数学では、環は二つの二項演算を持つ代数構造であり、一般に加算と乗算と呼ばれます。 これらの演算は、整数をエミュレートして一般化するように定義されています。 環の他の一般的な例としては、実数係数を持つ1つの変数の多項式環、または与えられた次元の正方行列の環が挙げられる。環としての資格を得るためには、加法は可換でなければならず、各元は加法の下で逆数を持たなければならない：例えば、3の加法逆数は-3である。 しかし、乗算は一般にこれらの特性を満たさない。 乗法が可換であり、加法単位元(0)以外のすべての元が乗法逆数(逆数)を持つ環は体(field)と呼ばれ、例えば有理数の集合である。 （0が逆元を持つ唯一の環は、1つの元のみの自明な環である。)

環は有限または無限の数の元を持つことができます。 有限個の元を持つ環の例はの他の正の値に対して形成することができます。

形式的定義

環は二つの二項演算を備えた集合Rであり、一般に+と·で表され、それぞれ加算と乗算と呼ばれます。

• (R,+)はアーベル群
• 乗法は結合的
• 左と右の分配法則が成立します。
  • a·(b+c)=(a·b)+(a·c)
  • a·(b+c)=(a·b)+(a·c)
  • a·(b+c)=(a*b)+(a*c)
  • a*(b+c)=(a*b)+(a*c)
  • a*(b+c)=(a*b)+(a*c)
  • li>(a+b)*C=(a*c)+(b*c)

実際には、記号*は通常省略され、乗算は並置によって示されます。 通常の操作の順序も仮定されているため、a+bcはa+(b·c)の略語です。 分配性は、行列の環のように、乗算が可換でない場合をカバーするために、左乗算と右乗算に対して別々に指定されます。

環の種類

単位環

乗算の単位元がある環は、単位環、単位環、または単に単位元を持つ環と呼ばれます。 単位元は一般に1と表記される。 いくつかの著者、特にBourbakiは、それらの環が単位元を持つべきであることを要求し、単位元擬似なしの環を呼び出す。

可換環

乗法演算が可換である環を可換環と呼ぶ。 そのような可換環は可換代数の研究の基本的な対象であり、その中で環は一般に単位を持つと仮定される。

Division ring

詳細については、Division ringを参照してください。

すべての非零元aが逆元を持つ単位環、すなわちa-1a=aa−1=1となる元a−1は、除算環またはスキュー体と呼ばれる。

環の準同型

環準同型は、環環への写像です。 つまり、

環が単位的である場合、の恒等要素にマップすると仮定されることが多い。。例えば、環のみを含む自明な環に写像することができる。

サブリング

を閉じる必要があることと同じであることがわかります。

の単位を含める必要があp>

イデアル

環の両側イデアルとして定義されるhの核はであるようなは、で0にマップされたすべての要素のセットです。

例

• 自明な環{0}は一つの元だけで構成され、加法単位元と乗法単位元の両方として機能します。
• 整数は、通常のように加算と乗算が定義された環を形成します。 これは可換環である。
  • 有理数、実数、複素数はそれぞれ可換環を形成する。
• 多項式の集合は可換環を形成する。
• 正方形のセット行列は、成分ごとの加算と行列の乗算の下で環を形成します。 この環はn>1のとき可換ではない。
• 区間上で定義されたすべての連続実数値関数の集合は、点ごとの加算と乗算の下で環を形成します。

与えられたものから新しい環を構築する

• すべての環についてへの転置写像は、各行列をその転置に写像する同型である。
• リングの中心すべてのの部分文字列が中心であると言います。
• 二つの環RとSの直積は、(r1,s1)+(r2,s2)=(r1+r2,s1+s2)および(r1,s1)(r2,s2)=(R1r2,s1s2)とともにデカルト積R×sである。

(r1,s1)+(R2,s2)=(R1r2,s1s2)である。 これらの作用素によりR×sは環である。

• より一般的には、任意の添字集合Jと環の集合に対して、直積と直和が存在する。
  • 直接積は、コンポーネント単位の加算と乗算を演算として持つ”無限タプル”のコレクションです。
  • 環の集合の直和からなる直積の部分環であり、有限個のjを除くすべてのjに対してrj=0という性質を持つ。
• 任意の環はそれ自身の上の左加群と右加群の両方であるので、SがRとTの中心部分環であれば、別の環を得るために環S上のRのテンソル積を構成することが可能である。

歴史

環の研究は、19世紀後半の多項式環と代数体の研究に始まり、リチャード-デデキントによるものである。 しかし、リングという用語自体は、1897年にDavid Hilbertによって造語されました。

も参照してください

• 環論の用語集
• 可換環上の代数
• 非結合環
• 特殊な型の環:
  • 可換環
  • 除算環
  • 体
  • 積分ドメイン（ID）
  • 主イデアルドメイン（PID）
  • 一意分解ドメイン（UFD）
環の構成
• 群環
• 行列環
• 多項式環