(iii) det arbete som förbrukas inom transformationen är taget från vikten. Eftersom vi är intresserade av ultimata begränsningar anser vi en idealiserad vikt med Hamiltonian som har kontinuerligt och obegränsat spektrum . Alla andra arbetssystem kan simuleras med den här30. Vi betecknar med wmax det värsta värdet av det förbrukade arbetet, det vill säga

wmax kommer i allmänhet att vara mycket större än det genomsnittliga arbetet bisexuell w bisexuell. I varje fysiskt rimlig process som utförs i ändlig tid förväntar man sig att den är ändlig.

(iv) vi kräver också, som i ref. 29, att kyltransformationen pendlar med översättningarna på vikten. Med andra ord är den termiska maskinens funktion oberoende av ursprunget till energier av vikten, så att det bara beror på hur mycket arbete som levereras från vikten. Detta kan förstås som att definiera vad arbete är-det är bara den energiförändring vi kan inducera på något externt system. Detta säkerställer också att vikten endast är en mekanism för att leverera eller lagra arbete och inte är till exempel en entropidump (se resultat 1 i Tilläggsdiskussionen). Det säkerställer också att kylprocessen alltid lämnar vikten i ett tillstånd som kan användas i nästa körning eller processen. Således

där den Hermitiska operatören Bisexuell fungerar som för alla. Utöver detta tillåter vi det ursprungliga tillståndet för vikten pW att vara godtyckligt. I synnerhet kan det vara sammanhängande, vilket ger en fördel27.

(v) vi antar att badet har volym V och är i termiskt tillstånd vid given invers temperatur, med ZB badets partitionsfunktion. Vi betecknar badets fria energitäthet (i det kanoniska tillståndet pB) med .

(vi) den mikrokanoniska värmekapaciteten (2) är inte negativ C(E) för alla energier E. Detta innebär att S(E) är sublinjär i E. Vi bevisar också i de kompletterande metoderna att om S(E) växer linjärt eller snabbare, är perfekt kylning i ändlig tid möjlig.

med dessa antaganden visar vi att för att helt kyla systemet till absolut noll måste minst en av dessa två resurser, volymen av badet V eller det värsta fallet av det förbrukade wmax-arbetet vara oändligt. Vi bundet också den lägsta uppnåeliga temperaturen i systemet I Termer Av V och wmax.

kvantifiera ouppnåbarhet från första principerna

med antaganden (i) – (vi) betraktar vi två fall, ett där det ursprungliga och slutliga tillståndet är termiskt och ett där vi tillåter godtyckliga initiala och slutliga tillstånd. Vårt första resultat gäller det förra och säger att i alla processer där det värsta fallet injiceras är wmax, kan systemets slutliga temperatur inte vara lägre än

i den stora wmax,V-gränsen. Den mikrokanoniska frienergitätheten vid invers temperatur 20 definieras av

där E0 är lösningen av ekvationen S'(E0)=0. Minns att, när volymen av badet V är stor, är det oftast så att fmic(20)=fcan (20) och dessa är oberoende av V.

låt oss analysera beteendet hos ekvationen (7) i termer av de resurser som investerats. I takt med att wmax växer minskar och FMIC ökar, vilket ger en lägre sluttemperatur . Eftersom allt volymberoende i ekvation (7) är explicit, innebär en större V också en lägre sluttemperatur.

i det följande tillhandahåller vi en gräns för den fysiskt relevanta familjen av entropier

där Bisexuell>0 och bisexuell[1/2, 1) är två konstanter. En sådan entropi är omfattande, och om vi ställer in beskriver den elektromagnetisk strålning (eller något masslöst bosoniskt fält) i en D-dimensionell låda med volym V. Man tror allmänt att det inte finns någon annan reservoar som har en täthet av stater som växer snabbare med E än this36, och absolut ingen som har 1. Den senare, motsvarar badet med negativ värmekapacitet diskuterats tidigare, vilket möjliggör kylning med ändlig wmax. I den kompletterande diskussionen anpassar vi bunden (7) till entropin (9) och erhåller

upp till ledande termer. Nu är allt beroende av V och wmax explicit. I synnerhet observerar vi att större värden på V och wmax möjliggör lägre temperaturer. Och även större värden på GHz, vilket motsvarar en snabbare entropitillväxt, vilket möjliggör lägre temperaturer.

som nämnts ovan är de kylprocesser som vi anser mycket generella. I synnerhet kan de ändra Hamiltonian av systemet under processen, så länge som den slutliga Hamiltonian är identisk med den ursprungliga HS. Detta utesluter den ointressanta kylningsmetoden som består av omskalning av Hamiltonian hs 0. Men våra gränser kan lätt anpassas för att bearbeta där den slutliga Hamiltonian skiljer sig från den ursprungliga, som vi kommer att diskutera i slutsatsen.

låt oss nu överväga det mer allmänna fallet, där varken det ursprungliga eller slutliga tillståndet behöver vara termiskt, men istället kan vara godtyckligt. Som det redan är välkänt14, 15, 17, 18, 30, är den absoluta nollens ouppnåbarhet inte en följd av det faktum att måltillståndet har låg energi, utan snarare att det har låg entropi. Därför översätts detta direkt till ouppnåbarheten hos något rent tillstånd, eller mer generellt, vilket tillstånd som helst med rang g lägre än det ursprungliga tillståndet. Dessa typer av processer är allmänt kända som informationsradering eller rening. Nu analyserar vi begränsningarna för alla processer som tar ett godtyckligt initialtillstånd pS och omvandlar det till ett slutligt tillstånd med stöd på G-rank-projektorn P. Vi kvantifierar transformationens felaktighet med felet . För tydlighetens skull antar vi att systemet har trivial Hamiltonian HS = 0 (det allmänna fallet behandlas i Tilläggsdiskussionen), och vi betecknar de minsta och största egenvärdena för PS med hjälp av augmentmin och augmentmax. I de kompletterande metoderna visar vi att varje process pS bisexual har fel

