instalação Física
o Nosso objetivo é proporcionar o máximo quantitativa limites aplicáveis para qualquer refrigeração procedimento—ou seja, queremos encontrar um limite inferior para a temperatura que um sistema pode alcançar, depois de qualquer processo que utiliza determinados recursos ou de duração determinado tempo t. Portanto, devemos permitir a transformação quântica mais geral, isto é, aqueles que respeitam a conservação total de energia e são microscopicamente reversíveis (unitário). Esta configuração geral inclui protocolos termodinamicamente irreversíveis e também protocolos irrealistas onde o controle total dos graus microscópicos de liberdade do banho é necessário. Surpreendentemente, vamos descobrir aqui, como foi encontrado para o caso da segunda lei25,27,29,30, que ter um grau de controle tão irrealista não parece dar uma vantagem sobre ter um controle muito bruto.
mostraremos que a densidade de estados do reservatório que auxilia o processo de resfriamento tem um impacto importante sobre a rapidez com que um sistema pode ser resfriado. (A densidade dos Estados Ω (e) é o número de estados com Energia E.) vemos que quanto mais rápido Ω(E) cresce, menor a temperatura que pode ser alcançada com recursos fixos ou em uma quantidade fixa de tempo. Ainda mais: Se Ω(e) cresce exponencialmente ou mais rápido, então resfriamento para zero absoluto em tempo finito é em princípio possível, permitindo uma violação da terceira lei. No entanto, veremos que exponencial ou super-exponencial Ω (e) deve ser considerado como não físico. Isto torna-se mais intuitivo quando expresso em termos da capacidade térmica (micro-canónica) C(e), relacionada com S(e)=Ln Ω(e) via
onde os primos representam diferenciais. Se Ω(e) cresce exponencialmente ou mais rápido, então C (e) é infinito ou negativo, o que é considerado como não físico. Se Ω (E) é sub-exponencial, então C(e) é positivo. E, quanto mais rápido Ω (E) cresce, maior é C(E). Somente um reservatório com espaço de Hilbert dimensional infinito pode manter S (e) crescendo para todos E. e, na verdade, reservatórios de dimensão infinita são os que permitem um arrefecimento mais rápido. No entanto, os nossos resultados são gerais e também se aplicam ao caso de dimensão finita.
suponha que queremos arrefecer um sistema quântico com a dimensão D do espaço de Hilbert, E HS Hamiltonianos com degeneração do estado terrestre g, gap acima do estado terrestre Δ e maior energia J. quais são os recursos necessários para fazê-lo?
pressupostos Fundamentais
nos Permitem especificar a configuração mais concreta e recolher os pressupostos que irá adotar (aqueles que vêm a partir de primeiros princípios):
(eu) Podemos considerar o início do processo, quando o sistema ainda não foi colocada em contato com o trabalho de armazenamento do sistema (o peso), nem o reservatório, de modo que, inicialmente, o estado global é pS⊗pB⊗mulheres grávidas. Embora outro cenário inicial possa ser interessante, sua consideração está além do escopo do documento atual.
(ii) permitimos a transformação quântica mais geral no sistema, banho e peso, que é reversível (unitário) e preserva a energia total. Isto pode parecer restritivo em comparação com os paradigmas que permitem Termos de interação arbitrária, porém isso não é o caso, já que interações arbitrárias podem ser incorporadas ao modelo como mostrado no Apêndice H do ref. 27 e na ref. 25, simplesmente permitindo que a energia do sistema de trabalho flutue. Em muitos paradigmas, isso é implicitamente aplicado assumindo que toda a energia em falta é considerada como trabalho. Paradigmas que relaxam esta condição estão essencialmente ignorando a energia transferida para outros sistemas, ou tratar esses outros sistemas como clássicos. Essencialmente, impomos a conservação de energia para garantir que levamos devidamente em conta todos os custos energéticos associados à interação, enquanto os vários unitários ou termos de interação simplesmente transferem ou tiram energia do peso para compensar. O processo de resfriamento é, portanto, qualquer transformação do formulário
, onde U é um global e unitário satisfazer
(iii) O trabalho que é consumida na transformação é retirado do peso. Uma vez que estamos interessados em limitações finais, consideramos um peso idealizado com Hamiltoniano tendo espectro contínuo e ilimitado . Qualquer outro sistema de trabalho pode ser simulado com este one30. Denotamos por wmax o pior valor do trabalho consumido, ou seja,
wmax será geralmente muito maior do que o trabalho médio 〈W〉. Em qualquer processo fisicamente razoável realizado em tempo finito, espera-se que seja finito.
(iv) também precisamos, como em ref. 29, que a transformação de resfriamento comuta com as traduções sobre o peso. Em outras palavras, o funcionamento da máquina térmica é independente da origem das energias do peso, de modo que depende apenas de quanto trabalho é entregue a partir do peso. Isto pode ser entendido como definindo o que é o trabalho-é meramente a mudança de energia que podemos induzir em algum sistema externo. Isto também garante que o peso é apenas um mecanismo para entrega ou armazenamento de trabalho, e não é, por exemplo, um dumpy entropy (ver Resultado 1 na discussão suplementar). Ele também garante que o processo de resfriamento sempre deixa o peso em um estado que pode ser usado na próxima corrida ou no processo. Assim,
onde Hermitiana operador Π age como 
para todos 
. Além disso, permitimos que o estado inicial do peso pW seja arbitrário. Em particular, pode ser coerente, o que proporciona uma vantagem 27.
