a matematikában a gyűrű egy algebrai szerkezet két bináris művelettel, amelyeket általában összeadásnak és szorzásnak neveznek. Ezeket a műveleteket úgy definiáljuk, hogy emulálják és általánosítsák az egész számokat. A gyűrűk további gyakori példái közé tartozik az egyik változó polinomjainak gyűrűje valós együtthatókkal, vagy egy adott dimenzió négyzet alakú mátrixainak gyűrűje.

ahhoz, hogy gyűrűnek minősüljön, az addíciónak kommutatívnak kell lennie, és minden elemnek inverznek kell lennie az addíció alatt: például a 3 additív inverze -3. A szorzás azonban általában nem felel meg ezeknek a tulajdonságoknak. Egy olyan gyűrűt, amelyben a szorzás kommutatív, és az additív azonossági elem (0) kivételével minden elemnek van multiplikatív inverze (reciprok), mezőnek nevezünk: például a racionális számok halmaza. (Az egyetlen gyűrű, amelyben a 0 inverz, csak egy elem triviális gyűrűje.)

egy gyűrűnek véges vagy végtelen számú eleme lehet. Példa egy véges számú elemű gyűrűre , a maradékok halmaza, ha egy egész számot osztunk 5-tel, azaz a {0,1,2,3,4} halmaz olyan műveletekkel, mint a 4 + 4 = 3, mert a 8-nak 3 maradvány van, ha elosztjuk 5-tel. Hasonló gyűrű kialakítható aegyéb pozitív értékeihez.

formális definíció

a gyűrű egy R halmaz, amely két bináris művelettel van felszerelve, amelyeket általában + és · jelölnek, és amelyeket összeadásnak és szorzásnak neveznek, így:

• (R,+) egy abeli csoport
• a szorzás asszociatív
• a bal és a jobb disztributív törvények érvényesek:
  • A·(b + c) = (a·b) + (A·c)
  • (A + B)·C = (A·C) + (B·C)

a gyakorlatban a · szimbólumot általában kihagyják, a szorzást pedig csak egymás mellé helyezéssel jelölik. A műveletek szokásos sorrendjét is feltételezzük, így a + bc az a + (b·c) rövidítése. A disztributív tulajdonságot a bal és a jobb szorzásra külön határozzuk meg, hogy lefedjük azokat az eseteket, amikor a szorzás nem kommutatív, például mátrixgyűrű.

típusú gyűrűk

Unital gyűrű

a gyűrűt, amelyben van egy identitáselem szorzás nevezzük unital gyűrű, egységes gyűrű, vagy egyszerűen gyűrű identitás. Az identitáselemet általában 1 jelöli. Egyes szerzők, nevezetesen Bourbaki, azt követelik, hogy gyűrűiknek identitáselemük legyen, és azonosító álnevek nélküli gyűrűket hívjanak.

kommutatív gyűrű

azt a gyűrűt, amelyben a szorzási művelet kommutatív, kommutatív gyűrűnek nevezzük. Az ilyen kommutatív gyűrűk a tanulmány alapvető tárgya kommutatív algebra, amelyben a gyűrűkről általában azt is feltételezik, hogy egységük van.

Osztógyűrű

További információ: Osztógyűrű.

egy olyan egységgyűrű, amelyben minden nem nulla a elemnek van inverzje, vagyis egy a-1 elem olyan, hogy a−1A = aa−1 = 1, osztógyűrűnek vagy ferde mezőnek nevezzük.

A Gyűrűk Homomorfizmusa

a gyűrű homomorfizmusa egy leképezés egy gyűrűből egy gyűrűhöz tiszteletben tartva a gyűrű műveleteit. Ez azt jelenti, hogy

Ha a gyűrűk egységesek, akkor gyakran feltételezik, hogy a azonosító elemét a .

egy homomorfizmus egy nagyobb halmazt egy kisebb halmazra képes leképezni; például a gyűrű lehet a egész számok, és leképezhető a triviális gyűrűre, amely csak az egyetlen elemet tartalmazza .

Subrings

Ha egy gyűrű, egy részhalmaza a alhalmaznak nevezzük, ha egy gyűrű a – ből örökölt gyűrűműveletek alatt. Látható, hogy ez egyenértékű azzal, hogy a szorzás és kivonás alatt zárva legyen.

