¿De cuántas maneras se puede organizar una baraja de cartas? Es muy fácil calcular la respuesta, pero muy difícil comprender su significado.

Hay 52 tarjetas. Por lo tanto, el primero se puede elegir de 52 maneras. La siguiente puede ser cualquiera de las 51 cartas restantes. Para la tercera, hay 50 opciones, y así sucesivamente hasta que solo quede una carta, dejando solo la opción de ponerla al final.

por lo Tanto, el número total de posibilidades es

Este número se llama factorial 52. Decir que es un gran número, es un eufemismo. El programa Mathematica puede calcular con precisión arbitraria y al ingresar el Factorial de comandos se obtiene el siguiente resultado:

8.06582\times 10^{67}, o, para una sola cifra de precisión, ; es decir, 1 seguido de 68 ceros.

¡Describiendo 52!

Es difícil ilustrar el tamaño de en términos de cualquier cosa práctica. La gente ha hablado sobre el número de gotas en el océano o cuántos granos de arena llenarían el Gran Cañón. Estos números no se acercan a .

Se estima que el número de átomos en el universo observable es de aproximadamente , que es un billón de veces más grande que . Pero, ¿esto realmente nos ayuda a visualizar cómo es cualquiera de estos números? El artículo de Wikipedia sobre Nombres de Números Grandes describe como un unvigintillion. Por lo tanto, es aproximadamente ochenta unvigintillón. Pero esto es sólo un nombre.

El Universo tiene segundos de antigüedad. Si se eligiera una disposición aleatoria de cartas cada segundo durante toda la vida del Universo, solo se seleccionaría una pequeña fracción de todos los pedidos posibles. La posibilidad de que el mismo pedido sea elegido dos veces es completamente insignificante. Incluso si se eligieran mil millones de arreglos por segundo, no habría ninguna posibilidad real de un duplicado.

Para una descripción divertida de la asombrosa magnitud de , véase http://czep.net/weblog/52cards.html

Aproximación de Stirling

El cálculo del número es simple. Simplemente multiplique 52 por 51, el resultado por 50 y así sucesivamente hasta llegar a 1. ¡Pero qué tedioso es esto, y qué propenso a errores!

Hay una hermosa expresión que da una aproximación a cualquier factorial, llamada así por James Stirling (1692-1770), un matemático escocés (aunque parece que el resultado fue declarado anteriormente por Abraham de Moivre). La aproximación es

Este es en realidad el primer término en una expansión asintótica. Tomando el siguiente término tenemos

Conectar el argumento de , la primera fórmula da que es correcta a 2 decimales. La segunda fórmula da , con un error relativo de solo una parte en un millón.

Otra aproximación se encontró entre los documentos del matemático indio Srinivasa Ramanujan y se publicó en su Cuaderno Perdido en 1988:

Esto da a una parte en mil millones.

Barajar y Repetir órdenes

Con un número tan amplio de posibilidades, uno podría preguntarse si algún orden elegido al azar de una baraja de cartas ocurre más de una vez. Haciendo suposiciones muy razonables, es fácil argumentar que un orden en particular nunca ocurrirá dos veces durante la vida del Universo. Por lo tanto, cuando mezcles a fondo las tarjetas, estás obligado a llegar a un pedido que nunca se ha visto antes y nunca se volverá a ver.

Sin embargo, hay una gran salvedad aquí. El barajado de las cartas debe ser lo suficientemente minucioso para garantizar una verdadera aleatorización. Los estudios matemáticos han indicado que un pequeño número de mezclas efectivas es suficiente para mezclar el paquete en orden aleatorio. Bayer y Diaconis (1992) mostraron que después de siete azar fusileros baraja, cualquiera de los 52! las configuraciones posibles son igualmente probables.