkowym, pierścieniem unitarnym lub po prostu pierścieniem z tożsamością. Element tożsamości jest ogólnie oznaczony jako 1. Niektórzy autorzy, zwłaszcza Bourbaki, domagają się, aby ich pierścienie miały element tożsamości i nazywają pierścienie bez pseudoringów tożsamości.

Pierścień komutacyjny

pierścień, w którym operacja mnożenia jest komutacyjna, nazywany jest pierścieniem komutacyjnym. Takie pierścienie przemienne są podstawowym przedmiotem badań w algebrze przemiennej, w której przyjmuje się, że pierścienie mają jednostkę.

Division ring

aby uzyskać więcej informacji, zobacz: Division ring.

pierścień jednostkowy, w którym każdy niezerowy element a ma odwrotność, czyli element a−1 taki, że A−1A = aa−1 = 1, nazywany jest pierścieniem dzielącym lub polem skośnym .

Homomorfizmy pierścieni

homomorfizm pierścienia jest odwzorowaniem z pierścienia do pierścienia z uwzględnieniem operacji pierścienia. Oznacza to, że

Jeśli pierścienie są zespolone, często przyjmuje się, że mapuje element tożsamości do elementu tożsamości .

homomorfizm może odwzorować większy zbiór na mniejszy zbiór; na przykład pierścień może być liczbą całkowitą I może być odwzorowany na pierścień trywialny, który zawiera tylko pojedynczy element .

Subrings

Jeśli jest pierścieniem, podzbiór z nazywa się podzbiorem, jeśli jest pierścieniem w ramach operacji pierścienia dziedziczonych z . Można zauważyć, że jest to równoważne wymaganiu, aby było zamknięte pod mnożeniem i odejmowaniem.

Jeśli jest unital, niektórzy autorzy żądają, aby podzbiór zawierał jednostkę.

ideały

dwustronny ideał pierścienia jest podzbiorem takim, że dla dowolnego elementu w I każdy element w mamy, że I są elementami . Pojęcie ideału pierścienia odpowiada pojęciu normalnych podgrup grupy. W ten sposób możemy wprowadzić relację równoważności na , deklarując, że dwa elementy są równoważne, jeśli ich różnica jest elementem . Zbiór klas równoważności jest następnie oznaczany przez I jest pierścieniem z wywołanymi operacjami.

Jeśli jest homomorfizmem pierścieniowym, to jądro h, zdefiniowane jako odwrotny obraz 0,, jest ideałem. Z drugiej strony, jeśli jest ideałem , to istnieje naturalny homomorfizm pierścienia, homomorfizm ilorazowy, od do taki, że jest zbiorem wszystkich elementów odwzorowanych na 0 W .

przykłady

• pierścień trywialny {0} składa się tylko z jednego elementu, który służy zarówno jako tożsamość addytywna, jak i multiplikatywna.
• liczby całkowite tworzą pierścień z dodawaniem i mnożeniem zdefiniowanym jak zwykle. To jest pierścień przemienny.
  • Liczby wymierne, rzeczywiste i zespolone tworzą pierścienie przemienne.
• zbiór wielomianów tworzy pierścień przemienny.
• zbiór macierzy kwadratowych tworzy pierścień pod dodawaniem i mnożeniem macierzy. Ten pierścień nie jest przemienny, jeśli n> 1.
• zbiór wszystkich ciągłych funkcji rzeczywistych zdefiniowanych na przedział tworzy pierścień pod punktowym dodawaniem i mnożeniem.

konstruowanie nowych pierścieni z podanych

• dla każdego pierścienia możemy zdefiniować pierścień przeciwny odwracając mnożenie w. W przypadku mnożenia w , mnożenie w jest zdefiniowane jako . „Mapa tożsamości”z do , odwzorowująca każdy element na siebie, jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy jest komutacyjny. Jednak nawet jeśli nie jest komutacyjny, nadal możliwe jest, aby I było izomorficzne przy użyciu innej mapy. Na przykład, jeśli jest pierścieniem macierzy liczb rzeczywistych, to mapa transpozycji z do , odwzorowująca każdą macierz na jej transpozycję, jest izomorfizm.
• środek pierścienia jest zbiorem elementów , które łączą się z każdym elementem ; to znaczy jest elementem center if dla każdego . Centrum jest podzbiorem . Mówimy, że podzbiór jest centralny, jeśli jest podzbiorem środka .
• bezpośrednim iloczynem dwóch pierścieni R I S jest iloczyn kartezjański R×S wraz z operacjami

(r1, s1) + (R2, s2) = (r1+R2, s1+S2) i (r1, s1)(r2, s2) = (r1r2, s1s2). Przy tych operacjach R×S jest pierścieniem.

• Ogólnie rzecz biorąc, dla dowolnego zbioru indeksów J i zbioru pierścieni istnieje iloczyn bezpośredni i suma bezpośrednia.
  • bezpośrednim iloczynem jest zbiór „nieskończonych krotek” z dodawaniem i mnożeniem jako operacjami.
  • suma bezpośrednia zbioru pierścieni jest podzbiorem iloczynu bezpośredniego składającym się ze wszystkich nieskończonych krotek z właściwością, że rj = 0 dla wszystkich, ale skończenie wielu J. w szczególności, jeśli J jest skończone, to suma bezpośrednia i iloczyn bezpośredni są izomorficzne, ale ogólnie mają zupełnie inne właściwości.
• ponieważ dowolny pierścień jest zarówno lewym, jak i prawym modułem nad sobą, możliwe jest skonstruowanie iloczynu tensorowego R nad pierścieniem S z innym pierścieniem T, aby otrzymać kolejny pierścień, pod warunkiem, że S jest centralnym podzbiorem R I T.

Historia

badanie pierścieni pochodzi z badania pierścieni wielomianowych i algebraicznych pól liczbowych w drugiej połowie XIX wieku, między innymi przez Richarda Dedekinda. Sam termin ring został jednak ukuty przez Davida Hilberta w 1897 roku.

Zobacz też

• Słowniczek teorii pierścieni
• Algebra nad pierścieniem komutacyjnym
• pierścień Nieasocjacyjny

• specjalne typy pierścieni:
  • Pierścień przemienny
  • Pierścień podziału
  • pole
  • domena Całkowa (ID)
  • Główna domena idealna (PID)
  • unikalna domena faktoryzacji (UFD)
• konstrukcje pierścieni
  • Pierścień grupy
  • pierścień macierzy
  • pierścień wielomianowy
• pierścienie z dodaną strukturą
  • pierścień różnicowy
  • domena euklidesowa (ed)