matematiikassa rengas on algebrallinen rakenne, jossa on kaksi binäärioperaatiota, joita yleisesti kutsutaan yhteen-ja kertolaskuksi. Nämä operaatiot on määritelty siten, että ne jäljittelevät ja yleistävät kokonaislukuja. Muita yleisiä esimerkkejä renkaista ovat yhden muuttujan polynomien rengas, jolla on todellisia kertoimia, tai tietyn ulottuvuuden neliömatriisien rengas.

ollakseen rengas yhteenlaskun on oltava kommutatiivinen ja jokaisella alkuaineella on oltava käänteisluku lisättäessä: esimerkiksi lisäaineen käänteisluku 3 on -3. Kertolasku ei kuitenkaan yleensä täytä näitä ominaisuuksia. Rengasta, jossa kertolasku on kommutatiivinen ja jokaisella alkiolla paitsi additiivisella identiteettielementillä (0) on kertolasku käänteisessä (käänteisessä), kutsutaan kentäksi: esimerkiksi rationaalilukujen joukkoa. (Ainoa rengas, jossa 0: lla on käänteisluku, on vain yhden elementin triviaali rengas.)

renkaalla voi olla äärellinen tai ääretön määrä alkuaineita. Esimerkki renkaasta, jolla on äärellinen määrä alkioita, on , jäännösten joukko, kun kokonaisluku jaetaan 5: llä, eli joukko {0,1,2,3,4} operaatioilla kuten 4 + 4 = 3, koska 8: lla on jäljellä 3, Kun se jaetaan 5: llä. Vastaava rengas voidaan muodostaa muille positiivisille arvoille .

formaali määritelmä

rengas on joukko R, joka on varustettu kahdella binäärioperaatiolla, joita yleensä merkitään + ja · ja kutsutaan yhteen-ja kertolaskuksi siten, että:

• (R, +) on Abelin ryhmä
• kertolasku on assosiatiivinen
• vasemman ja oikean jakelulakien hallussa:
  • a·(b + c) = (a·b) + (A·c)
  • (a + b)·c = (a·c) + (b·c)

käytännössä tunnus · jätetään yleensä pois, ja kertolasku merkitään vain vastakkainasettelulla. Myös operaatioiden tavanomainen järjestys oletetaan siten, että a + bc on lyhenne sanoista a + (b·c). Jakojäännös on erikseen määritelty vasemman ja oikean kertolaskun osalta kattamaan tapaukset, joissa kertolasku ei ole kommutatiivinen, kuten matriisirengas.

rengastyypit

Yksirengas

rengasta, jossa on kertolaskua varten identiteettielementti, kutsutaan unitaalirenkaaksi, yksirenkaaksi tai yksinkertaisesti renkaaksi, jossa on identiteetti. Identiteettielementti merkitään yleensä 1. Jotkut kirjoittajat, erityisesti Bourbaki, vaativat, että niiden renkaat olisi identiteettielementti, ja soittaa renkaat ilman identiteettiä pseudorings.

Kommutatiivista rengasta

rengasta, jossa kertolaskuoperaatio on kommutatiivinen, kutsutaan kommutatiiviseksi renkaaksi. Tällaiset kommutatiiviset renkaat ovat kommutatiivisessa algebrassa tutkimuksen peruskohde, jossa renkailla oletetaan yleensä olevan myös yksikkö.

Jakosormus

lisätietoja: Jakosormus.

yksirengasta, jossa jokaisella nollasta poikkeavalla alkiolla a on käänteisluku eli alkio a-1 siten, että A−1A = aa−1 = 1, kutsutaan jakorenkaaksi tai vinokentäksi.

Renkaiden Homomorfismit

rengashomomorfismi on kartoitus renkaasta renkaaseen rengasoperaatioita kunnioittaen. Eli

Jos renkaat ovat unitaalisia, usein oletetaan, että kartoittaa .

homomorfismi voi kartoittaa suuremman joukon pienemmälle joukolle; esimerkiksi rengas voisi olla kokonaislukuja ja se voitaisiin kartoittaa triviaaliselle renkaalle, joka sisältää vain yhden elementin .

Subrings

If is a ring, a subset of is a subring if is a ring perityillä rengasoperaatioilla. Voidaan nähdä, että tämä vastaa vaatimusta, että suljetaan kerto-ja vähennyslaskussa.

