を介してS(E)=ln Ω(e)に関連する（マイクロ標準的な）熱容量C(E)の観点から表現すると、より直感的になります。 Ω(E)が指数関数的またはより速く成長すると、C(E)は無限大または負であり、これは非物理的であるとみなされます。 Ω(E)が指数部であれば、C(E)は正である。 そして、Ω(E)が速くなるほど、C(E)は大きくなります。 無限次元のヒルベルト空間を持つ貯水池だけが、すべてのEに対してS(E)を成長させ続けることができます。 しかし，この結果は一般的であり，有限次元の場合にも適用できる。

ヒルベルト空間次元dを持つ量子系と、基底状態縮退g、基底状態Δより上のギャップ、最大エネルギー Jを持つハミルトニアンHSを冷却したいとします。

基本的な仮定

セットアップをより具体的に指定し、採用する仮定（第一原則から来るもの）を収集しましょう。

(i)プロセスの開始は、システムがまだ作業貯蔵システム（ウェイト）やリザーバと接触していないときであると考え、最初はグローバル状態がpS≤pB≤pWであると考えます。 他の最初の開始シナリオは興味深いかもしれませんが、その検討は現在の論文の範囲を超えています。（ii）我々は、可逆的（ユニタリ）であり、全エネルギーを保存するシステム、浴および重量上の最も一般的な量子変換を可能にする。 これは、任意の相互作用項を可能にするパラダイムと比較して制限的に見えるかもしれませんが、refの付録Hに示すように、任意の相互作用をモデル 27とref. 仕事システムのエネルギーが変動するようにすることによって25、単に。 多くのパラダイムでは、これはすべての不足しているエネルギーが仕事としてカウントされると仮定することによって暗黙的に強制されます。 この状態を緩和するパラダイムは、本質的に他のシステムに伝達されるエネルギーを無視しているか、これらの他のシステムを古典的なものと 本質的に、私達はさまざまな単位か相互作用の言葉が単に移すか、または補うために重量からのエネルギーを取る間、私達が相互作用と関連付けられるすべ したがって、冷却プロセスは、

ここで、Uは

(iii)変換内で消費される作業は重みから取られます。 究極の制限に興味があるので、連続した非有界スペクトルを持つハミルトニアンを持つ理想化された重みを考えます。 他のどの仕事システムもこのone30と模倣することができる。 つまり、

wmaxは一般的に平均作業W W.よりもはるかに大きくなります。 有限の時間で行われる物理的に合理的なプロセスでは、それが有限であることを期待しています。

(iv)参照のように、また必要とします。 図29に示すように、冷却変換は重量上の平行移動とともに通勤する。 言い換えれば、熱機械の機能は、重量のエネルギーの起源とは無関係であるため、重量からどれくらいの作業が行われるかに依存するだけである。 これは、仕事が何であるかを定義することとして理解することができます—それは単に我々がいくつかの外部システム上で誘発することができ これにより、ウェイトは作業を配信または保存するためのメカニズムに過ぎず、例えばエントロピーダンプではないことも保証されます(補足説明の結果1を参照)。 それはまた冷却プロセスが次の操業かプロセスで使用することができる状態で重量を常に残すことを保障する。 したがって、

ここで、エルミート演算子Πはすべてのとして機能します。 これを超えて、重みpWの初期状態を任意にすることができます。 特に、それは凝集性であり得、これは利点を提供する27。

(v)浴は体積Vを持ち、与えられた逆温度で熱状態にあると仮定します、zbは浴の分配関数です。 浴の自由エネルギー密度（正準状態pB）をで表します。(vi)マイクロ正準熱容量(2)はすべてのエネルギー Eに対して負のC(E)ではありません。 また，Ｓ（Ｅ）が直線的またはより速く成長すると，有限時間での完全冷却が可能であることを補足的方法で証明した。

これらの仮定により、システムを絶対ゼロに完全に冷却するには、これら二つのリソースの少なくとも一つ、浴Vの体積、または消費された作業wmaxのワーストケースの値が無限でなければならないことを示している。 また、システムの達成可能な最低温度をVとwmaxの観点からバインドしました。

第一原理からの達成不可能性の定量化

仮定(i)–(vi)では、初期状態と最終状態が熱的である場合と、任意の初期状態と最終状態を許容する場合の二つのケースを考えます。 最初の結果は前者に関係し、注入された最悪の作業がwmaxであるプロセスでは、システムの最終温度は

大きなwmax、V制限では

逆温度β0におけるマイクロカノニカル自由エネルギー密度は、

によって定義されます。e0は方程式S'(E0)=β0の解です。 浴Vの体積が大きい場合、通常はfmic(β0)=fcan(β0)であり、これらはVとは独立していることを思い出してください。

