az eloszlási függvények nem más, mint a valószínűségi sűrűségfüggvények, amelyeket annak a valószínűségnek a leírására használnak, amellyel egy adott részecske elfoglalhat egy adott energiaszintet. Amikor Fermi-Dirac eloszlási funkcióról beszélünk, különösen érdekli, hogy ismerjük-e azt az esélyt, amellyel fermiont találhatunk egy atom adott energiaállapotában (erről további információ található az “atomenergia-állapotok”cikkben). Itt fermionok alatt egy atom elektronjait értjük, amelyek azok a részecskék, amelyek a Pauli kizárási elvhez kötődnek.
A Fermi Dirac eloszlási funkció szükségessége
olyan területeken, mint az elektronika, az egyik legfontosabb tényező az anyagok vezetőképessége. Az anyagnak ez a jellemzője az elektronok számát eredményezi, amelyek az anyagon belül szabadon vezetik az elektromosságot.
az energiasáv-elmélet szerint (lásd az “energiasávok kristályokban” című cikket további információkért), ezek az elektronok száma, amelyek a figyelembe vett anyag vezetési sávját alkotják. Így aAnnak érdekében, hogy ötletünk legyen a vezetési mechanizmus felett, ismerni kell a hordozók koncentrációját a vezetési sávban.
Fermi Dirac eloszlási kifejezés
matematikailag az elektron megtalálásának valószínűsége az e energiaállapotban a T hőmérsékleten
ahol
a Boltzmann-állandó
T az abszolút hőmérséklet
Ef a Fermi-szint vagy a Fermi energia
most próbáljuk megérteni a Fermi szint jelentését. Ennek eléréséhez tegye a
egyenletet az (1) egyenletbe. Ezzel megkapjuk,
Ez azt jelenti, hogy a Fermi szint az a szint, amelyen az elektron pontosan 50% – ban jelen lesz.
Fermi szint a félvezetőkben
a belső félvezetők azok a tiszta félvezetők, amelyekben nincs szennyeződés. Ennek eredményeként egyenlő esélyük van arra, hogy lyukat találjanak, mint egy elektron. Ez az inturn azt jelenti, hogy a Fermi-szint pontosan a vezetési és a vegyértéksávok között van, amint azt az 1a ábra mutatja.
Ezután vegye figyelembe az n típusú félvezető esetét. Itt arra lehet számítani, hogy több elektron lesz jelen a lyukakhoz képest. Ez azt jelenti, hogy nagyobb esély van egy elektron megtalálására a vezetési sáv közelében, mint egy lyuk megtalálására a vegyértéksávban. Így ezeknek az anyagoknak a Fermi-szintje közelebb helyezkedik el a vezetési sávhoz, amint azt az 1b ábra mutatja.
ugyanezen okok alapján elvárható, hogy a Fermi-szint p-típusú félvezetők esetén jelen legyen a vegyértéksáv közelében (1C ábra). Ez azért van, mert ezeknek az anyagoknak hiányoznak az elektronok, vagyis több lyuk van, ami nagyobb a valószínűsége annak, hogy lyukat találnak a vegyértéksávban, mint egy elektron megtalálása a vezetési sávban.
A hőmérséklet hatása a Fermi-Dirac eloszlási funkcióra
T = 0 K-nál az elektronok alacsony energiával rendelkeznek, így alacsonyabb energiaállapotokat foglalnak el. A megszállt államok közül a legmagasabb energiaállapotot Fermi-szintnek nevezik. Ez az inturn azt jelenti, hogy a Fermi-szint felett fekvő energiaállapotokat nem foglalják el elektronok. Így van egy lépésfüggvényünk, amely meghatározza a Fermi-Dirac eloszlási függvényt, amint azt a 2. ábrán látható fekete görbe mutatja.
a hőmérséklet növekedésével azonban az elektronok egyre több energiát nyernek, ami miatt akár a vezetési sávba is emelkedhetnek. Így magasabb hőmérsékleten nem lehet egyértelműen megkülönböztetni a foglalt és a nem foglalt állapotokat, amint azt a 2. ábrán látható kék és piros görbék jelzik.