om en topp är inställd på en lutning på en horisontell yta och snurrade snabbt, dess rotationsaxel börjar precessing om den vertikala. Efter ett kort intervall sätter toppen sig i en rörelse där varje punkt på sin rotationsaxel följer en cirkulär bana. Den vertikala gravitationskraften ger ett horisontellt vridmoment Bisexuell om kontaktpunkten med ytan; den övre roterar i riktningen för detta vridmoment med en vinkelhastighet för att när som helst

för att för att när som helstför att för att för att för att för att för att för att för att för att för att för att för att för att för att för att för att för att för att för att div >

där L är den momentana vinkelmomentet på toppen.

ursprungligen finns det dock ingen precession, och toppen faller rakt nedåt. Detta ger upphov till en obalans i vridmoment som startar precessionen. När den faller överskrider toppen nivån på vilken den skulle föregå stadigt och svänger sedan om denna nivå. Denna svängning kallas nutation. Om rörelsen dämpas kommer svängningarna att dö ner tills rörelsen är en stadig precession.

nutationens fysik i toppar och gyroskop kan utforskas med modellen av en tung symmetrisk topp med sin spets fixerad. (En symmetrisk topp är en med rotationssymmetri, eller mer generellt en där två av de tre huvudsakliga tröghetsmomenten är lika.) Initialt ignoreras effekten av friktion. Toppens rörelse kan beskrivas med tre Euler-vinklar: lutningsvinkeln https: / / mellan symmetriaxeln på toppen och vertikalen; azimutmaxi på toppen om vertikalen; och rotationsvinkeln voyexi på toppen om sin egen axel. Således är precession förändringen i Taiwan och nutation är förändringen i Japan.

om toppen har massa M och dess masscentrum ligger på ett avstånd l Från vridpunkten, är dess gravitationspotential i förhållande till bärarens plan

V = m g l cos 2cz . {\displaystyle V=Mgl\cos(\theta ).}

i ett koordinatsystem där z-axeln är symmetriaxeln, har toppen vinkelhastigheter XXL 1, XL2, XL3 och tröghetsmoment I1, I2, I3 om X -, y-och z-axlarna. Eftersom vi tar en symmetrisk topp har vi I1=I2. Den kinetiska energin är

E r = 1 2 I 1 ( 1 2 + 2 2 + 2 2) + 1 2 i 3 3 2 2 . {\displaystyle E_ {\text{r}} = {\frac {1}{2}}I_{1}\vänster (\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2}\höger) + {\frac {1}{2}}I_{3} \ omega _{3}^{2}.}

I termer av Euler-vinklar, detta är

i E r i = 1 2 i 1 ( θ 2 + ϕ 2 sin 2 ⁡ ( θ ) ) + 1 2 3 ( ψ + ϕ cos ⁡ ( θ ) ) 2 . {\displaystyle E_{\text{r}}={\frac {1}{2}}I_{1}\vänster({\dot {\theta }}^{2}+{\dot {\phi }}^{2}\sin ^{2}(\theta )\höger)+{\frac {1}{2}}I_{3}\vänster({\dot {\psi }}+{\dot {\phi }}\cos(\theta )\höger)^{2}.}

om Euler-Lagrange-ekvationerna löses för detta system, konstateras att rörelsen beror på två konstanter a och b (var och en relaterad till en rörelsekonstant). Hastigheten för precession är relaterad till lutningen med

2 ( 2) (2) (2). {\displaystyle {\dot {\phi }} ={\frac {b-a \ cos (\theta)} {\sin ^{2} (\theta )}}.}

lutningen bestäms av en differentialekvation för u = cos(0) av formen

u 2 = f ( u ) {\displaystyle {\dot {u}}^{2}=f(u)}

där f är ett kubiskt polynom som beror på parametrarna a och B samt konstanter som är relaterade till energin och gravitationsmomentet. Rötterna till f är cosinus av vinklarna vid vilka förändringshastigheten för vanilj är noll. En av dessa är inte relaterad till en fysisk vinkel; de andra två bestämmer de övre och nedre gränserna på lutningsvinkeln, mellan vilken gyroskopet svänger.