i matematik är en ring en algebraisk struktur med två binära operationer, vanligtvis kallad addition och multiplikation. Dessa operationer definieras för att emulera och generalisera heltalen. Andra vanliga exempel på ringar inkluderar ringen av polynom av en variabel med reella koefficienter, eller en ring av fyrkantiga matriser av en given dimension.

för att kvalificera sig som en ring måste addition vara kommutativ och varje element måste ha en invers under addition: till exempel är additiv invers av 3 -3. Multiplikation i allmänhet uppfyller emellertid inte dessa egenskaper. En ring där multiplikation är kommutativ och varje element utom tillsatsidentitetselementet (0) har en multiplikativ invers (ömsesidig) kallas ett fält: till exempel uppsättningen rationella tal. (Den enda ringen där 0 har en invers är den triviala ringen av endast ett element.)

en ring kan ha ett ändligt eller oändligt antal element. Ett exempel på en ring med ett begränsat antal element är , uppsättningen remainders när ett heltal divideras med 5, dvs uppsättningen {0,1,2,3,4} med operationer som 4 + 4 = 3 eftersom 8 har resten 3 när den divideras med 5. En liknande ring kan bildas för andra positiva värden på .

formell definition

en ring är en uppsättning R utrustad med två binära operationer, som i allmänhet betecknas + och · och kallas addition respektive multiplikation, så att:

• (R,+) är en abelsk grupp
• multiplikation är associativ
• vänster och höger fördelningslagar håller:
  • a·(b + c) = (a·b) + (a·c)
  • (a + b)·c = (a·c) + (b·c)

i praktiken utelämnas symbolen · vanligtvis, och multiplikation betecknas bara genom sammansättning. Den vanliga arbetsordningen antas också, så att a + bc är en förkortning för A + (b·c). Fördelningsegenskapen specificeras separat för vänster och höger multiplikation för att täcka fall där multiplikation inte är kommutativ, till exempel en ring av matriser.

typer av ringar

Unital ring

en ring där det finns ett identitetselement för multiplikation kallas en unital ring, enhetlig ring eller helt enkelt ring med identitet. Identitetselementet betecknas i allmänhet 1. Vissa författare, särskilt Bourbaki, kräver att deras ringar ska ha ETT identitetselement och ringa ringar utan identitetspseudoreringar.

kommutativ ring

en ring där multiplikationsoperationen är kommutativ kallas en kommutativ ring. Sådana kommutativa ringar är det grundläggande studieobjektet i kommutativ algebra, där ringar i allmänhet också antas ha en enhet.

Division ring

för mer information, se: Division ring.

en unital ring där varje icke-noll element A har en invers, det vill säga ett element a−1 sådan att A−1A = aa−1 = 1, kallas en division ring eller skev fält.

homomorfismer av ringar

en ringhomomorfism är en kartläggning från en ring till en ring som respekterar ringoperationerna. Det vill säga

om ringarna är unitala antas det ofta att kartlägger identitetselementet för till identitetselementet för .

en homomorfism kan kartlägga en större uppsättning på en mindre uppsättning; till exempel kan ringen vara heltal och kan mappas på den triviala ringen som endast innehåller det enda elementet .

Subrings

om är en ring, en delmängd av kallas en subring om är en ring under ringoperationerna ärvda från. Det kan ses att detta motsvarar att kräva att stängs under multiplikation och subtraktion.

om är unital, kräver vissa författare att en subring avska innehålla enheten för.

Ideals

ett dubbelsidigt ideal för en ring är en subring så att för alla element I och alla element I vi har det och är element i. Begreppet ideal för en ring motsvarar begreppet normala undergrupper i en grupp. Således kan vi införa en ekvivalensrelation på genom att förklara att två element i är ekvivalenta om deras skillnad är ett element i . Uppsättningen ekvivalensklasser betecknas sedan med och är en ring med de inducerade operationerna.

om är en ringhomomorfism, är kärnan i h, definierad som den inversa bilden av 0, , ett ideal för . Omvänt, om är ett ideal för , så finns det en naturlig ringhomomorfism, kvoten homomorfism, från till så att är uppsättningen av alla element mappade till 0 i .

exempel

• den triviala ringen {0} består av endast ett element, som fungerar som både additiv och multiplikativ identitet.
• heltalen bildar en ring med addition och multiplikation definierad som vanligt. Detta är en kommutativ ring.
  • de rationella, reella och komplexa talen bildar var och en kommutativa ringar.
• uppsättningen polynom bildar en kommutativ ring.
• uppsättningen kvadrat matriser bildar en ring under komponentvis addition och matrismultiplikation. Denna ring är inte kommutativ om n>1.
• uppsättningen av alla kontinuerliga realvärderade funktioner definierade på intervallet bildar en ring under punktvis addition och multiplikation.

konstruera nya ringar från givna

• för varje ring vi kan definiera motsatt ring genom att vända multiplikationen i . Med tanke på multiplikationen I definieras multiplikationen I som. ”Identitetskartan”från till , som kartlägger varje element till sig själv, är en isomorfism om och endast om är kommutativ. Men även om inte är kommutativ, är det fortfarande möjligt för och att vara isomorf med en annan karta. Till exempel, om är ringen av matriser av reella tal, är transponeringskartan från till , som kartlägger varje matris till dess transponering, en isomorfism.
• mitten av en ring är uppsättningen element i som pendlar med varje element i ; det vill säga är ett element i iv id=”centrera om för varje. Centret är en subring av . Vi säger att en subring av är central om det är en subring av mitten av .
• den direkta produkten av två ringar R och S är den kartesiska produkten r XVII S tillsammans med operationerna

(r1, s1) + (r2, s2) = (r1+r2, s1+s2) och (r1, s1)(r2, s2) = (r1r2, s1s2). Med dessa operationer är R 0 S en ring.

• mer allmänt, för varje indexuppsättning J och samling av ringar finns den direkta produkten och den direkta summan.
  • den direkta produkten är samlingen av” oändliga tuplar” med komponentvis tillägg och multiplikation som operationer.
  • den direkta summan av en samling ringar är subringen av den direkta produkten som består av alla oändliga tuplar med egenskapen att rj=0 för alla utom ändligt många j. i synnerhet, om J är ändlig, är den direkta summan och den direkta produkten isomorf, men i allmänhet har de ganska olika egenskaper.
• eftersom någon ring är både en vänster och höger modul över sig själv, är det möjligt att konstruera tensorprodukten av R över en ring S med en annan ring T för att få en annan ring, förutsatt att S är en central subring av R och T.

historia

studien av ringar härstammar från studien av polynomringar och algebraiska talfält under andra hälften av artonhundratalet, bland annat av Richard Dedekind. Termen ring själv myntades dock av David Hilbert 1897.

Se även

• ordlista över ringteori
• Algebra över en kommutativ ring
• Nonassociativ ring

• speciella typer av ringar:
  • kommutativ ring
  • Division ring
  • fält
  • integrerad domän (ID)
  • Principal ideal domän (PID)
  • unik faktoriseringsdomän (UFD)

• konstruktioner av ringar
  • Gruppring
  • Matrisring
  • Polynomring

• ringar med extra struktur
  • differentialring
  • euklidisk domän (ed)