Si una parte superior se fija en una inclinación sobre una superficie horizontal y se gira rápidamente, su eje de rotación comienza a inclinarse sobre la vertical. Después de un corto intervalo, la parte superior se asienta en un movimiento en el que cada punto de su eje de rotación sigue un recorrido circular. La fuerza de gravedad vertical produce un par horizontal τ alrededor del punto de contacto con la superficie; la parte superior gira en la dirección de este par con una velocidad angular Ω tal que en cualquier momento

τ = Ω × L , {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {\Omega } \times \mathbf {L} ,}

donde L es el momento angular instantáneo de la parte superior.

Inicialmente, sin embargo, no hay precesión, y la parte superior cae directamente hacia abajo. Esto da lugar a un desequilibrio en los pares que inicia la precesión. Al caer, la parte superior sobrepasa el nivel en el que precedería constantemente y luego oscila alrededor de este nivel. Esta oscilación se llama nutación. Si el movimiento está amortiguado, las oscilaciones se apagarán hasta que el movimiento sea una precesión constante.

La física de la nutación en tapas y giroscopios se puede explorar utilizando el modelo de una tapa simétrica pesada con su punta fija. (Una parte superior simétrica es una con simetría rotacional, o más generalmente una en la que dos de los tres momentos principales de inercia son iguales.) Inicialmente, se ignora el efecto de la fricción. El movimiento de la parte superior se puede describir mediante tres ángulos de Euler: el ángulo de inclinación θ entre el eje de simetría de la parte superior y la vertical; el acimut φ de la parte superior sobre la vertical; y el ángulo de rotación ψ de la parte superior sobre su propio eje. Por lo tanto, la precesión es el cambio en φ y la nutación es el cambio en θ.

Si la parte superior tiene masa M y su centro de masa está a una distancia l del punto de pivote, su potencial gravitacional relativo al plano del soporte es

V = M g l cos ⁡ ( θ ) . {\displaystyle V=Mgl\cos (\theta).}

En un sistema de coordenadas donde el eje z es el eje de simetría, la parte superior tiene velocidades angulares ω1, ω2, ω3 y momentos de inercia I1, I2, I3 sobre los ejes x, y y z. Dado que estamos tomando una parte superior simétrica, tenemos I1 = I2. La energía cinética es

r = 1 2 I 1 ( ω 1 2 + ω 2 2 ) + 1 2 I 3 ω 3 2 . {\displaystyle E_{\text{r}}={\frac {1}{2}}I_{1}\left(\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2}\derecho)+{\frac {1}{2}}I_{3}\omega _{3}^{2}.}

En términos de los ángulos de Euler, esto es

r = 1 2 I 1 ( θ 2 + ϕ 2 sin 2 ⁡ ( θ ) ) + 1 2 I 3 ( ψ + ϕ cos ⁡ ( θ ) ) 2 . {\displaystyle E_{\text{r}}={\frac {1}{2}}I_{1}\left({\dot {\theta }}^{2}+{\dot {\phi }}^{2}\sin ^{2}(\theta )\derecho)+{\frac {1}{2}}I_{3}\left({\dot {\psi }}+{\dot {\phi }}\cos(\theta )\derecho)^{2}.}

Si las ecuaciones de Euler–Lagrange se resuelven para este sistema, se encuentra que el movimiento depende de dos constantes a y b (cada una relacionada con una constante de movimiento). La velocidad de precesión está relacionada con la inclinación por

ϕ = b − a cos ⁡ ( θ ) sin 2 ⁡ ( θ ) . {\displaystyle {\dot {\phi }}={\frac {b-a\cos(\theta )}{\sin ^{2}(\theta )}}.}

La inclinación está determinada por una ecuación diferencial para u = cos(θ) de la forma

u 2 = f ( u ) {\displaystyle {\dot {u}}^{2}=f(u)}

donde f es un polinomio cúbico que depende de los parámetros a y b, así como de las constantes que están relacionadas con la energía y el par gravitacional. Las raíces de f son cosenos de los ángulos en los que la tasa de cambio de θ es cero. Uno de ellos no está relacionado con un ángulo físico; los otros dos determinan los límites superior e inferior del ángulo de inclinación, entre los que oscila el giroscopio.