In der Mathematik ist ein Ring eine algebraische Struktur mit zwei binären Operationen, die allgemein als Addition und Multiplikation bezeichnet werden. Diese Operationen sind definiert, um die ganzen Zahlen zu emulieren und zu verallgemeinern. Andere übliche Beispiele für Ringe sind der Ring von Polynomen einer Variablen mit reellen Koeffizienten oder ein Ring von quadratischen Matrizen einer gegebenen Dimension.

Um sich als Ring zu qualifizieren, muss die Addition kommutativ sein und jedes Element muss eine Inverse unter Addition haben: Zum Beispiel ist die additive Inverse von 3 -3. Die Multiplikation erfüllt diese Eigenschaften jedoch im Allgemeinen nicht. Ein Ring, in dem die Multiplikation kommutativ ist und jedes Element außer dem additiven Identitätselement (0) eine multiplikative Inverse (reziprok) hat, wird als Feld bezeichnet: zum Beispiel die Menge rationaler Zahlen. (Der einzige Ring, in dem 0 eine Inverse hat, ist der triviale Ring von nur einem Element.)

Ein Ring kann eine endliche oder unendliche Anzahl von Elementen haben. Ein Beispiel für einen Ring mit einer endlichen Anzahl von Elementen ist , die Menge der Reste, wenn eine ganze Zahl durch 5 geteilt wird, dh die Menge {0,1,2,3,4} mit Operationen wie 4 + 4 = 3, weil 8 den Rest 3 hat, wenn er durch 5 geteilt wird. Ein ähnlicher Ring kann für andere positive Werte von gebildet werden.

Formale Definition

Ein Ring ist eine Menge R, die mit zwei binären Operationen ausgestattet ist, die im Allgemeinen mit + und · bezeichnet und als Addition bzw. Multiplikation bezeichnet werden, so dass:

• (R, +) ist eine Abelsche Gruppe
• Multiplikation ist assoziativ
• Die linken und rechten Verteilungsgesetze gelten:
  • a·(b + c) = (a·b) + (a·c)
  • (a + b)·c = (a· c) + (b·c)

In der Praxis wird das Symbol · normalerweise weggelassen, und die Multiplikation wird nur durch Nebeneinander bezeichnet. Die übliche Reihenfolge der Operationen wird ebenfalls angenommen, so dass a + bc eine Abkürzung für a + (b·c) ist. Die Verteilungseigenschaft wird für die linke und rechte Multiplikation separat angegeben, um Fälle abzudecken, in denen die Multiplikation nicht kommutativ ist, z. B. einen Matrizenring.

Arten von Ringen

Einheitsring

Ein Ring, in dem es ein Identitätselement für die Multiplikation gibt, wird als Einheitsring, Einheitsring oder einfach als Ring mit Identität bezeichnet. Das Identitätselement wird allgemein mit 1 bezeichnet. Einige Autoren, insbesondere Bourbaki, fordern, dass ihre Ringe ein Identitätselement haben sollten, und nennen Ringe ohne Identität pseudorings.

Kommutativer Ring

Ein Ring, in dem die Multiplikationsoperation kommutativ ist, wird als kommutativer Ring bezeichnet. Solche kommutativen Ringe sind das grundlegende Untersuchungsobjekt in der kommutativen Algebra, in der Ringe im Allgemeinen auch eine Einheit haben.

Teilungsring

Weitere Informationen finden Sie unter: Teilungsring. Ein Einheitsring, in dem jedes Element ungleich Null a eine Inverse hat, dh ein Element a-1, so dass a−1a = aa−1 = 1 , wird als Teilungsring oder Skew−Feld bezeichnet.

Homomorphismen von Ringen

Ein Ringhomomorphismus ist eine Abbildung von einem Ring zu einem Ring unter Berücksichtigung der Ringoperationen. Das heißt,

Wenn die Ringe einheitlich sind, wird oft angenommen, dass das Identitätselement von dem Identitätselement von .

Ein Homomorphismus kann eine größere Menge auf eine kleinere Menge abbilden; zum Beispiel könnte der Ring die ganzen Zahlen sein und auf den trivialen Ring abgebildet werden, der nur das einzelne Element enthält.

Subrings

Wenn ein Ring ist, wird eine Teilmenge von als Subring bezeichnet, wenn ein Ring unter den Ringoperationen ist, die von . Es ist ersichtlich, dass dies der Anforderung entspricht, dass unter Multiplikation und Subtraktion geschlossen werden muss.

Wenn unital ist, fordern einige Autoren, dass ein Unterring von die Einheit von enthalten sollte.

