Physical setup

Unser Ziel ist es, ultimative quantitative Grenzen für jedes Kühlverfahren bereitzustellen — nämlich eine untere Grenze für die Temperatur zu finden, die ein System nach einem Prozess erreichen kann, der bestimmte Ressourcen verbraucht oder eine bestimmte Zeit dauert. Daher müssen wir die allgemeinste Quantentransformation zulassen, dh solche, die die Gesamtenergieeinsparung respektieren und mikroskopisch reversibel (einheitlich) sind. Dieser allgemeine Aufbau umfasst thermodynamisch irreversible Protokolle und auch unrealistische Protokolle, bei denen eine vollständige Kontrolle der mikroskopischen Freiheitsgrade des Bades erforderlich ist. Überraschenderweise werden wir hier, wie für den Fall des zweiten Gesetzes25,27,29,30 festgestellt wurde, feststellen, dass ein derart unrealistischer Grad an Kontrolle keinen Vorteil gegenüber einer sehr groben Kontrolle zu haben scheint.

Wir werden zeigen, dass die Dichte der Zustände des Reservoirs, die den Kühlprozess unterstützen, einen wichtigen Einfluss darauf hat, wie schnell ein System gekühlt werden kann. (Die Dichte der Zustände Ω (E) ist die Anzahl der Zustände mit Energie E.) Wir sehen, dass je schneller Ω (E) wächst, desto niedriger ist die Temperatur, die mit festen Ressourcen oder in einer festen Zeitspanne erreicht werden kann. Mehr noch: Wenn Ω (E) exponentiell oder schneller wächst, ist eine Abkühlung auf den absoluten Nullpunkt in endlicher Zeit prinzipiell möglich, was eine Verletzung des dritten Gesetzes zulässt. Wir werden jedoch sehen, dass exponentielles oder superexponentielles Ω (E) als unphysikalisch angesehen werden sollte. Dies wird intuitiver, wenn es in Bezug auf die (mikrokanonische) Wärmekapazität C(E) ausgedrückt wird, bezogen auf S(E)=ln Ω(E) über

wobei Primzahlen Differentiale darstellen. Wenn Ω (E) exponentiell oder schneller wächst, ist C (E) unendlich oder negativ, was als unphysikalisch angesehen wird. Wenn Ω (E) subexponentiell ist, ist C (E) positiv. Und je schneller Ω (E) wächst, desto größer ist C (E). Nur ein Reservoir mit unendlich dimensionalem Hilbert-Raum kann S (E) für alle E wachsen lassen. Unsere Ergebnisse sind jedoch allgemein und gelten auch für den endlichdimensionalen Fall.Angenommen, wir möchten ein Quantensystem mit der Hilbert-Raumdimension d und dem Hamiltonschen HS mit der Grundzustandsdegeneration g, einer Lücke über dem Grundzustand Δ und der größten Energie J kühlen. Welche Ressourcen sind dafür erforderlich?

Grundannahmen

Lassen Sie uns das Setup konkreter spezifizieren und die Annahmen sammeln, die wir übernehmen werden (diejenigen, die aus den ersten Prinzipien stammen):

(i) Wir betrachten den Beginn des Prozesses als, wenn das System noch nicht mit dem Arbeitsspeichersystem (dem Gewicht) oder dem Reservoir in Kontakt gebracht wurde, so dass der globale Zustand zunächst pS⊗pB⊗pW ist. Während andere anfängliche Ausgangsszenarien von Interesse sein können, geht ihre Berücksichtigung über den Rahmen des aktuellen Papiers hinaus.

(ii) Wir erlauben die allgemeinste Quantentransformation auf System, Bad und Gewicht, die reversibel (einheitlich) ist und die Gesamtenergie bewahrt. Dies mag im Vergleich zu den Paradigmen, die beliebige Interaktionsterme zulassen, restriktiv erscheinen, Dies ist jedoch nicht der Fall, da beliebige Interaktionen in das Modell integriert werden können, wie in Anhang H von Ref. 27 und in ref. 25, indem einfach die Energie des Arbeitssystems schwanken kann. In vielen Paradigmen wird dies implizit erzwungen, indem angenommen wird, dass alle fehlende Energie als Arbeit gezählt wird. Paradigmen, die diesen Zustand lockern, ignorieren im Wesentlichen die Energie, die auf andere Systeme übertragen wird, oder behandeln diese anderen Systeme als klassisch. Im Wesentlichen erzwingen wir Energieeinsparung, um sicherzustellen, dass wir alle mit der Interaktion verbundenen Energiekosten ordnungsgemäß berücksichtigen, während die verschiedenen Einheiten oder Interaktionsbedingungen einfach Energie aus dem Gewicht übertragen oder entnehmen, um dies auszugleichen. Der Kühlprozess ist somit jede Transformation der Form

wobei U eine globale Einheit ist.