resultaten som presenteras ovan, liksom andra av mer generalitet som presenteras i den kompletterande diskussionen, kvantifierar vår förmåga att kyla ett system (eller mer allmänt, sätt det i ett reducerat rangläge), när det gäller två resurser: volymen av badet V, och det värsta fallet fluktuation av det arbete som förbrukas wmax. De utgör således en form av tredje lag, i den meningen att de sätter en gräns för kylning, med tanke på vissa ändliga resurser. Vi vill nu översätta detta till den tid det skulle ta att kyla systemet, och vi kommer att göra det genom att överväga begreppet en termisk maskin och göra två fysiskt rimliga antaganden.

termiska maskiner

låt oss komma ihåg att området för beräkningskomplexitet bygger på Church-Turing—avhandlingen-tanken att vi anser att en dator är en Turing-maskin och sedan utforskar hur beräkningstiden skalar med problemets storlek. Olika maskiner kan fungera annorlunda-datorhuvudet kan röra sig snabbare eller långsammare över minnesbandet; information kan lagras i bitar eller i högre dimensionella minnesenheter, och huvudet kan skriva till detta minne med olika hastigheter. Naturen verkar inte införa en grundläggande gräns för dimensionen av en datorminnesenhet eller den hastighet med vilken den kan skrivas. Men för varje fysiskt rimlig realisering av en dator, och oavsett hastigheten på dessa operationer, är den fast och ändlig, och först då undersöker vi tidsskalningen med problemstorlek. Och det som är viktigt är den övergripande skalningen av tiden med inmatning (polynom eller exponentiell), snarare än några konstanter. På samma sätt kommer vi att överväga en fast termisk maskin, och vi antar att den bara kan överföra en begränsad mängd energi till värmebadet i ändlig tid. På samma sätt kan det i en begränsad tid inte utforska ett oändligt värmebad. En termisk maskin som annars skulle vara fysiskt orimlig.

Vi kan betrakta både V och wmax som monotona funktioner i tiden t. ju längre vår termiska maskin går, desto mer arbete kan den pumpa in i värmebadet och ju större volymen av badet det kan utforska. För en viss termisk maskin kan man sätta en ändlig bindning på genom att ersätta dessa funktioner i ekvation (10). I synnerhet, om vi antar att interaktionen förmedlas av dynamiken hos en lokal Hamiltonian, kommer interaktionen mellan ett system med ett bad med volym V och rymddimension d att ta tid

där v är proportionell mot ljudets hastighet i badet (eller Lieb–Robinson velocity37) och V1/D den linjära dimensionen av badet. Genomförandet av allmänna enheter tar mycket längre tid än ekvation (12), men detta tjänar som en nedre gräns. Eftersom vi här är intresserade av temperaturskalning med tiden, snarare än med konstanta faktorer, behöver vi inte vara oroade över det faktum att praktiska termiska maskiner arbetar med mycket långsammare hastigheter. Naturligtvis, precis som med faktiska datorer, har termiska maskiner i allmänhet hastigheter långt under Lieb–Robinson-gränsen. Observera att, trots V är ändlig, Hilbert utrymmet i badet kan vara oändlig-dimensionell. Om man ville ha en bunden som var oberoende av den termiska maskinen, och oberoende av ljudets hastighet som är en egenskap hos badet, då kan man alltid ta v För att vara ljusets hastighet. Även om en sådan gräns inte skulle vara praktiskt relevant, skulle den vara grundläggande. Detta liknar gränser för beräkning, var man ska få en grundläggande gräns, man bör ta grindhastigheten för att vara oändlig (eftersom det inte finns någon grundläggande gräns för detta) och konvertera antalet bitar som används i processen till tiden genom att multiplicera med ljusets hastighet.

en relation mellan worst case wmax och time t erhålls genom att märka följande. I ändlig t är det inte möjligt att injicera i badet en oändlig mängd arbete. För enkelhetens skull antar vi här ett linjärt förhållande

där konstanten u kommer att bero på interaktionerna mellan system och vikt. Vi betonar emellertid att, om en viss fysisk inställning är felaktigt modellerad av relationerna (12) och (13), är alla andra bundna txcu h1(wmax) och txcu H2(V) också bra. Så länge h1 och h2 är strikt monotona funktioner kommer ouppnåelsesprincipen att hålla.

begränsningar med termiska maskiner

för en viss termisk maskin kan vi nu härleda begränsningar av temperaturen som kan nås under en given tid t. eftersom det fysiska systemet med den snabbaste entropitillväxten som vi är medvetna om är strålning, är det värt att ägna nästa stycke till fallet I ekvation (9), eftersom detta borde ge en bunden med bred giltighet. Med hjälp av de särskilda relationerna (12) och (13) och ersätter dem i ekvation (10), för fallet med strålning, erhåller vi

i den stora t-gränsen. Vår bound (14) kan enkelt anpassas till någon annan relation t 21(wmax) och t 22(V). Det är intressant att observera i ekvation (14) förhållandet mellan den karakteristiska tiden (hur lång tid tar det att svalna till ett fast ) och storleken på systemet VS. Genom att utnyttja det vanliga förhållandet ln d exporter VS får vi den sublinjära skalningen

något som rör resultatet (11) är att i gränsen för 0 blir den bundna trivial . Detta kan lösas genom att trunkera initialtillståndet pS till delrummet som innehåller k största egenvärdena och optimera den resulterande gränsen för som en funktion av k. denna trunkeringsmetod tillåter också att utvidga alla våra resultat till oändliga dimensionella system (d=xhamster).