fizikai beállítás
célunk, hogy minden hűtési eljárásra alkalmazható végső mennyiségi korlátokat biztosítsunk—nevezetesen azt a hőmérsékletet szeretnénk alsó határt találni, amelyet egy rendszer elérhet bármilyen folyamat után, amely bizonyos erőforrásokat használ, vagy bizonyos ideig tart t. Ezért meg kell engednünk a legáltalánosabb kvantumátalakulást, vagyis azokat, amelyek tiszteletben tartják a teljes energiatakarékosságot, és mikroszkóposan reverzibilisek (egységesek). Ez az Általános beállítás magában foglalja a termodinamikailag visszafordíthatatlan protokollokat, valamint az irreális protokollokat, ahol a fürdő mikroszkopikus szabadságfokainak teljes ellenőrzése szükséges. Meglepő módon itt azt találjuk, amint azt a második törvény25,27,29,30 esetében is megállapítottuk, hogy az ilyen irreális mértékű ellenőrzés nem tűnik előnynek a nagyon durva ellenőrzéssel szemben.
megmutatjuk, hogy a hűtési folyamatot segítő tartály állapotainak sűrűsége fontos hatással van arra, hogy a rendszer milyen gyorsan hűthető. (Az állapotok sűrűsége(e) az energiával rendelkező állapotok száma E.) látjuk, hogy minél gyorsabban növekszik az (e), annál alacsonyabb a hőmérséklet, amelyet rögzített erőforrásokkal vagy rögzített idő alatt lehet elérni. Még több: ha a(e) számú főcím exponenciálisan vagy gyorsabban növekszik, akkor a véges idő alatt abszolút nullára történő lehűlés elvileg lehetséges, lehetővé téve a harmadik törvény megsértését. Látni fogjuk azonban, hogy az exponenciális vagy szuper-exponenciális(E) – T nem fizikainak kell tekinteni. Ez intuitívabbá válik, ha a (mikro-kanonikus) C(E) hőkapacitással fejezzük ki, amely a következőhöz kapcsolódik: S(E)=Ln ++ (E) keresztül
ahol a prímek különbséget jelentenek. Ha a C (E) exponenciálisan vagy gyorsabban növekszik, akkor a C(E) végtelen vagy negatív, amelyet nem fizikainak tekintünk. Ha a C(E) szubexponenciális, akkor C(E) pozitív. Minél gyorsabban nő az e), annál nagyobb a C(E). Csak egy végtelen dimenziós Hilbert-térrel rendelkező tározó képes megtartani az S(E) növekedését az összes E számára.sőt, a végtelen dimenziós tározók teszik lehetővé a gyorsabb hűtést. Eredményeink azonban általánosak, és a véges dimenziós esetre is vonatkoznak.
tegyük fel, hogy le akarunk hűteni egy olyan kvantumrendszert, amelynek Hilbert-tér dimenziója d, és a Hamiltoni HS-nek alapállapot-degenerációja van g, az alapállapot feletti rés és a legnagyobb energia J. milyen erőforrások szükségesek ehhez?
alapvető feltételezések
határozzuk meg konkrétabban a beállítást, és gyűjtsük össze azokat a feltételezéseket, amelyeket elfogadunk (azok, amelyek az első elvekből származnak):
(i) a folyamat kezdetét akkor tekintjük, amikor a rendszer még nem került érintkezésbe a munkatároló rendszerrel (a súly), sem a tározóval, így kezdetben a globális állapot pS ++ PB PPW. Míg más kezdeti kiindulási forgatókönyv érdekes lehet, megfontolása meghaladja a jelenlegi cikk hatályát.
