Silnia 52: Problem Stirlinga – czyli

na ile sposobów można ułożyć talię kart? Bardzo łatwo jest obliczyć odpowiedź, ale bardzo trudno zrozumieć jej znaczenie.

Karta-Arc

istnieje 52 karty. W ten sposób pierwszy z nich może być wybrany na 52 sposoby. Następna może być dowolna z pozostałych 51 kart. Po trzecie, istnieje 50 opcji, i tak dalej, aż tylko jedna karta pozostaje, pozostawiając tylko opcję, aby umieścić go jako ostatni.

total number of possibilities is

$52! \ equiv 52 \ times 51 \ times 50 \times \ dots \times 3 \times 2 \times 1\,.$

liczba ta nazywa się silnia 52. Powiedzieć, że jest to duża liczba jest niedopowiedzeniem. Program Mathematica potrafi obliczyć z dowolną dokładnością i wpisując polecenie Factorial daje następujący wynik:

$8065817517094387857166063685640376697528950544088327782400000000000$

w bardziej skompresowana notacja, to jest $8.06582\razy 10^{67}$ , lub, aby tylko jedna cyfra dokładności, ${10^{68}}$ ; oznacza to, że 1 następuje 68 zer.

opis 52!

trudno zobrazować wielkość ${52!$ pod względem praktycznym. Ludzie mówili o liczbie kropli w oceanie lub o tym, ile ziaren piasku wypełniłoby Wielki Kanion. Te liczby nie zbliżają się do ${52!}$ .

liczbę atomów w obserwowalnym wszechświecie szacuje się na około ${10^{80}}$ , który jest bilion razy większy niż ${52!}$ . Ale czy to naprawdę pomaga nam wyobrazić sobie, jak wygląda jedna z tych liczb? Artykuł Wikipedii o nazwach dużych liczb opisuje ${10^{66}}$ jako unvigintylion. ${52! \ approx 8 \ times 10^{67}}$ to około osiemdziesiąt nievigintylionów. Ale to tylko imię.

wszechświat ma $4\razy 10^{17}$ sekundy stare. Jeśli losowy układ kart był wybierany co sekundę przez całe życie wszechświata, tylko niewielki ułamek wszystkich możliwych kolejności zostanie wybrany. Szansa na dwukrotne wybranie tego samego zamówienia jest zupełnie znikoma. Nawet gdyby co sekundę wybierano miliard rozwiązań, nadal nie byłoby realnej szansy na ich duplikat.

za zabawny opis zdumiewającej wielkości ${52!$ , patrz http://czep.net/weblog/52cards.html

przybliżenie Stirlinga

obliczenie liczby ${52}$ jest proste. Po prostu pomnóż 52 przez 51, wynik przez 50 i tak dalej, aż dojdziesz do 1. Ale jakże to uciążliwe i jakże podatne na błędy!

istnieje piękne wyrażenie dające przybliżenie do dowolnej silni, nazwane na cześć Jamesa Stirlinga (1692-1770), Szkockiego matematyka (choć wydaje się, że wynik został podany wcześniej przez Abrahama de Moivre). Przybliżenie to

$n! \approx S_1 (n) \ equiv \sqrt{2 \ pi n} \ left (\frac{n}{e}\right)^n$

To jest właściwie pierwszy wyraz w asymptotycznym rozwinięciu. Biorąc następny wyraz mamy

$n! \approx S_2(n) \equiv \sqrt{2\pi N}\left(\frac{n}{e}\right)^n\left(1+\frac{1}{12N}\right)$

podłączenie argumentu ${n = 52}$ , pierwszy wzór daje ${s_1(52) = 8.0529\razy 10^{67}}$ co jest poprawne do 2 miejsc po przecinku. Drugi wzór daje ${s_2(52) = 8.06581\razy 10^{67}}$ , z względnym błędem tylko jednej części na milion.

kolejne przybliżenie zostało znalezione wśród prac Indyjskiego matematyka Srinivasa Ramanujana i opublikowane w jego Lost Notebook w 1988 roku:

$\Ln(n!) \ approx n\Ln(n)-N+{\frac{1}{6}}\Ln(n(1+4n(1+2N)))+{\frac {1}{2}}\ln(\pi ).$

to daje ${52!$ do jednej części na miliard.

tasowanie i powtarzanie kolejności

przy tak dużej liczbie możliwości, można zapytać, czy dowolnie wybrana kolejność talii kart występuje więcej niż raz. Podejmując bardzo rozsądne założenia, łatwo jest twierdzić, że konkretne zamówienie nigdy nie wystąpi dwa razy w ciągu życia wszechświata. Tak więc, kiedy dokładnie wymieszać karty, jesteś zobowiązany do osiągnięcia zamówienia, który nigdy nie był widziany wcześniej i nigdy nie będzie widziany ponownie.

jednak jest tu duży zastrzeżenie. Tasowanie kart musi być wystarczająco dokładne, aby zapewnić prawdziwą randomizację. Badania matematyczne wykazały, że niewielka liczba skutecznych tasowań wystarczy, aby wymieszać pakiet do losowej kolejności. Bayer i Diaconis (1992) pokazali, że po siedmiu losowych tasowaniach riffowych, każdy z 52! możliwe konfiguracje są równie prawdopodobne.

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

You may like this....