hur många sätt kan en kortlek ordnas? Det är väldigt lätt att beräkna svaret, men mycket svårt att förstå dess betydelse.

det finns 52 kort. Således kan den första väljas på 52 sätt. Nästa kan vara något av de återstående 51 korten. För det tredje finns det 50 val, och så vidare tills bara ett kort kvarstår, vilket bara ger möjlighet att sätta det sist.

därför är det totala antalet möjligheter

detta nummer kallas factorial 52. Att säga att det är ett stort antal är en underdrift. Programmet Mathematica kan beräkna till godtycklig precision och ange kommandot Factorial ger följande resultat:

i mer komprimerad notation, detta är , eller, till bara en enda siffra av noggrannhet, ; det vill säga 1 följt av 68 nollor.

beskriver 52!

det är svårt att illustrera storleken på när det gäller något praktiskt. Människor har pratat om antalet droppar i havet eller hur många sandkorn som skulle fylla Grand Canyon. Dessa siffror kommer ingenstans nära .

antalet atomer i det observerbara universum beräknas vara ungefär , som är en biljon gånger större än . Men hjälper det oss verkligen att visualisera hur något av dessa siffror är? Wikipedia-artikeln om namn på stora tal beskriver som en unvigintillion. Således är ungefär åttio unvigintillion. Men det här är bara ett namn.

universum är sekunder gammal. Om ett slumpmässigt arrangemang av kort valdes varje sekund under hela universums liv, skulle endast en liten del av alla möjliga orderningar väljas. Chansen att samma beställning väljs två gånger är helt försumbar. Även om en miljard arrangemang valdes varje sekund, skulle det fortfarande inte finnas någon verklig chans för en duplikat.

för en underhållande beskrivning av den häpnadsväckande storleken på , se http://czep.net/weblog/52cards.html

Stirlings Approximation

beräkningen av numret är enkel. Multiplicera bara 52 med 51, resultatet med 50 och så vidare tills du når 1. Men hur tråkigt det här är, och hur felaktigt!

det finns ett vackert uttryck som ger en approximation till någon faktor, uppkallad efter James Stirling (1692-1770), en skotsk matematiker (även om det verkar som om resultatet tidigare anges av Abraham de Moivre). Approximationen är

detta är faktiskt den första termen i en asymptotisk expansion. Med nästa termin har vi

plugga in argumentet , den första formeln ger vilket är korrekt till 2 decimaler. Den andra formeln ger , med relativt fel på endast en del i en miljon.

en annan approximation hittades bland papper från den indiska matematikern Srinivasa Ramanujan och publicerades i sin förlorade anteckningsbok 1988:

detta ger till en del i en miljard.

blanda och upprepade order

med ett så stort antal möjligheter kan man fråga om någon slumpmässigt vald ordning på ett kortlek inträffar mer än en gång. Att göra mycket rimliga antaganden är det lätt att hävda att en viss beställning aldrig kommer att inträffa två gånger under universums liv. Således, när du blandar korten noggrant, kommer du säkert att komma fram till en beställning som aldrig har sett tidigare och aldrig kommer att ses igen.

det finns dock ett stort villkor här. Blandningen av korten måste vara tillräckligt noggrann för att säkerställa sann randomisering. Matematiska studier har visat att ett litet antal effektiva shuffles räcker för att blanda upp förpackningen till slumpmässig ordning. Bayer och Diaconis (1992) visade att efter sju slumpmässiga riffle shuffles, någon av de 52! möjliga konfigurationer är lika sannolika.