fysikaalinen setup

tavoitteenamme on antaa lopulliset kvantitatiiviset rajat, joita voidaan soveltaa mihin tahansa jäähdytysmenetelmään—nimittäin haluamme löytää alarajan lämpötilalle, jonka järjestelmä voi saavuttaa minkä tahansa tietyn prosessin jälkeen, joka käyttää tiettyjä resursseja tai kestää jonkin tietyn ajan t. Siksi meidän on sallittava kaikkein yleinen kvanttimuutos, toisin sanoen ne, jotka kunnioittavat kokonaisenergian säilymistä ja ovat mikroskooppisesti palautuvia (yhtenäisiä). Tämä yleinen setup sisältää termodynaamisesti peruuttamattomia protokollia ja myös epärealistisia protokollia, joissa täydellisen valvonnan mikroskooppisen vapausasteita kylpy tarvitaan. Kuten toisen lain 25, 27, 29 ja 30 tapauksessa on yllättävää todeta,että tällainen epärealistinen valvonta ei näytä antavan etua hyvin karkeasta valvonnasta.

osoitamme, että jäähdytysprosessia avustavan säiliön tilojen tiheydellä on tärkeä vaikutus siihen, kuinka nopeasti Järjestelmä voidaan jäähdyttää. (Tilojen tiheys Ω (E) on niiden tilojen lukumäärä, joilla on energiaa E.) näemme, että mitä nopeammin Ω(E) kasvaa, sitä alhaisempi lämpötila voidaan saavuttaa kiinteillä resursseilla tai määrätyssä ajassa. Vielä enemmän: jos Ω(E) kasvaa eksponentiaalisesti tai nopeammin, jäähtyminen absoluuttiseen nollaan äärellisessä ajassa on periaatteessa mahdollista, mikä mahdollistaa kolmannen lain rikkomisen. Tulemme kuitenkin näkemään, että eksponentiaalinen tai supereksponentiaalinen Ω (E) on katsottava epäfysikaaliseksi. Tämä muuttuu intuitiivisemmaksi, kun se ilmaistaan (mikrokanonisella) lämpökapasiteetilla C (E), joka liittyy S(E)=Ln Ω(E) via

missä alkuluvut edustavat differentiaaleja. Jos Ω(E) kasvaa eksponentiaalisesti tai nopeammin, C (E) on ääretön tai negatiivinen, mitä pidetään epäfysikaalisena. Jos Ω (E) on sub-eksponentiaalinen, niin C(E) on positiivinen. Ja mitä nopeammin Ω (E) kasvaa, sitä suurempi C(E) on. Vain säiliö, jolla on äärettömän ulotteinen Hilbertin avaruus, voi pitää S (E): n kasvamassa kaikille E: lle. Tuloksemme ovat kuitenkin yleisiä ja pätevät myös äärellisulotteiseen tapaukseen.

Oletetaan, että haluamme jäähdyttää kvanttijärjestelmän, jossa Hilbertin avaruuden ulottuvuus on d, ja Hamiltonin HS: llä on maatilan degeneraatio g, aukko maatilan yläpuolella Δ ja suurin energia J. mitkä ovat siihen tarvittavat resurssit?

perusoletukset

täsmentäkäämme asetelma konkreettisemmin ja Kootkaamme omaksumamme oletukset (ne, jotka perustuvat ensimmäisiin periaatteisiin):

(i) katsomme prosessin alkavan silloin, kun järjestelmä ei ole vielä ollut kosketuksissa työvarastojärjestelmään (paino) eikä varastoon, joten aluksi globaali tila on pS⊗pB⊗pW. Vaikka muut alustavat skenaariot voivat olla kiinnostavia, niiden tarkastelu on nykyisen paperin soveltamisalan ulkopuolella.

(ii) Sallimme systeemin, kylvyn ja painon yleisimmän kvanttimuunnoksen, joka on palautuva (yhtenäinen) ja säilyttää kokonaisenergian. Tämä saattaa vaikuttaa rajoittavalta verrattuna paradigmoihin, jotka sallivat mielivaltaiset vuorovaikutustermit, mutta näin ei ole, koska mielivaltaiset vuorovaikutukset voidaan sisällyttää malliin, kuten Ref: n lisäyksessä H esitetään. 27 ja viite. 25, yksinkertaisesti antamalla työjärjestelmän energian vaihdella. Monissa paradigmoissa tämä toteutetaan implisiittisesti olettamalla, että kaikki puuttuva energia lasketaan työksi. Paradigmat, jotka höllentävät tätä ehtoa, sivuuttavat oleellisesti toisiin systeemeihin siirretyn energian tai pitävät näitä muita systeemejä klassisina. Pohjimmiltaan, me määrätä energian säästämistä varmistaa, että me asianmukaisesti huomioon kaikki energia kustannukset liittyvät vuorovaikutukseen, kun taas eri yksiköiden tai vuorovaikutus termit yksinkertaisesti siirtää tai ottaa energiaa painosta kompensoida. Jäähdytysprosessi on siis mikä tahansa muodon muunnos

