Wie viele Möglichkeiten kann ein Kartenspiel angeordnet werden? Es ist sehr einfach, die Antwort zu berechnen, aber sehr schwierig, ihre Bedeutung zu erfassen.

Es gibt 52 Karten. Somit kann der erste auf 52 Arten ausgewählt werden. Die nächste kann eine der verbleibenden 51 Karten sein. Für die dritte gibt es 50 Möglichkeiten, und so weiter, bis nur noch eine Karte übrig bleibt, so dass nur die Option, es zuletzt zu setzen.

Daher ist die Gesamtzahl der Möglichkeiten

Diese Zahl wird Fakultät 52 genannt. Zu sagen, dass es eine große Zahl ist, ist eine Untertreibung. Das Programm Mathematica kann mit beliebiger Genauigkeit berechnen und die Eingabe des Befehls Factorial ergibt folgendes Ergebnis:

In komprimierter Notation , das ist , oder, um nur eine einzelne Zahl der Genauigkeit, ; das heißt, 1 gefolgt von 68 Nullen.

Beschreibe 52!

Es ist schwierig, die Größe von in Bezug auf alles Praktische. Die Leute haben über die Anzahl der Tropfen im Ozean gesprochen oder darüber, wie viele Sandkörner den Grand Canyon füllen würden. Diese Zahlen kommen nicht annähernd an .

Die Anzahl der Atome im beobachtbaren Universum wird auf etwa , das eine Billion mal größer ist als . Aber hilft uns das wirklich zu visualisieren, wie eine dieser Zahlen aussieht? Der Wikipedia-Artikel über Namen großer Zahlen beschreibt als unvigintillion. Also ist etwa achtzig unvigintillionen. Aber das ist nur ein Name.

Das Universum ist Sekunden alt. Wenn während des gesamten Lebens des Universums jede Sekunde eine zufällige Anordnung von Karten ausgewählt würde, würde nur ein winziger Bruchteil aller möglichen Ordnungen ausgewählt. Die Wahrscheinlichkeit, dass dieselbe Bestellung zweimal gewählt wird, ist völlig vernachlässigbar. Selbst wenn jede Sekunde eine Milliarde Arrangements ausgewählt würden, gäbe es immer noch keine echte Chance auf ein Duplikat.

Für eine amüsante Beschreibung der erstaunlichen Größe von , siehe http://czep.net/weblog/52cards.html

Stirlings Approximation

Die Berechnung der Zahl ist einfach. Multiplizieren Sie einfach 52 mit 51, das Ergebnis mit 50 und so weiter, bis Sie 1 erreichen. Aber wie mühsam das ist und wie fehleranfällig!

Es gibt einen schönen Ausdruck, der eine Annäherung an jede Fakultät gibt, benannt nach James Stirling (1692-1770), einem schottischen Mathematiker (obwohl es scheint, dass das Ergebnis früher von Abraham de Moivre angegeben wurde). Die Approximation ist

Dies ist eigentlich der erste Term in einer asymptotischen Erweiterung. Wenn wir den nächsten Term nehmen, haben wir

Wenn Sie das Argument einstecken, ergibt die erste Formel was auf 2 Dezimalstellen korrekt ist. Die zweite Formel ergibt , mit einem relativen Fehler von nur einem Teil in einer Million.

Eine weitere Annäherung wurde unter den Papieren des indischen Mathematikers Srinivasa Ramanujan gefunden und 1988 in seinem Lost Notebook veröffentlicht:

Dies ergibt zu einem Teil in einer Milliarde.

Shuffling und wiederholte Bestellungen

Bei einer so großen Anzahl von Möglichkeiten könnte man sich fragen, ob eine zufällig gewählte Reihenfolge eines Kartenspiels mehr als einmal auftritt. Unter sehr vernünftigen Annahmen ist es leicht zu argumentieren, dass eine bestimmte Ordnung während des Lebens des Universums niemals zweimal auftreten wird. Wenn Sie also die Karten gründlich mischen, werden Sie zwangsläufig zu einer Bestellung gelangen, die noch nie zuvor gesehen wurde und nie wieder gesehen wird.

Allerdings gibt es hier einen großen Vorbehalt. Das Mischen der Karten muss ausreichend gründlich sein, um eine echte Randomisierung zu gewährleisten. Mathematische Studien haben gezeigt, dass eine kleine Anzahl effektiver Shuffles ausreicht, um die Packung in zufälliger Reihenfolge zu mischen. Bayer und Diaconis (1992) zeigten, dass nach sieben zufälligen Riffle-Shuffles jeder der 52! mögliche Konfigurationen sind ebenso wahrscheinlich.