(ii) lehetővé tesszük a rendszeren, a fürdőn és a súlyon a legáltalánosabb kvantum transzformációt, amely reverzibilis (egységes) és megőrzi a teljes energiát. Ez korlátozónak tűnhet az önkényes interakciós kifejezéseket lehetővé tevő paradigmákhoz képest, azonban ez nem így van, mivel önkényes interakciók beépíthetők a modellbe, amint azt a ref. 27 és ref. 25, egyszerűen azáltal, hogy lehetővé teszi a munkarendszer energiájának ingadozását. Sok paradigmában ezt implicit módon érvényesítik, feltételezve, hogy minden hiányzó energiát munkának számítanak. Azok a paradigmák, amelyek enyhítik ezt az állapotot, lényegében figyelmen kívül hagyják a más rendszerekbe átvitt energiát, vagy ezeket a többi rendszert klasszikusnak tekintik. Lényegében, energiamegtakarítást írunk elő annak biztosítása érdekében, hogy megfelelően elszámoljuk az interakcióval kapcsolatos összes energiaköltséget, míg a különféle egységek vagy interakciós kifejezések egyszerűen átviszik vagy energiát vesznek a súlyból a kompenzáció érdekében. A hűtési folyamat tehát a
ahol U egy globális egységes kielégítő
(iii) a transzformáció során felhasznált munka a következő a súlyból vett. Mivel a végső korlátok érdekelnek minket, egy idealizált súlyt veszünk figyelembe, amelynek Hamiltoni folytonos és korlátlan spektruma 
. Ezzel bármely más munkarendszer szimulálható30. Wmax-szal jelöljük az elfogyasztott munka legrosszabb eseti értékét, azaz
a wmax általában sokkal nagyobb lesz, mint az átlagos munka. Bármely fizikailag ésszerű, véges időben végrehajtott folyamatban elvárjuk, hogy véges legyen.
(iv) is szükségünk van, mint a ref. 29, hogy a hűtési transzformáció a súly fordításaival ingázik. Más szavakkal, a hőgép működése független a súly energiáinak eredetétől, így csak attól függ, hogy mennyi munkát szállítanak a súlyból. Ez úgy értelmezhető, hogy meghatározza, mi a munka—pusztán az energiaváltozás, amelyet valamilyen külső rendszeren kiválthatunk. Ez azt is biztosítja, hogy a súly csak egy mechanizmus a munka szállítására vagy tárolására, és nem például entrópia-lerakó (lásd a kiegészítő Vita 1.eredményét). Azt is biztosítja, hogy a hűtési folyamat mindig olyan állapotban hagyja a súlyt, amely felhasználható a következő menetben vagy a folyamatban. Így
ahol a Remete operátor úgy működik, mint 
minden
. Ezen túlmenően megengedjük, hogy a PW súly kezdeti állapota önkényes legyen. Különösen koherens lehet, ami előnyt biztosít27.
(v) feltételezzük, hogy a fürdő v térfogatú és termikus állapotban van 
adott inverz hőmérsékleten 
, a ZB a fürdő partíciós funkciója. A fürdő szabad energiasűrűségét (PB kanonikus állapotban) 
jelöljük.
(vi) a mikro-kanonikus hőkapacitás (2) nem negatív C(E) minden energiára E. Ez azt jelenti, hogy S(E) szublineáris e-ben. A kiegészítő módszerekben azt is bebizonyítjuk, hogy ha az S(E) lineárisan vagy gyorsabban növekszik, akkor véges időben tökéletes hűtés lehetséges.
ezekkel a feltételezésekkel megmutatjuk, hogy a rendszer abszolút nullára történő tökéletes hűtéséhez e két erőforrás közül legalább az egyiknek, a fürdő térfogatának V, vagy az elfogyasztott munka legrosszabb értékének wmax végtelennek kell lennie. Továbbá, kötöttük a legalacsonyabb elérhető hőmérséklet a rendszer 
szempontjából V és wmax.
az első elvekből származó elérhetetlenség számszerűsítése
az (I)–(vi) feltételezésekkel két esetet veszünk figyelembe, az egyikben a kezdeti és a végső állapot termikus, a másikban pedig tetszőleges kezdeti és végső állapotot engedélyezünk. Első eredményünk az előbbire vonatkozik, és kimondja,hogy minden olyan folyamatban, ahol a legrosszabb esetben beadott munka wmax, a rendszer végső hőmérséklete nem lehet alacsonyabb, mint
a nagy wmax, V határértéknél. A mikro-kanonikus szabadenergia-sűrűséget inverz hőmérsékleten a 0 határozza meg
ahol E0 az S’egyenlet megoldása’ (E0)=++0. Emlékezzünk arra, hogy amikor a v fürdő térfogata nagy, akkor általában az fmic(++0)=fcan(++0), és ezek függetlenek a V-től.
elemezzük a (7) egyenlet viselkedését a befektetett erőforrások szempontjából. Ahogy a wmax nő, úgy csökken a 0-as és az fmic-es hőmérséklet, ami alacsonyabb véghőmérsékletet eredményez 
. Mivel a (7) egyenletben az összes térfogatfüggőség kifejezett, ezért egy nagyobb V alacsonyabb véghőmérsékletet is eredményez.