(v) assumimos que o banho tem volume V e é no térmica estado 
dado inverso da temperatura 
, com ZB a função de partição do banho. Nós denotamos a densidade de energia livre do banho (no estado canônico pB) por 
.a capacidade térmica micro-canónica (2) não é negativa C(e) para todas as energias E. Isto implica que S(e) é sublinear em E. Nós também provamos nos métodos suplementares que se S(e) cresce linearmente ou mais rápido, então o resfriamento perfeito em tempo finito é possível.com estes pressupostos, mostramos que para arrefecer perfeitamente o sistema a zero absoluto, pelo menos um destes dois recursos, o volume do banho V, ou o pior valor do trabalho consumido wmax tem de ser infinito. Além disso, ligamos a temperatura mais baixa possível do sistema 
em termos de V e wmax.com suposições (I) – (vi), consideramos dois casos, um onde o estado inicial e final são térmicos, e um onde permitimos Estados arbitrários iniciais e finais. Nosso primeiro resultado diz respeito à antiga, e afirma que, em qualquer processo em que o pior trabalho injetado é wmax, a temperatura final do sistema não pode ser menor que
o grande wmax,V limite. A densidade micro-canónica de energia livre à temperatura inversa β0 é definida por
onde E0 é a solução da equação S'(E0)=β0. Lembre-se que, quando o volume do banho V é grande, ele é geralmente o caso que fmic(β0)=fcan(β0) e estes são independentes do V.
Vamos analisar o comportamento da equação (7), em termos de recursos investidos. À medida que o wmax cresce, β0 diminui e o fmic aumenta, produzindo uma menor temperatura final 
. Uma vez que toda a dependência do volume na equação (7) é explícita, portanto, um V maior também se traduz em uma temperatura final mais baixa.
No que se segue, nós fornecemos um limite para o fisicamente relevantes da família de entropies
onde α>0 e ν∈[1/2, 1) são duas constantes. Tal entropia é extensa, e se definirmos 
ele descreve radiação eletromagnética (ou qualquer campo bosônico sem massa) em uma caixa d-dimensional do volume V. Geralmente acredita-se que não há outro reservatório que tem uma densidade de Estados crescendo mais rápido com e do que este36, e certamente nenhum que tem ν≥1. O mais tarde, corresponde ao banho com capacidade de calor negativo discutido anteriormente, o que permite resfriamento com wmax finito. Na discussão suplementar, adaptamos o bound (7) à entropia (9), obtendo
até termos principais. Agora, toda a dependência do V e do wmax é explícita. Em particular, observamos que valores maiores de V e wmax permitem temperaturas mais baixas. E também, valores maiores de ν, que equivalem a um crescimento mais rápido da entropia, permitindo temperaturas mais baixas.como mencionado acima, os processos de arrefecimento que consideramos são muito gerais. In particular, they can alter the Hamiltonian of the system during the process, as long as the final Hamiltonian is identical to the initial one HS. This excludes the uninteresting cooling method consisting of re-scaling the Hamiltonian HS→0. No entanto, nossos limites podem ser facilmente adaptados para o processo onde o Hamiltoniano final difere do Inicial, como vamos discutir na conclusão.
vamos considerar agora o caso mais geral, onde nem o estado inicial ou final precisa ser térmico, mas pode ser arbitrário. Como já é bem conhecido 14, 15,17,18, 30, a falta de acessibilidade do zero absoluto não é uma consequência do fato de que o estado alvo tem baixa energia, mas que tem baixa entropia. Portanto, isso se traduz diretamente para a inviabilidade de qualquer estado puro, ou mais geralmente, qualquer estado com posto g inferior ao estado inicial. Este tipo de processos são geralmente conhecidos como apagamento de informação, ou purificação. Agora vamos analisar as limitações de qualquer processo que leva de um estado inicial arbitrário pS e transforma-lo em um estado final 
com suporte para o g-classificação projetor P. Nós quantificar a imprecisão da transformação de erro 
. Por uma questão de clareza, assumimos que o sistema tem Hamiltoniano trivial HS=0 (o caso geral é tratado na discussão suplementar), e denotamos por λmin e λmax os menores e maiores autovalores de pS. No Complementar de Métodos, vamos mostrar que qualquer processo de pS→
erro
Os resultados apresentados acima, bem como outros de mais generalidade apresentados na Discussão Suplementar, quantificar a nossa capacidade para esfriar um sistema (ou, mais geralmente, colocá-lo em uma redução da classificação do estado), em termos de dois recursos: o volume do banho V, e o pior de flutuação do trabalho consumido wmax. Constituem, portanto, uma forma de Terceira Lei, no sentido em que colocam um limite no arrefecimento, tendo em conta alguns recursos finitos. Queremos agora traduzir isto para o tempo necessário para arrefecer o sistema, e vamos fazê-lo, considerando a noção de uma máquina térmica e fazendo duas suposições fisicamente razoáveis.