missä U on globaali unitaarinen täyttävä

(iii) transformaatiossa kuluva työ on otettu painosta. Koska olemme kiinnostuneita perimmäisistä rajoituksista, pidämme idealisoitua painoa Hamiltonin kanssa, jolla on jatkuva ja rajoittamaton spektri . Mikä tahansa muu työjärjestelmä voidaan simuloida tällä one30: llä. Osoitamme wmax: lla kulutetun työn huonoimman mahdollisen arvon, eli

wmax on yleensä paljon suurempi kuin keskimääräinen työ 〈W〉. Missä tahansa äärellisessä ajassa suoritetussa fyysisesti järkevässä prosessissa sen odotetaan olevan äärellinen.

(iv) vaadimme myös, kuten ref. 29, että jäähdytys muutos kulkee käännökset paino. Toisin sanoen lämpökoneen toiminta on riippumatonta painon energioiden alkuperästä, joten se riippuu vain siitä, kuinka paljon työtä painosta saadaan. Tämä voidaan ymmärtää määrittelemällä, mitä työ on—se on vain energian muutos, jonka voimme saada aikaan jossakin ulkoisessa järjestelmässä. Näin varmistetaan myös, että paino on vain mekanismi työn toimittamiseen tai varastointiin, eikä se ole esimerkiksi entropia dump (KS.Lisäkeskustelun tulos 1). Se myös varmistaa, että jäähdytysprosessi jättää aina painon tilaan, jota voidaan käyttää seuraavassa ajossa tai prosessissa. Näin

missä Eremitian operaattori Π toimii kaikille . Tämän lisäksi annamme paino-pW: n alkutilan olla mielivaltainen. Erityisesti se voi olla johdonmukainen, mikä tarjoaa edun27.

(v) oletamme, että kylvyn tilavuus on v ja se on lämpötilassa annetussa käänteislämpötilassa , jossa ZB on kylvyn jakautumisfunktio. Ilmaisemme kylvyn vapaan energiatiheyden (kanonisessa tilassa pB) .

(vi) mikrokanoninen lämpökapasiteetti (2) ei ole negatiivinen C(E) kaikille energioille E. Tämä tarkoittaa, että S(E) on sublineaarinen E: ssä. Voimme myös todistaa täydentäviä menetelmiä, että jos S (E) kasvaa lineaarisesti tai nopeammin, niin täydellinen jäähdytys rajallinen aika on mahdollista.

näillä oletuksilla osoitamme, että systeemin täydellisen jäähdyttämiseksi absoluuttiseen nollaan ainakin jommankumman näistä kahdesta resurssista, bath V: n tilavuuden tai pahimman mahdollisen wmax: n kuluttaman työn arvon on oltava ääretön. Lisäksi sidoimme järjestelmän alimman saavutettavissa olevan lämpötilan V: n ja wmax: n suhteen.

Kvantifioimalla saavuttamattomuutta ensimmäisistä periaatteista

oletuksilla (i)–(vi) tarkastelemme kahta tapausta, joista toisessa alku-ja lopputila ovat termisiä, ja toisessa Sallimme mielivaltaiset alku-ja lopputilat. Ensimmäinen tuloksemme koskee ensin mainittua ja toteaa, että missään prosessissa, jossa huonoimmassa tapauksessa ruiskutettu työ on wmax,järjestelmän lopullinen lämpötila ei voi olla pienempi kuin

suuressa wmax, V-rajassa. Mikrokanoninen vapaan energian tiheys käänteislämpötilassa β0 määritellään

missä E0 on yhtälön s'(E0)=β0 ratkaisu. Muista, että kun bath V: n tilavuus on suuri, on yleensä niin, että fmic(β0)=fcan(β0) ja nämä ovat riippumattomia V: stä.

Analysoidaanpa yhtälön (7) käyttäytymistä sijoitettujen resurssien suhteen. Kun wmax kasvaa, β0 pienenee ja fmic kasvaa, jolloin lopullinen lämpötila . Koska kaikki tilavuusriippuvuus yhtälössä (7) on eksplisiittinen, suurempi V merkitsee myös alempaa loppulämpötilaa.