a következőkben megadunk egy kötöttséget a fizikailag releváns entrópiák családjára
ahol a (Z)>0 és a (Z) (1/2, 1) két állandó. Egy ilyen entrópia kiterjedt, és ha beállítjuk 
leírja az elektromágneses sugárzást (vagy bármilyen tömeg nélküli bozonikus mezőt) egy D-dimenziós v térfogatú dobozban. Általában úgy gondolják, hogy nincs más víztározó, amelynek sűrűsége gyorsabban növekszik az E-vel, mint ez36, és természetesen nincs olyan, amely rendelkezik volna 1. A későbbi, megfelel a korábban tárgyalt negatív hőkapacitású fürdőnek, amely lehetővé teszi a hűtést véges wmax-szal. A kiegészítő megbeszélés során a bound (7) – et az entrópiához (9) igazítjuk, így
a vezető kifejezésekig. A V-től és a wmax-tól való függés egyértelmű. Különösen megfigyeljük, hogy a V és a wmax nagyobb értékei alacsonyabb hőmérsékletet tesznek lehetővé. Továbbá, a nagyobb értékek, amelyek gyorsabb entrópia növekedést eredményeznek, lehetővé téve az alacsonyabb hőmérsékleteket.
mint fentebb említettük, az általunk figyelembe vett hűtési folyamatok nagyon általánosak. Különösen megváltoztathatják a rendszer Hamiltonianját a folyamat során, mindaddig, amíg a végső Hamiltonian megegyezik a kezdeti HS-vel. Ez kizárja az érdektelen hűtési módszert, amely a Hamiltoni HS 0 átméretezéséből áll. Határaink azonban könnyen adaptálhatók olyan feldolgozásra, ahol a végső Hamiltoni eltér az eredetitől, amint azt a következtetésben tárgyaljuk.
vizsgáljuk meg most az általánosabb esetet, ahol sem a kezdeti, sem a végső állapotnak nem kell hőnek lennie, hanem önkényes lehet. Mint már jól ismert14, 15, 17, 18, 30, az abszolút nulla elérhetetlensége nem annak a következménye, hogy a célállapot alacsony energiával rendelkezik, hanem az, hogy alacsony entrópiával rendelkezik. Ennélfogva ez közvetlenül bármely tiszta állapot elérhetetlenségét jelenti, vagy általánosabban bármely olyan állapotot, amelynek g rangja alacsonyabb, mint a kezdeti állapot. Az ilyen típusú folyamatokat általában információ törlésnek vagy tisztításnak nevezik. Most elemezzük minden olyan folyamat korlátait, amely tetszőleges kezdeti állapotot vesz fel PS és átalakítja azt végső állapotba 
A G-rank projektor P támogatásával.számszerűsítjük a transzformáció pontatlanságát a 
hibával. Az egyértelműség kedvéért feltételezzük, hogy a rendszer triviális Hamiltoni HS=0 (az általános esetet a kiegészítő megbeszélés tárgyalja), és a PS legkisebb és legnagyobb sajátértékét nevezzük a PS-nek. A kiegészítő módszerekben megmutatjuk, hogy bármely folyamat PS ++ 
hibával rendelkezik
termikus gépek
emlékezzünk arra, hogy a számítási komplexitás területe az egyház-Turing—tézisen alapul-az az elképzelés, hogy egy számítógépet Turing-gépnek tekintünk, majd vizsgáljuk meg, hogy a számítási idő hogyan skálázódik a probléma méretével. A különböző gépek eltérő teljesítményt nyújthatnak—a számítógép feje gyorsabban vagy lassabban mozoghat a memóriaszalagon; az információ tárolható bitekben vagy magasabb dimenziós memóriaegységekben, és a fej különböző sebességgel írhat erre a memóriára. Úgy tűnik, hogy a természet nem szab alapvető korlátot a számítógép memóriaegységének méretére vagy az írás sebességére. Azonban bármilyen fizikailag ésszerű megvalósítása a számítógép, és függetlenül attól, hogy a sebesség ezeket a műveleteket, ez rögzített és véges, és csak akkor vizsgáljuk meg a méretezés az idő a probléma méretét. Ami pedig fontos, az az idő teljes skálázása bemenettel (polinom vagy exponenciális), nem pedig állandók. Hasonlóképpen itt egy rögzített hőgépet is figyelembe veszünk, és feltételezzük, hogy csak véges mennyiségű energiát tud átvinni a hőfürdőbe véges idő alatt. Hasonlóképpen, véges idő alatt nem fedezhet fel végtelen méretű hőfürdőt. Egy hőgép, amely egyébként nem lenne fizikailag ésszerűtlen.
