Verteilungsfunktionen sind nichts anderes als die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen, mit denen die Wahrscheinlichkeit beschrieben wird, mit der ein bestimmtes Teilchen ein bestimmtes Energieniveau einnehmen kann. Wenn wir von der Fermi-Dirac-Verteilungsfunktion sprechen, sind wir besonders daran interessiert, die Chance zu kennen, mit der wir ein Fermion in einem bestimmten Energiezustand eines Atoms finden können (weitere Informationen dazu finden Sie im Artikel „Atomare Energiezustände“). Unter Fermionen verstehen wir hier die Elektronen eines Atoms, die die Teilchen mit ½ Spin sind, die an das Pauli-Ausschlussprinzip gebunden sind.

Notwendigkeit der Fermi-Dirac-Verteilungsfunktion

In Bereichen wie der Elektronik ist die Leitfähigkeit von Materialien von besonderer Bedeutung. Diese Eigenschaft des Materials wird durch die Anzahl der Elektronen hervorgerufen, die innerhalb des Materials frei sind, um Elektrizität zu leiten.

Gemäß der Energiebandtheorie (siehe den Artikel „Energiebänder in Kristallen“ für weitere Informationen) sind dies die Anzahl der Elektronen, die das Leitungsband des betrachteten Materials bilden. Um also eine Vorstellung vom Leitungsmechanismus zu haben, ist es notwendig, die Konzentration der Träger im Leitungsband zu kennen.

Fermi-Dirac-Verteilungsausdruck

Mathematisch wird die Wahrscheinlichkeit, ein Elektron im Energiezustand E bei der Temperatur T zu finden, ausgedrückt als

Wobei

die Boltzmann-Konstante ist
T ist die absolute Temperatur
Ef ist das Fermi-Niveau oder die Fermi-Energie

Versuchen wir nun, die Bedeutung der Fermi-Ebene zu verstehen. Um dies zu erreichen, setzen Sie

in Gleichung (1). Auf diese Weise erhalten wir,

Dies bedeutet, dass der Fermi-Pegel der Pegel ist, auf dem man erwarten kann, dass das Elektron genau 50% der Zeit vorhanden ist.

Fermi-Niveau in Halbleitern

Intrinsische Halbleiter sind die reinen Halbleiter, die keine Verunreinigungen enthalten. Infolgedessen zeichnen sie sich durch die gleiche Chance aus, ein Loch wie das eines Elektrons zu finden. Diese Inturn impliziert, dass sie den Fermi-Pegel genau zwischen den Leitungs- und den Valenzbändern haben, wie in Abbildung 1a gezeigt.

Als nächstes betrachten wir den Fall eines n-Typ-Halbleiters. Hier kann man erwarten, dass im Vergleich zu den Löchern mehr Elektronen vorhanden sind. Dies bedeutet, dass es eine größere Chance gibt, ein Elektron in der Nähe des Leitungsbandes zu finden als ein Loch im Valenzband. So haben diese Materialien ihr Ferminiveau, das näher an Leitungsband gelegen ist, wie durch Abbildung 1b gezeigt.Aus den gleichen Gründen kann man erwarten, dass der Fermi-Pegel im Fall von p-Halbleitern nahe dem Valenzband vorhanden ist (Abbildung 1c). Dies liegt daran, dass diesen Materialien Elektronen fehlen, dh sie haben eine größere Anzahl von Löchern, was die Wahrscheinlichkeit, ein Loch im Valenzband zu finden, im Vergleich zu der Wahrscheinlichkeit, ein Elektron im Leitungsband zu finden, erhöht.

Auswirkung der Temperatur auf die Fermi-Dirac-Verteilungsfunktion

Bei T = 0 K haben die Elektronen eine niedrige Energie und nehmen somit niedrigere Energiezustände ein. Der höchste Energiezustand unter diesen besetzten Zuständen wird als Fermi-Level bezeichnet. Dies bedeutet, dass keine Energiezustände, die oberhalb des Fermi-Niveaus liegen, von Elektronen besetzt werden. Somit haben wir eine Schrittfunktion, die die Fermi-Dirac-Verteilungsfunktion definiert, wie durch die schwarze Kurve in Abbildung 2 gezeigt.Mit zunehmender Temperatur gewinnen die Elektronen jedoch immer mehr Energie, wodurch sie sogar bis zum Leitungsband aufsteigen können. Daher kann man bei höheren Temperaturen nicht klar zwischen dem besetzten und dem unbesetzten Zustand unterscheiden, wie durch die blaue und die rote Kurve in Abbildung 2 angezeigt.