(iii) Die Arbeit, die innerhalb der Transformation verbraucht wird, wird vom Gewicht genommen. Da wir an ultimativen Einschränkungen interessiert sind, betrachten wir ein idealisiertes Gewicht mit Hamiltonian mit kontinuierlichem und unbegrenztem Spektrum . Jedes andere Arbeitssystem kann mit diesem one30 simuliert werden. Wir bezeichnen mit wmax den Worst-Case-Wert der verbrauchten Arbeit, dh

wmax wird im Allgemeinen viel größer sein als die durchschnittliche Arbeit 〈W〉. In jedem physikalisch vernünftigen Prozess, der in endlicher Zeit ausgeführt wird, erwartet man, dass er endlich ist.

(iv) Wir benötigen auch, wie in ref. 29, dass die Kühltransformation mit den Übersetzungen auf das Gewicht pendelt. Mit anderen Worten, die Funktionsweise der thermischen Maschine ist unabhängig von der Herkunft der Energien des Gewichts, so dass es nur davon abhängt, wie viel Arbeit vom Gewicht geliefert wird. Dies kann als Definition dessen verstanden werden, was Arbeit ist — es ist lediglich die Veränderung der Energie, die wir an einem externen System induzieren können. Dies stellt auch sicher, dass das Gewicht nur ein Mechanismus zum Liefern oder Speichern von Arbeit ist und nicht beispielsweise ein Entropie-Dump (siehe Ergebnis 1 in der ergänzenden Diskussion). Es stellt auch sicher, dass der Kühlprozess das Gewicht immer in einem Zustand belässt, der für den nächsten Lauf oder den Prozess verwendet werden kann. Also

wobei der hermitianische Operator Π als für alle . Darüber hinaus lassen wir den Anfangszustand des Gewichts pW beliebig sein. Insbesondere kann es kohärent sein, was einen Vorteil bietet27.

(v) Wir nehmen an, dass das Bad das Volumen V hat und sich im thermischen Zustand befindet bei gegebener inverser Temperatur , mit ZB der Trennfunktion des Bades. Wir bezeichnen die freie Energiedichte des Bades (im kanonischen Zustand pB) mit .

(vi) Die mikrokanonische Wärmekapazität (2) ist nicht negativ C(E) für alle Energien E. Dies impliziert, dass S(E) in E sublinear ist. Wir beweisen auch in den ergänzenden Methoden, dass, wenn S (E) linear oder schneller wächst, eine perfekte Abkühlung in endlicher Zeit möglich ist.

Mit diesen Annahmen zeigen wir, dass mindestens eine dieser beiden Ressourcen, das Volumen des Bades V oder der Worst-Case-Wert der verbrauchten Arbeit wmax unendlich sein muss, um das System perfekt auf den absoluten Nullpunkt abzukühlen. Außerdem haben wir die niedrigste erreichbare Temperatur des Systems in Bezug auf V und wmax festgelegt.

Quantifizierung der Unerreichbarkeit nach ersten Prinzipien

Mit den Annahmen (i) –(vi) betrachten wir zwei Fälle, einen, in dem der Anfangs- und Endzustand thermisch sind, und einen, in dem wir beliebige Anfangs- und Endzustände zulassen. Unser erstes Ergebnis betrifft ersteres und besagt, dass in jedem Prozess, bei dem die Worst-Case-Arbeitstemperatur wmax ist, die Endtemperatur des Systems nicht niedriger sein kann als

in der großen wmax,V-Grenze. Die mikrokanonische freie Energiedichte bei inverser Temperatur β0 ist definiert durch

wobei E0 die Lösung der Gleichung S'(E0)=β0 ist. Erinnern wir uns daran, dass, wenn das Volumen des Bades V groß ist, es normalerweise der Fall ist, dass fmic(β0)=fcan(β0) und diese unabhängig von V sind.

Lassen Sie uns das Verhalten von Gleichung (7) in Bezug auf die investierten Ressourcen analysieren. Wenn wmax wächst, nimmt β0 ab und fmic nimmt zu, was zu einer niedrigeren Endtemperatur führt . Da die gesamte Volumenabhängigkeit in Gleichung (7) explizit ist, bedeutet ein größeres V auch eine niedrigere Endtemperatur.