mind a V, mind a wmax az idő monoton funkcióinak tekinthető t. minél hosszabb ideig működik a hőgépünk, annál több munkát tud pumpálni a hőfürdőbe, és annál nagyobb a fürdő térfogata. Bármely adott hőgéphez véges kötést lehet tenni 
azáltal, hogy ezeket a függvényeket a (10) egyenletbe helyettesítjük. Különösen, ha feltételezzük, hogy az interakciót egy helyi Hamiltoni dinamika közvetíti, akkor egy rendszer kölcsönhatása V térfogatú fürdővel és D térbeli dimenzióval időt vesz igénybe
ahol v arányos a fürdő hangsebességével (vagy Lieb–Robinson sebesség37), és V1 / D a fürdő lineáris dimenziója. Az általános egységek végrehajtása sokkal hosszabb ideig tart, mint a (12) egyenlet, de ez alsó korlátként szolgál. Mivel itt a hőmérséklet időbeli skálázása érdekel minket, nem pedig állandó tényezőkkel, nem kell aggódnunk amiatt, hogy a gyakorlati hőgépek sokkal lassabb sebességgel működnek. Természetesen, csakúgy, mint a tényleges számítógépeknél, a termikus gépek sebessége általában jóval a Lieb–Robinson határ alatt van. Vegye figyelembe, hogy annak ellenére, hogy v véges, a fürdő Hilbert-tere végtelen dimenziós lehet. Ha valaki olyan kötést szeretne, amely független a hőgéptől, és független a hangsebességtől, amely a fürdő tulajdonsága, akkor mindig v-t vehetne a fénysebességnek. Bár egy ilyen megkötés gyakorlatilag nem lenne releváns, alapvető lenne. Ez hasonló a számítás határaihoz, ahol alapvető kötöttséget kell elérni, a kapu sebességét végtelennek kell tekinteni (mivel erre nincs alapvető kötöttség), és a folyamatban használt bitek számát időre kell konvertálni a fénysebességgel megszorozva.
a wmax legrosszabb esetű munka és a T idő közötti összefüggést a következők észlelésével kapjuk meg. Véges t – ben nem lehet végtelen mennyiségű munkát beadni a fürdőbe. Az egyszerűség kedvéért itt egy lineáris kapcsolatot feltételezünk
ahol az U állandó a rendszer és a súly közötti kölcsönhatásoktól függ. Hangsúlyozzuk azonban, hogy ha egy adott fizikai beállítást helytelenül modelleznek a (12) és a (13) kapcsolatok, akkor minden más kötött t(1) (wmax) és t (2) (V) is jó. Amíg a h1 és h2 szigorúan monoton függvények, addig az elérhetetlenség elve érvényesül.
korlátozások termikus gépek használata
bármely adott hőgép esetében most korlátozhatjuk az adott idő alatt elérhető hőmérsékletet t. mivel a fizikai rendszer a leggyorsabb entrópia növekedéssel, amelyről tisztában vagyunk, a sugárzás, érdemes a következő bekezdést az esetre szentelni 
A (9) egyenletben, mert ennek széles érvényességű kötést kell biztosítania. A (12) és (13) összefüggéseket felhasználva és a (10) egyenletbe helyettesítve a sugárzás esetében
a nagy T határértékben kapjuk meg. A kötöttségünk (14) egyszerűen adaptálható bármely más, a T(1) (wmax) és a T (2) (v) (h) (h) (h) (h) viszonyhoz. Érdekes megfigyelni a (14) egyenletben a jellemző idő (mennyi ideig tart lehűlni egy fix 
) és a rendszer VS mérete közötti kapcsolatot. A szokásos ln D-vel való kapcsolat kihasználásával kapjuk meg a szublineáris skálázást
az eredmény (11) kapcsán valami az, hogy a (11) határértékben a megkötés triviálissá válik 
. Ezt úgy oldhatjuk meg, hogy a kezdeti pS állapotot a K legnagyobb sajátértékeket tartalmazó altérre csonkoljuk, és optimalizáljuk a kapott kötést a 
függvényeként k. Ez a csonkolási módszer lehetővé teszi az összes eredményünk kiterjesztését végtelen dimenziós rendszerekre (d=++).