Jos on unitaalinen, jotkut kirjoittajat vaativat, että on sisällettävä .

ihanteet

renkaan kaksipuolinen ihanne on subring sellainen, että mille tahansa elementille in ja mikä tahansa elementti in meillä on, että ja ovat elementtejä . Renkaan ideaalin käsite vastaa ryhmän normaalien alaryhmien käsitettä. Täten voidaan esittää ekvivalenssirelaatio julistamalla, että kaksi ovat ekvivalentteja, jos niiden erotus on . Ekvivalenssiluokkien joukkoa merkitään tällöin ja se on rengas, jolla on indusoidut operaatiot.

Jos on rengashomomorfismi, niin h: n ydin, joka määritellään 0: n käänteiskuvaksi, , on . Vastaavasti jos on ideaali, on olemassa luonnollinen rengashomomorfismi, osamuotoinen homomorfismi, from to sellainen, että on kaikkien merkittyjen alkuaineiden joukko.

esimerkit

• triviaali rengas {0} koostuu vain yhdestä alkiosta, joka toimii sekä additiivisena että kertovana identiteettinä.
• kokonaisluvut muodostavat renkaan, jossa yhteen-ja kertolasku määritellään tavalliseen tapaan. Tämä on kommutatiivinen rengas.
  • rationaali -, reaali-ja kompleksiluvut muodostavat kukin kommutatiivisen renkaan.
• polynomien joukko muodostaa kommutatiivisen renkaan.
• neliöjoukko matriisit muodostavat renkaan componentwisen yhteenlaskun ja matriisin kertolaskun alla. Tämä rengas ei ole kommutatiivinen, jos n>1.
• kaikkien intervallilla määriteltyjen jatkuvien reaaliarvoisten funktioiden joukko muodostaa renkaan pistelaskun ja kertolaskun alla.

rakentamalla uudet renkaat annetuista

• jokaiselle renkaalle voidaan määritellä vastakkainen rengas kääntämällä kertolasku . Koska kertolasku in , kertolasku in on määritelty , joka kartoittaa jokaisen alkuaineen itselleen, on isomorfismi, jos ja vain jos on kommutatiivinen. Vaikka ei ole kommutatiivinen, on kuitenkin mahdollista, että ja ovat isomorfisia käyttämällä eri karttaa. Esimerkiksi jos on reaalilukujen matriisit, niin transpositiokartta , joka kartoittaa jokaisen matriisin transpositioonsa, on isomorfismi.
• renkaan keskipiste on alkuaineiden joukko, joka kulkee ; eli on alkuaine center if jokaiselle . Keskipiste on . Sanomme, että subring of on keskeinen, jos se on subring of center of .
• kahden renkaan R ja S suora tulo on karteesinen tulo R×S yhdessä operaatioiden

(r1, s1) + (r2, s2) = (r1+r2, S1+S2) ja (r1, S1)(r2, S2) = (r1r2, s1s2) kanssa. Näillä operaatioilla R×S on rengas.

• yleisemmin minkä tahansa indeksijoukon J ja rengaskokoelman suora Tulo ja suora summa ovat olemassa.
  • suora tulo on kokoelma ”äärettömiä tupleja” , jossa operaatioina on yhteenlasku ja kertolasku.
  • rengaskokoelman suora summa on kaikista äärettömistä tupleista koostuvan suoran tulo sillä ominaisuudella, että rj=0 kaikille paitsi äärellisille monille j: lle. erityisesti jos J on äärellinen, niin suora summa ja suora tulo ovat isomorfisia, mutta yleensä niillä on aivan erilaiset ominaisuudet.
• koska mikä tahansa rengas on sekä vasen että oikea moduuli itsensä yli, on mahdollista konstruoida r: n tensoritulo renkaan s yli toisen renkaan T saada toinen rengas, edellyttäen että S on r: n ja T: n keskeinen subring,

historia

renkaiden tutkimus sai alkunsa polynomirenkaiden ja algebrallisten lukukenttien tutkimuksesta yhdeksännentoista vuosisadan jälkipuoliskolla, muun muassa Richard Dedekindin toimesta. Itse termin ring keksi kuitenkin David Hilbert vuonna 1897.

Katso myös

• Rengasteorian Sanasto
• Algebra kommutatiivisen renkaan yli
• Nonassosiatiivinen rengas

erityiset rengastyypit:

• kommutatiivinen rengas
• Jakorengas

kenttä

Integraalialuealue (ID)

pääasiallinen ideaalialuealue (PID)

ainutkertainen piirikunta (UFD)

konstruktiot renkaista

Ryhmärengas

Matriisirengas

Polynomirengas

renkaat, joissa on lisätty rakenne

• differentiaalirengas
• euklidinen domain (ed)