Seuraavassa esitetään sidonnaisuus fyysisesti merkitykselliselle entropioiden suvulle

missä α >0 ja ν∈[1/2, 1) ovat kaksi vakiota. Tällainen entropia on laaja, ja jos asetamme , se kuvaa sähkömagneettista säteilyä (tai mitä tahansa massatonta bosonikenttää) d-ulotteisessa laatikossa, jonka tilavuus on v. Yleisesti uskotaan, että ei ole olemassa muuta säiliötä, jonka tiheys valtioiden kasvaa nopeammin E kuin tämä 36, ja varmasti mikään, joka on ν≥1. Myöhemmin, vastaa kylpy negatiivinen lämpökapasiteetti keskusteltu aiemmin, joka mahdollistaa jäähdytyksen rajallinen wmax. Täydennyskeskustelussa sovitetaan sidotut (7) entropiaan (9), saadaan

johtaviin termeihin asti. Kaikki riippuvuus V: stä ja wmax: sta on selvä. Erityisesti havaitsemme, että suuremmat V-ja wmax-arvot mahdollistavat alhaisemmat lämpötilat. Ja myös suuremmat ν-arvot, jotka muodostavat nopeamman entropian kasvun, mahdollistaen alhaisemmat lämpötilat.

kuten edellä mainittiin, jäähdytysprosessit, joita pidämme hyvin yleisluontoisina. Erityisesti ne voivat muuttaa järjestelmän Hamiltonia prosessin aikana, kunhan viimeinen Hamiltoni on identtinen alkuperäisen HS: n kanssa. Tämä sulkee pois mielenkiinnottoman jäähdytysmenetelmän, joka koostuu Hamiltonin HS→0: n uudelleen skaalaamisesta. Kuitenkin meidän rajoja voidaan helposti mukauttaa prosessi, jossa lopullinen Hamiltonin eroaa alkuperäisestä, kuten keskustelemme johtopäätös.

Tarkastellaanpa Nyt yleisempää tapausta, jossa alku-tai lopputilan ei tarvitse olla terminen, vaan se voi sen sijaan olla mielivaltainen. Kuten se jo tunnetaan14,15,17,18,30, absoluuttisen nollan saavuttamattomuus ei johdu siitä, että kohdetilassa on vähän energiaa, vaan pikemminkin siitä, että sillä on alhainen entropia. Näin ollen tämä merkitsee suoraan minkään puhtaan valtion saavuttamattomuutta, tai yleisemmin minkä tahansa sellaisen valtion saavuttamattomuutta, jonka arvo G on alempi kuin alkutila. Tämäntyyppisiä prosesseja kutsutaan yleensä tiedon poistoksi eli puhdistukseksi. Nyt analysoimme niiden prosessien rajoitukset, jotka ottavat mielivaltaisen alkutilan pS ja muuttavat sen lopulliseksi tilaksi tuella g-rank-projektorille P. kvantifioimme muunnoksen epätarkkuuden virheellä . Selkeyden vuoksi oletamme, että järjestelmä on triviaali Hamiltonin HS=0 (yleinen tapaus on käsitelty täydentävän keskustelun), ja me ilmi, λmin ja λmax pienin ja suurin eigenvalues, pS. Täydentävissä menetelmissä osoitamme, että mikä tahansa prosessi pS→ on virhe

edellä esitetyt tulokset sekä muut täydentävässä keskustelussa esitetyt yleisemmät tulokset kvantifioivat kykyämme jäähdyttää järjestelmä (tai yleisemmin laittaa se alennettuun arvoasteikkoon), mitä tulee kahteen resurssiin: tilavuus kylpy v, ja pahimmassa tapauksessa vaihtelu työn kulutetaan wmax. Ne muodostavat siten kolmannen lain muodon siinä mielessä, että ne sitovat jäähdytyksen, koska niillä on rajalliset resurssit. Haluamme nyt kääntää tämän järjestelmän viilentämiseen kuluvaksi ajaksi, ja teemme sen tarkastelemalla termisen koneen käsitettä ja tekemällä kaksi fyysisesti järkevää olettamusta.

Lämpökoneet

muistakaamme, että laskennallisen kompleksisuuden kenttä perustuu Churchin-Turingin teesiin—ajatukseen, että pidämme tietokonetta Turingin koneena, ja tutkikaamme sitten, miten laskennan aika skaalautuu ongelman koon kanssa. Eri koneet voivat toimia eri tavalla—tietokoneen pää voi liikkua nopeammin tai hitaammin muistinauhan poikki; tiedot voidaan tallentaa bitteinä tai korkeampiulotteisina muistiyksiköinä, ja pää voi kirjoittaa tähän muistiin eri nopeuksilla. Luonto ei näytä asettavan perustavanlaatuista rajaa tietokoneen muistiyksikön ulottuvuudelle tai nopeudelle, jolla se voidaan kirjoittaa. Kuitenkin, mitä tahansa fyysisesti järkevää toteutumista tietokoneen, ja riippumatta nopeus näiden toimintojen, se on kiinteä ja rajallinen, ja vasta sitten tarkastelemme skaalaus aikaa ongelma koko. Ja mikä on tärkeää on yleinen skaalaus aika tulo (polynomi tai eksponentiaalinen), eikä mitään vakioita. Samoin tässä harkitsemme kiinteää lämpökonetta, ja oletamme, että se voi siirtää vain äärellisen määrän energiaa lämpökylpyyn äärellisessä ajassa. Samoin se ei voi äärellisessä ajassa tutkia äärettömän kokoista lämpökylpyä. Lämpökone, joka tekisi toisin, olisi fyysisesti kohtuuton.

