Factorial 52: A Stirling Problem – ThatsMaths

How many ways can a deck of cards be Order? Vastaus on hyvin helppo laskea, mutta sen merkitystä on hyvin vaikea ymmärtää.

Korttikaari

kortteja on 52. Näin ollen ensimmäinen voidaan valita 52 tavalla. Seuraava voi olla mikä tahansa jäljellä olevista 51 kortista. Kolmatta varten vaihtoehtoja on 50 ja niin edelleen, kunnes jäljellä on vain yksi kortti, jolloin jäljelle jää vain mahdollisuus laittaa se viimeiseksi.

näin ollen mahdollisuuksien kokonaismäärä on

$52! \equiv 52 \times 51 \ times 50 \times \dots \times 3 \times 2 \times 1\,.$

tätä numeroa kutsutaan factorial 52: ksi. On vähättelyä sanoa, että luku on suuri. The program Mathematica can compute to mielivaltainen precision and entering the command Factorial tuottaa seuraavan tuloksen:

$8065817517094387857166063685640376697528950544088327782400000000000$

In tiivistetympi merkintä on $8.06582\times 10^{67}$ , tai vain yhteen tarkkuuslukuun ${10^{68}}$ ; eli 1, jota seuraa 68 Nollaa.

kuvaa 52!

${52!}$ kaiken käytännöllisen suhteen. Ihmiset ovat puhuneet siitä, kuinka monta pisaraa meressä tai kuinka monta hiekanjyvästä täyttäisi Grand Canyonin. Nämä luvut eivät tule lähellekään ${52!}$ .

havaittavan maailmankaikkeuden atomien lukumäärän arvioidaan olevan noin ${10^{80}}$ , joka on biljoona kertaa suurempi kuin ${52!}$ . Mutta auttaako tämä meitä kuvittelemaan, millaisia nämä luvut ovat? Wikipedian artikkelissa suurten lukujen nimiä kuvataan ${10^{66}}$ unvigintillionina. Näin ${52! \N. 8\kertaa 10^{67}}$ on noin kahdeksankymmentä unvigintillion. Mutta tämä on vain nimi.

kaikkeus on $4\kertaa 10^{17}$ sekuntia vanha. Jos joka sekunti valittaisiin sattumanvarainen korttijärjestely koko universumin elinaikana, valittaisiin vain murto-osa kaikista mahdollisista järjestyksistä. Mahdollisuus, että sama tilaus valitaan kahdesti, on täysin merkityksetön. Vaikka joka sekunti valittaisiin miljardi järjestelyä, ei silti olisi todellista mahdollisuutta päällekkäisyyksiin.

huvittavaan kuvaukseen ${52!}$ , katso http://czep.net/weblog/52cards.html

Stirlingin likiarvo

luvun ${52}$ laskeminen on yksinkertaista. Kerro vain 52 kertaa 51, tulos 50 ja niin edelleen, kunnes saavutat 1. Mutta miten ikävää tämä onkaan ja miten virhealtista!

on olemassa kaunis ilmaisu, joka antaa likiarvon mille tahansa faktorille, joka on nimetty skotlantilaisen matemaatikon James Stirlingin (1692-1770) mukaan (tosin näyttää siltä, että tuloksen on todennut aiemmin Abraham de Moivre). Likiarvo on

$n! \approx S_1 (n) \equiv \sqrt{2\pi n}\left (\frac{n}{e}\right)^n$

Tämä on itse asiassa ensimmäinen termi asymptoottisessa laajennuksessa. Seuraavalla vaalikaudella meillä on

$n! \approx S_2(n) \equiv \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\left(1+\frac{1}{12N}\right)$

Plugging in the argument ${n = 52}$ , ensimmäinen kaava antaa ${s_1(52) = 8.0529\times 10^{67}}$ , joka on oikein 2 desimaalin tarkkuudella. Toisen kaavan mukaan ${S_2 (52) = 8.06581\times 10^{67}}$ , jolloin suhteellinen virhe on vain yksi osa miljoonasta.

intialaisen matemaatikon Srinivasa Ramanujanin papereiden joukosta löytyi toinen likiarvo, joka julkaistiin hänen kadonneessa Muistikirjassaan vuonna 1988:

$\LN(n!) \approx n\LN(n)-n+{\frac{1}{6}}\ln(n(1+4n (1+2N)))+{\frac {1}{2}}\Ln (\pi).$

Tämä antaa ${52!}$ yhteen osaan miljardista.

Laahustamalla ja toistamalla käskyjä

näin suurella määrällä mahdollisuuksia voidaan kysyä, esiintyykö korttipakan sattumanvaraisesti valittu järjestys useammin kuin kerran. Kun tehdään hyvin järkeviä olettamuksia, on helppo väittää, että tietty järjestys ei koskaan tapahdu kahdesti maailmankaikkeuden elämän aikana. Näin, kun perusteellisesti sekoittaa kortit, olet varmasti saapuvat tilaus, joka ei ole koskaan nähty ennen ja ei koskaan nähdä uudelleen.

tässä on kuitenkin iso varaus. Korttien sekoittamisen on oltava riittävän perusteellista todellisen satunnaistamisen varmistamiseksi. Matemaattiset tutkimukset ovat osoittaneet, että pieni määrä tehokkaita sekoituksia riittää sekoittamaan pakkaa satunnaiseen järjestykseen. Bayer ja Diaconis (1992) osoitti, että seitsemän random riffle shuffles, mikä tahansa 52! mahdolliset kokoonpanot ovat yhtä todennäköisiä.

Vastaa Peruuta vastaus

You may like this....