Máquinas Térmicas
vamos lembrar que o campo da complexidade computacional é baseado na tese de Church-Turing—a ideia de que consideramos um computador como uma máquina de Turing, e então explorar como o tempo de computação escalas com o tamanho do problema. Diferentes máquinas podem executar de forma diferente—a cabeça do computador pode mover-se mais rápido ou mais lento através da fita de memória; a informação pode ser armazenada em bits ou em unidades de memória dimensionais mais altas, e a cabeça pode escrever para essa memória a diferentes velocidades. A natureza não parece impor um limite fundamental à dimensão de uma unidade de memória de computador ou à velocidade a que pode ser escrita. No entanto, para qualquer realização fisicamente razoável de um computador, e qualquer que seja a velocidade dessas operações, ele é fixo e finito, e só então nós examinamos a escala do tempo com o tamanho do problema. E o que é importante é a escala geral do tempo com entrada (polinomial ou exponencial), ao invés de quaisquer constantes. Da mesma forma aqui, vamos considerar uma máquina térmica fixa, e vamos assumir que ela só pode transferir uma quantidade finita de energia para o banho de calor em tempo finito. Da mesma forma, em um tempo finito, não pode explorar um banho de calor de tamanho infinito. Uma máquina térmica que de outra forma não seria fisicamente razoável.
Podemos considerar V e wmax como funções monotônicas do tempo T. quanto mais tempo nossa máquina térmica funciona, mais trabalho ela pode bombear para o banho de calor, e quanto maior o volume do banho que ela pode explorar. Para qualquer máquina térmica particular, pode-se colocar um limite finito em 
substituindo estas funções na equação (10). Em particular, se partirmos do princípio de que a interação é mediada pela dinâmica de um local Hamiltoniano, em seguida, a interação de um sistema com uma banheira de volume V e espacial dimensão d vai levar tempo
, onde v é proporcional à velocidade do som no banho (ou Lieb–Robinson velocity37), e V1/D a dimensão linear do banho. A implementação de unidades gerais leva muito mais tempo do que a equação (12), mas isso serve como um limite inferior. Uma vez que estamos interessados na escala da temperatura com o tempo, e não com fatores constantes, não precisamos nos preocupar com o fato de que Máquinas Térmicas práticas operam em velocidades muito mais lentas. Naturalmente, assim como com computadores reais, máquinas térmicas geralmente têm velocidades bem abaixo do limite Lieb–Robinson. Note que, apesar de V ser finito, o espaço de Hilbert do banho pode ser infinito-dimensional. Se alguém quisesse ter um limite que fosse independente da máquina térmica, e independente sobre a velocidade do som que é uma propriedade do banho, então poderia sempre tomar v para ser a velocidade da luz. Embora tal obrigação não fosse praticamente relevante, seria fundamental. Isto é semelhante aos limites da computação, onde para obter um limite fundamental, deve-se tomar a velocidade da porta para ser infinita (uma vez que não há nenhum limite fundamental sobre isso) e converter o número de bits usados no processo para o tempo, multiplicando-se pela velocidade da luz.
uma relação entre o trabalho pior wmax e o tempo t é obtido notando o seguinte. In finite t it is not possible to inject into the bath an infinite amount of work. Por simplicidade, vamos assumir uma relação linear
onde a constante u dependerá das interações entre o sistema e o peso. No entanto, ressalta-se que, se uma determinada configuração física é modelada incorretamente pelas relações (12) e (13), Então qualquer outro limite t≥h1(wmax) e t≥H2(V) também é bom. Enquanto h1 e h2 forem funções estritamente monotônicas, o princípio da inviabilidade prevalecerá.
Limitações utilizando máquinas térmicas
Para qualquer máquina térmica, agora podemos derivar limitações na temperatura que pode ser alcançada em um determinado tempo t. Desde que o sistema físico com a maior entropia de crescimento que se tem conhecimento é a radiação, vale a pena dedicar o próximo parágrafo para o caso de 
na equação (9), pois este deve fornecer uma ligação com ampla validade. Usando as relações particulares (12) e (13), e substituindo-as na equação (10), para o caso da radiação, obtemos
no limite t grande. Nosso limite (14) pode ser diretamente adaptado para qualquer outra relação t≥h1(wmax) e t≥h2(V). É interessante observar na equação (14) a relação entre o tempo característico (quanto tempo leva para arrefecer até um id fixo
) e o tamanho do sistema VS. Explorando a usual relação ln d∝VS obtemos a escala sublinear
Algo a respeito sobre resultado (11) é que, no limite λmin→0 o dependente torna-se trivial 
. Isso pode ser resolvido truncando-se o estado inicial do pS para o subespaço contendo o k maiores autovalores e otimização resultante vinculado por 
como uma função de k. Além disso, este método de truncamento permite estender a todos os nossos resultados para o infinito sistemas bidimensionais (d=∞).