voimme pitää sekä V: tä että wmax: ia ajan t monotonisina funktioina. mitä kauemmin terminen koneemme toimii, sitä enemmän se voi pumpata työtä lämpökylpyyn ja sitä suuremman tilavuuden se voi tutkia. Mille tahansa tietylle lämpökoneelle voidaan laittaa äärellinen sidos korvaamalla nämä funktiot yhtälöllä (10). Erityisesti, jos oletetaan, että vuorovaikutus välittyy paikallisen Hamiltonin dynamiikan kautta, niin systeemin vuorovaikutus, jonka amme on volyymi V ja avaruus d, vie aikaa

missä v on verrannollinen äänen nopeuteen kylvyssä (tai lieb–Robinson velocity37), ja V1/d kylvyn lineaariseen ulottuvuuteen. Yleisten yhdistysten toteuttaminen kestää paljon kauemmin kuin yhtälö (12), mutta tämä toimii alarajana. Koska olemme täällä kiinnostuneita lämpötilan skaalautumisesta ajan eikä jatkuvien tekijöiden mukaan, meidän ei tarvitse olla huolissamme siitä, että käytännölliset lämpökoneet toimivat paljon hitaammilla nopeuksilla. Aivan kuten varsinaisten tietokoneiden, lämpökoneiden nopeudet ovat yleensä selvästi alle Lieb-Robinson-rajan. Huomaa, että vaikka V on rajallinen, Hilbertin avaruus kylpy voi olla ääretön-ulotteinen. Jos joku halusi olla sidottu, joka oli riippumaton thermal machine, ja riippumaton nopeus äänen, joka on omaisuutta kylpy, sitten voisi aina ottaa v on valon nopeus. Vaikka tällainen sidonta ei olisi käytännössä merkityksellinen, se olisi perustavaa laatua oleva. Tämä on samanlainen bounds laskennan, jos saada perusoikeuksien sidottu, yksi pitäisi ottaa portin nopeus on ääretön (koska ei ole perusoikeuksien sidottu tähän) ja muuntaa useita bittejä käytetään prosessin ajan kertomalla valonnopeus.

huonoimman työn wmax: n ja ajan t välinen suhde saadaan huomaamalla seuraavaa. Äärellisenä ei ole mahdollista ruiskuttaa kylpyyn ääretöntä työmäärää. Yksinkertaisuuden vuoksi tässä oletetaan lineaarinen suhde

, jossa vakio u riippuu systeemin ja painon vuorovaikutuksesta. Korostamme kuitenkin, että jos tietty fyysinen asennus on virheellisesti mallinnettu suhteet (12) ja (13), niin kaikki muut sidottu t≥H1(wmax) ja t≥H2(V) on myös hyvä. Niin kauan kuin h1 ja h2 ovat puhtaasti monotonisia funktioita, unattainability-periaate pitää.

rajoitukset käyttämällä lämpökoneita

mille tahansa lämpökoneelle voidaan nyt johtaa rajoituksia lämpötilalle, joka voidaan saavuttaa tiettynä aikana t. koska fysikaalinen systeemi, jolla on nopein entropian kasvu, jonka tiedämme olevan säteily, on syytä omistaa seuraava kappale tapaukselle yhtälössä (9), koska tämän pitäisi antaa sidos, jolla on laaja pätevyys. Käyttämällä erityisiä relaatioita (12) ja (13) ja korvaamalla ne yhtälöllä (10) säteilyn tapauksessa saadaan

suuressa t-raja-arvossa. Meidän sidottu (14) voidaan suoraviivaisesti mukauttaa mihin tahansa muuhun suhteeseen t≥H1(wmax) ja t≥H2(V). On mielenkiintoista havaita yhtälössä (14) ominaisajan (kuinka kauan kestää jäähtyä kiinteään ) ja systeemin koon suhde. Käyttämällä tavallista relaatiota Ln D∝VS saadaan sublineaarinen skaalaus

jotain tuloksesta (11) huolestuttavaa on, että raja-arvossa λmin→0 sidotusta tulee triviaali. Tämä voidaan ratkaista typistämällä alkutila pS siihen aliavaruuteen, joka sisältää K: n suurimmat eigenvalueet, ja optimoimalla saatu sidos K: n funktiona. tämän typistysmenetelmän avulla voidaan myös laajentaa kaikki tuloksemme äärettömiin ulottuvuuksiin (d=∞).