Im Folgenden stellen wir eine Grenze für die physikalisch relevante Familie von Entropien zur Verfügung

wobei α>0 und ν∈[1/2, 1) zwei Konstanten sind. Eine solche Entropie ist umfangreich, und wenn wir sie beschreibt elektromagnetische Strahlung (oder ein masseloses bosonisches Feld) in einer D-dimensionalen Box mit Volumen V. Es wird allgemein angenommen, dass es kein anderes Reservoir gibt, das eine Dichte von Zuständen aufweist, die mit E schneller wachsen als this36, und sicherlich keines, das ν≥1 hat. Das spätere entspricht dem zuvor diskutierten Bad mit negativer Wärmekapazität, das eine Kühlung mit endlichem wmax ermöglicht. In der ergänzenden Diskussion passen wir bound (7) an die Entropie (9) an und erhalten

bis zu führenden Termen. Nun ist die gesamte Abhängigkeit von V und wmax explizit. Insbesondere beobachten wir, dass größere Werte von V und wmax niedrigere Temperaturen ermöglichen. Und auch größere Werte von ν, die zu einem schnelleren Entropiewachstum führen und niedrigere Temperaturen ermöglichen.

Wie oben erwähnt, sind die Kühlprozesse, die wir betrachten, sehr allgemein. Insbesondere können sie den Hamiltonian des Systems während des Prozesses ändern, solange der endgültige Hamiltonian mit dem ursprünglichen HS identisch ist. Dies schließt die uninteressante Kühlmethode aus, die darin besteht, den Hamiltonian HS → 0 neu zu skalieren. Unsere Grenzen können jedoch leicht an Prozesse angepasst werden, bei denen sich der endgültige Hamiltonian von dem ursprünglichen unterscheidet, wie wir in der Schlussfolgerung diskutieren werden.Betrachten wir nun den allgemeineren Fall, in dem weder der Anfangs- noch der Endzustand thermisch sein müssen, sondern willkürlich sein können. Wie bereits bekannt14,15,17,18,30 ist die Unerreichbarkeit des absoluten Nullpunkts keine Folge der Tatsache, dass der Zielzustand eine niedrige Energie aufweist, sondern dass er eine niedrige Entropie aufweist. Dies führt daher direkt zur Unerreichbarkeit eines reinen Zustands oder allgemeiner eines Zustands mit einem Rang g, der niedriger als der Ausgangszustand ist. Diese Art von Prozessen wird allgemein als Informationslöschung oder -reinigung bezeichnet. Nun analysieren wir die Grenzen von Prozessen, die einen beliebigen Anfangszustand pS annehmen und in einen Endzustand mit Unterstützung des g-Rank-Projektors P transformieren. Wir quantifizieren die Ungenauigkeit der Transformation durch den Fehler . Der Übersichtlichkeit halber nehmen wir an, dass das System einen trivialen Hamiltonian HS=0 hat (der allgemeine Fall wird in der ergänzenden Diskussion behandelt), und bezeichnen mit λmin und λmax den kleinsten und größten Eigenwert von pS. In den ergänzenden Methoden zeigen wir, dass jeder Prozess pS→ hat Fehler

Die oben dargestellten Ergebnisse sowie andere allgemeinere, die in der ergänzenden Diskussion vorgestellt werden, quantifizieren unsere Fähigkeit, ein System zu kühlen (oder allgemeiner in einen reduzierten Rangzustand zu versetzen), in Bezug auf zwei Ressourcen: das Volumen des Bades V, und die Worst-Case-Fluktuation der Arbeit verbraucht wmax. Sie stellen somit eine Form des dritten Gesetzes dar, in dem Sinne, dass sie die Kühlung angesichts einiger endlicher Ressourcen begrenzen. Wir wollen dies nun in die Zeit übersetzen, die es dauern würde, um das System zu kühlen, und wir werden dies tun, indem wir den Begriff einer thermischen Maschine betrachten und zwei physikalisch vernünftige Annahmen treffen.

Thermische Maschinen

Erinnern wir uns, dass das Gebiet der Rechenkomplexität auf der Church-Turing—These basiert – der Idee, dass wir einen Computer als Turing-Maschine betrachten und dann untersuchen, wie die Rechenzeit mit der Größe des Problems skaliert. Verschiedene Maschinen können unterschiedlich funktionieren — der Computerkopf kann sich schneller oder langsamer über das Speicherband bewegen; informationen können in Bits oder in höherdimensionalen Speichereinheiten gespeichert sein, und der Kopf kann mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten in diesen Speicher schreiben. Die Natur scheint der Dimension einer Computerspeichereinheit oder der Geschwindigkeit, mit der sie geschrieben werden kann, keine grundlegenden Grenzen zu setzen. Für jede physikalisch vernünftige Realisierung eines Computers und unabhängig von der Geschwindigkeit dieser Operationen ist er jedoch fest und endlich, und erst dann untersuchen wir die Skalierung der Zeit mit der Problemgröße. Und was wichtig ist, ist die Gesamtskalierung der Zeit mit Eingabe (Polynom oder Exponential) und nicht mit Konstanten. Ebenso werden wir hier eine feststehende thermische Maschine betrachten, und wir werden annehmen, dass sie nur eine endliche Menge an Energie in endlicher Zeit in das Wärmebad übertragen kann. Ebenso kann es in einer endlichen Zeit kein unendlich großes Wärmebad erkunden. Eine thermische Maschine, die sonst physikalisch unvernünftig wäre.Je länger unsere thermische Maschine läuft, desto mehr Arbeit kann sie in das Wärmebad pumpen und desto größer ist das Volumen des Bades, das sie erkunden kann. Für jede bestimmte thermische Maschine kann man eine endliche Grenze auf setzen, indem man diese Funktionen in Gleichung (10) einsetzt. Insbesondere, wenn wir annehmen, dass die Wechselwirkung durch die Dynamik eines lokalen Hamiltonschen vermittelt wird, dann wird die Wechselwirkung eines Systems mit einem Bad des Volumens V und der räumlichen Dimension d Zeit brauchen