Ideale

Ein zweiseitiges Ideal eines Rings ist ein Unterring so dass für jedes Element in und jedes Element in haben wir das und sind Elemente von . Das Konzept des Ideals eines Rings entspricht dem Konzept der normalen Untergruppen einer Gruppe. Daher können wir eine Äquivalenzrelation für einführen, indem wir erklären, dass zwei Elemente von äquivalent sind, wenn ihre Differenz ein Element von . Die Menge der Äquivalenzklassen wird dann mit bezeichnet und ist ein Ring mit den induzierten Operationen.

Wenn ein Ringhomomorphismus ist, dann ist der Kernel von h, definiert als das inverse Bild von 0, , ein Ideal von . Umgekehrt, wenn ein Ideal von ist, dann gibt es einen natürlichen Ringhomomorphismus, den Quotientenhomomorphismus, von zu , so dass ist die Menge aller Elemente, die in auf 0 abgebildet sind.

Beispiele

• Der triviale Ring {0} besteht nur aus einem Element, das sowohl als additive als auch als multiplikative Identität dient.
• Die ganzen Zahlen bilden einen Ring, wobei Addition und Multiplikation wie üblich definiert sind. Dies ist ein kommutativer Ring.
  • Die rationalen, reellen und komplexen Zahlen bilden jeweils kommutative Ringe.
• Die Menge der Polynome bildet einen kommutativen Ring.
• Die Menge der quadratischen Matrizen bildet unter komponentenweiser Addition und Matrixmultiplikation einen Ring. Dieser Ring ist nicht kommutativ, wenn n>1.
• Die Menge aller stetigen reellen Funktionen, die auf dem Intervall definiert sind, bildet einen Ring unter punktweiser Addition und Multiplikation.

Erstellen neuer Ringe aus gegebenen

• Für jeden Ring Wir können den entgegengesetzten Ring definieren, indem wir die Multiplikation in umkehren. Angesichts der Multiplikation in ist die Multiplikation in definiert als . Die „Identitätskarte“ von zu , die jedes Element sich selbst zuordnet, ist genau dann ein Isomorphismus, wenn kommutativ ist. Selbst wenn nicht kommutativ ist, können und mit einer anderen Karte isomorph sein. Wenn zum Beispiel der Ring von Matrizen reeller Zahlen ist, dann ist die Transpositionskarte von zu , die jede Matrix ihrer Transponierung zuordnet, ein Isomorphismus.
• Das Zentrum eines Rings ist die Menge der Elemente von , die mit jedem Element von pendeln; das heißt, ist ein Element des Zentrums, wenn für jeden . Das Zentrum ist ein Unterring von . Wir sagen, dass ein Subring von zentral ist, wenn es sich um einen Subring des Zentrums von handelt.
• Das direkte Produkt zweier Ringe R und S ist das kartesische Produkt R×S zusammen mit den Operationen

(r1, s1) + (r2, s2) = (r1+r2, s1+s2) und (r1, s1)(r2, s2) = (r1r2, s1s2). Bei diesen Operationen ist R × S ein Ring.

• Im Allgemeinen existieren für jede Indexmenge J und Sammlung von Ringen das direkte Produkt und die direkte Summe.
  • Das direkte Produkt ist die Sammlung von „unendlichen Tupeln“ mit komponentenweiser Addition und Multiplikation als Operationen.
  • Die direkte Summe einer Sammlung von Ringen ist der Unterring des direkten Produkts, das aus allen unendlichen Tupeln besteht mit der Eigenschaft, dass rj=0 für alle außer endlich vielen j. Insbesondere wenn J endlich ist, sind die direkte Summe und das direkte Produkt isomorph, aber im Allgemeinen haben sie ganz unterschiedliche Eigenschaften.
• Da jeder Ring sowohl ein linkes als auch ein rechtes Modul über sich selbst ist, ist es möglich, das Tensorprodukt von R über einen Ring S mit einem anderen Ring T zu konstruieren, um einen anderen Ring zu erhalten, vorausgesetzt, S ist ein zentraler Unterring von R und T.

Geschichte

Das Studium der Ringe entstand aus dem Studium von Polynomringen und algebraischen Zahlenfeldern in der zweiten Hälfte des neunzehnten Jahrhunderts, unter anderem von Richard Dedekind. Der Begriff Ring selbst wurde jedoch 1897 von David Hilbert geprägt.

Siehe auch

• Glossar der Ringtheorie
• Algebra über einen kommutativen Ring
• Nichtassoziativer Ring

• Spezielle Arten von Ringen:
  • Kommutativer Ring
  • Divisionsring
  • Feld
  • Integrale Domäne (ID)
  • Hauptidealdomäne (PID)
  • Eindeutige Faktorisierungsdomäne (UFD)

• Konstruktionen von Ringen
  • Gruppenring
  • Matrixring
  • Polynomring

• Ringe mit zusätzlicher Struktur
  • Differentialring
  • Euklidische Domäne (ED)