Ha a egység, egyes szerzők azt követelik, hogy a alcsoportja tartalmazza a egységet.

ideálok

egy gyűrű kétoldalas ideálja egy alárendelt olyan, hogy bármely elemhez a és minden elem a van, hogy és elemei . A gyűrű ideáljának fogalma megfelel a csoport normál alcsoportjainak fogalmának. Így bevezethetünk egy ekvivalencia relációt kijelentve, hogy a két eleme ekvivalens, ha különbségük a eleme. Az ekvivalencia osztályok halmazát ezután jelöli, és egy gyűrű az indukált műveletekkel.

Ha egy gyűrűs homomorfizmus, akkor a H kernel, amelyet 0 inverz képeként definiálunk, , a ideálja. Ezzel szemben, ha ideálja , akkor van egy természetes gyűrű homomorfizmus, a hányados homomorfizmus, a a olyan, hogy az összes elem 0-ra leképezett halmaza.

példák

• a triviális gyűrű {0} csak egy elemből áll, amely mind additív, mind multiplikatív identitásként szolgál.
• az egész számok egy gyűrűt alkotnak a szokásos módon definiált összeadással és szorzással. Ez egy kommutatív gyűrű.
  • a racionális, valós és komplex számok mindegyike kommutatív gyűrűket alkot.
• a polinomok halmaza kommutatív gyűrűt képez.
• a négyzet mátrixok halmaza egy gyűrűt alkot a komponensenkénti összeadás és a mátrix szorzás alatt. Ez a gyűrű nem kommutatív, ha n> 1.
• az intervallumon definiált összes folytonos valós értékű függvény halmaza egy gyűrűt képez a pontonkénti összeadás és szorzás alatt.

új gyűrűk építése adott gyűrűkből

• minden gyűrűhöz meghatározhatjuk az ellenkező gyűrűt a szorzás megfordításával . Mivel a szorzás a , a szorzás a meghatározása . A – től – ig terjedő”identitástérkép”, amely minden elemet önmagához leképez, akkor és csak akkor izomorfizmus, ha kommutatív. Ha azonban a nem kommutatív, akkor is lehetséges, hogy a és a egy másik térkép segítségével izomorf legyen. Például, ha a gyűrűje valós számok mátrixai, akkor az átültetési térkép a – tól – ig, az egyes mátrixok transzponálásához leképezve, egy izomorfizmus.
• a gyűrű középpontja a elemeinek halmaza, amelyek a ; azaz a elemeinek minden elemével ingáznak a központ if minden . A központ a alcíme. Azt mondjuk, hogy a alcsoport központi, ha a középpontjának alcsoportja.
• két R és S gyűrű közvetlen szorzata a derékszögű termék R, S, A

(r1, s1) + (r2, s2) = (r1+r2, s1+s2) és (r1, s1)(r2, s2) = (r1r2, s1s2) műveletekkel együtt. Ezekkel a műveletekkel R. S. Egy Gyűrű.

• általánosabban, bármely J indexkészletre és gyűrűgyűjteményre , a közvetlen termék és a közvetlen összeg létezik.
  • a közvetlen termék az “infinite-tuples” a komponensenkénti összeadás és szorzás mint műveletek gyűjteménye.
  • a gyűrűgyűjtemény közvetlen összege az összes végtelen sorból álló közvetlen termék alösszege azzal a tulajdonsággal, hogy RJ=0 minden, de végesen sok j esetében. különösen, ha J véges, akkor a közvetlen összeg és a közvetlen termék izomorf, de általában egészen más tulajdonságokkal rendelkeznek.
• mivel bármely gyűrű mind a bal, mind a jobb modul önmagában, lehetséges r tenzor szorzatának felépítése egy gyűrű felett S egy másik gyűrűvel T hogy egy másik gyűrűt kapjunk, feltéve, hogy S az R és T központi alcsoportja.

történelem

A Gyűrűk tanulmányozása a polinom gyűrűk és algebrai számmezők tanulmányozásából származik a tizenkilencedik század második felében, többek között Richard Dedekind. Maga a gyűrű kifejezést azonban David Hilbert találta ki 1897-ben.

Lásd még

• a gyűrűelmélet szószedete
• Algebra egy kommutatív gyűrű felett
• nem asszociatív gyűrű

• A gyűrűk speciális típusai:
  • kommutatív gyűrű
  • Osztógyűrű
  • mező
  • integrált tartomány (ID)
  • fő ideális tartomány (PID)
  • egyedi faktorizációs tartomány (UFD)
Gyűrűk konstrukciói
• Csoportgyűrű
• Mátrixgyűrű
• Polinomgyűrű
• gyűrűk hozzáadott szerkezettel
  • differenciálgyűrű
  • euklideszi tartomány (ed)