wobei v proportional zur Schallgeschwindigkeit im Bad ist (oder Lieb–Robinson-Geschwindigkeit37) und V1/D die lineare Dimension des Bades. Die Implementierung von allgemeinen Unitären dauert viel länger als Gleichung (12), aber dies dient als untere Grenze. Da wir hier eher an der Skalierung der Temperatur mit der Zeit als an konstanten Faktoren interessiert sind, brauchen wir uns keine Sorgen darüber zu machen, dass praktische thermische Maschinen mit viel langsameren Geschwindigkeiten arbeiten. Natürlich, genau wie bei tatsächlichen Computern, Thermische Maschinen haben im Allgemeinen Geschwindigkeiten weit unter der Lieb–Robinson-Grenze. Beachten Sie, dass, obwohl V endlich ist, der Hilbert-Raum des Bades unendlich dimensional sein kann. Wenn man eine Grenze haben wollte, die unabhängig von der thermischen Maschine und unabhängig von der Schallgeschwindigkeit war, die eine Eigenschaft des Bades ist, dann konnte man immer v als Lichtgeschwindigkeit annehmen. Eine solche Grenze wäre zwar praktisch nicht relevant, aber von grundlegender Bedeutung. Um eine fundamentale Grenze zu erhalten, sollte man die Gate-Geschwindigkeit als unendlich annehmen (da es keine fundamentale Grenze gibt) und die Anzahl der im Prozess verwendeten Bits in die Zeit umwandeln, indem man sie mit multipliziert die Lichtgeschwindigkeit.

Eine Beziehung zwischen Worst-Case-Arbeit wmax und Zeit t wird erhalten, indem man Folgendes bemerkt. In endlichen t ist es nicht möglich, unendlich viel Arbeit in das Bad zu injizieren. Der Einfachheit halber nehmen wir hier eine lineare Beziehung an

wobei die Konstante u von den Wechselwirkungen zwischen System und Gewicht abhängt. Wir betonen jedoch, dass, wenn ein bestimmter physikalischer Aufbau durch die Beziehungen (12) und (13) falsch modelliert wird, jede andere Grenze t≥h1 (wmax) und t≥h2 (V) ebenfalls gut ist. Solange h1 und h2 streng monotone Funktionen sind, gilt das Prinzip der Unerreichbarkeit.

Einschränkungen bei der Verwendung thermischer Maschinen

Für jede bestimmte thermische Maschine können wir nun Einschränkungen für die Temperatur ableiten, die in einer bestimmten Zeit erreicht werden kann t. Da das physikalische System mit dem schnellsten Entropiewachstum, das uns bekannt ist, Strahlung ist, lohnt es sich, den nächsten Absatz dem Fall in Gleichung (9) zu widmen, da dies eine Grenze mit breiter Gültigkeit liefern sollte. Wenn wir die besonderen Beziehungen (12) und (13) verwenden und sie für den Fall der Strahlung in Gleichung (10) einsetzen, erhalten wir

in der großen t-Grenze. Unsere Grenze (14) kann einfach an jede andere Beziehung t≥h1 (wmax) und t≥h2 (V) angepasst werden. Es ist interessant, in Gleichung (14) die Beziehung zwischen der charakteristischen Zeit (wie lange dauert es, bis es zu einem festen ) und der Größe des Systems VS. Unter Ausnutzung der üblichen Relation ln d∝VS erhalten wir die sublineare Skalierung

Etwas über result (11) ist, dass in der Grenze λmin→0 die Grenze trivial wird . Dies kann gelöst werden, indem der Anfangszustand pS auf den Unterraum mit den k größten Eigenwerten abgeschnitten und die resultierende Grenze für als Funktion von k optimiert wird.