投資された資源に関して式(7)の挙動を分析してみましょう。 Wmaxが成長するにつれて、β0が減少し、fmicが増加し、最終温度が低くなります。 式(7)のすべての体積依存性は明示的であるため、より大きなVはより低い最終温度に変換されます。以下では、エントロピーの物理的に関連するファミリの境界を提供します。

ここで、α>を設定すると、ボリュームVのD次元ボックス内の電磁放射（または任意の無質量ボソン場） 一般的には、これよりもEでより速く成長する状態密度を持つ他の貯水池はなく、確かに≤1を持つものはないと考えられている。 後者は、前述した負の熱容量を有する浴に対応し、有限wmaxで冷却することができる。 補足の議論では、bound(7)をエントロピー(9)に適応させ、

を先頭の項まで取得します。 ここで、Vとwmaxへのすべての依存性は明示的です。 特に、Vとwmaxの値が大きいほど、より低い温度が可能になることが観察されます。 また、πの値が大きいほど、より速いエントロピー成長になり、より低い温度を可能にする。

上記のように、我々が考慮する冷却プロセスは非常に一般的です。 特に、最終的なハミルトニアンが最初のハミルトニアンと同一である限り、プロセス中にシステムのハミルトニアンを変更することができる。 これは、ハミルトニアンHS→0を再スケーリングすることからなる無益な冷却法を除外する。 しかし，結論で議論するように，最終的なハミルトニアンが最初のハミルトニアンと異なる場合には，この境界を容易に適用することができる。ここで、初期状態または最終状態のどちらも熱である必要はなく、代わりに任意である可能性がある、より一般的なケースを考えてみましょう。

すでによく知られているように14,15,17,18,30では、絶対零度の達成不可能性は、目標状態が低エネルギーを有するという事実の結果ではなく、むしろエントロピーが低いという事実の結果である。 したがって、これは、任意の純粋な状態、またはより一般的には、ランクgが初期状態よりも低い任意の状態の達成不可能性に直接変換されます。 プロセスのこれらのタイプは、一般的に情報消去、または精製として知られています。 ここで、任意の初期状態pSを取り、それをgランクプロジェクタPにサポートして最終状態 明確にするために、系が自明なハミルトニアンHS=0を持つと仮定し（一般的な場合は補足的な議論で扱われる）、θ minとθ maxによってpSの最小および最大の固有値を表す。 補足的な方法では、任意のプロセスpS→にエラーがあることを示しています

上記の結果と、補足的な議論で提示されたより一般的な他のものは、システムを冷却する能力を定量化する（またはより一般的には、ランクを下げた状態にする）。お風呂Vの、および作業の最悪の場合の変動はwmaxを消費しました。 したがって、彼らはいくつかの有限の資源を与えられた冷却に束縛を置くという意味で、第三の法則の一形態を構成します。 ここでは、これをシステムを冷却するのにかかる時間に変換したいと考えており、熱機械の概念を考慮し、物理的に合理的な2つの仮定を行うことに

Thermal machines

計算複雑さの分野は、コンピュータをチューリングマシンとみなし、計算時間が問題のサイズにどのようにスケールするかを探るというチャーチ-チューリング論文に基づいていることを思い出してみましょう。 コンピュータのヘッドは、メモリテープ全体で高速または低速に移動する可能性があります; 情報は、ビット単位またはより高い次元のメモリ単位で記憶されてもよく、ヘッドは、異なる速度でこのメモリに書き込むことができる。 自然は、コンピュータのメモリユニットの寸法やそれが書き込まれる速度に基本的な制限を課すようには見えません。 しかし、コンピュータの物理的に合理的な実現のために、そしてこれらの操作の速度が何であれ、それは固定され、有限であり、問題の大きさで時間のスケー そして重要なのは、定数ではなく、入力（多項式または指数関数）による時間の全体的なスケーリングです。 同様に、ここでは固定された熱機械を検討し、有限時間内に有限量のエネルギーしか熱浴に伝達できないと仮定します。 同様に、有限の時間では、無限のサイズの熱浴を探索することはできません。 そうでなければした熱機械は物理的に不合理である。

Vとwmaxの両方を時間tの単調関数として考えることができます。 任意の特定の熱機械について、これらの関数を式（10）に代入することによって、有限の境界をに置くことができます。 特に、相互作用が局所ハミルトニアンのダイナミクスによって媒介されると仮定すると、体積Vと空間次元dの浴とのシステムの相互作用には時間がかかる