Em matemática, um anel é uma estrutura algébrica com duas operações binárias, comumente chamado de adição e multiplicação. Estas operações são definidas de modo a emular e generalizar os inteiros. Outros exemplos comuns de anéis incluem o anel de polinômios de uma variável com coeficientes reais, ou um anel de matrizes quadradas de uma dada dimensão.

para se qualificar como um anel, a adição deve ser comutativa e cada elemento deve ter um inverso sob adição: por exemplo, o inverso aditivo de 3 is-3. However, multiplication in general does not satisfy these properties. Um anel no qual a multiplicação é comutativa e todo elemento exceto o elemento de identidade aditivo (0) tem um inverso multiplicativo (recíproco) é chamado de campo: por exemplo, o conjunto de Números Racionais. (O único anel em que 0 tem um inverso é o anel trivial de apenas um elemento.)

um anel pode ter um número finito ou infinito de elementos. Um exemplo de um anel com um número finito de elementos é , o conjunto de remanescentes quando um inteiro é dividido por 5, ou seja, o conjunto {0,1,2,3,4} com operações como 4 + 4 = 3 Porque 8 tem o restante 3 quando dividido por 5. Um anel similar pode ser formado para outros valores positivos de .

definição Formal

um anel é Um conjunto R, equipado com duas operações binárias, que são geralmente denotado + e · e chamadas adição e multiplicação, respectivamente, tais que:

• (R, +) é um abelian grupo
• a Multiplicação é associativa
• A esquerda e para a direita distributiva leis segurar:
  • a·(b + c) = (a·b) + (a·c)
  • (a + b)·c = (a·c) + (b·c)

Na prática, o símbolo · é geralmente omitido, e a multiplicação é apenas indicado por justaposição. A ordem usual de operações também é assumida, de modo que a + bc é uma abreviação para a + (b·c). A propriedade distributiva é especificada separadamente para a multiplicação esquerda e direita para cobrir casos em que a multiplicação não é comutativa, como um anel de matrizes.um anel no qual existe um elemento de identidade para a multiplicação é chamado de anel unital, anel unitário, ou simplesmente anel com identidade. O elemento identidade é geralmente denotado 1. Alguns autores, notavelmente Bourbaki, exigem que seus anéis tenham um elemento de identidade, e chamam anéis sem pseudorings de identidade.

anel comutativo

um anel no qual a operação de multiplicação é comutativa é chamado de anel comutativo. Tais anéis comutativos são o objeto básico de estudo em álgebra comutativa, em que anéis geralmente também são assumidos como tendo uma unidade.

anel de divisão

para mais informações, ver: anel de divisão.

um anel unital no qual todo elemento não-zero a tem um inverso, isto é, um elemento a−1 tal que a−1a = aa−1 = 1, é chamado de anel de divisão ou campo skew.

Homomorphisms dos anéis

Um anel homomorphism é um mapeamento a partir de um anel de um anel respeitar o anel de operações. Isto é,

Se os anéis são unital, é muitas vezes assumido que mapas a identidade do elemento o elemento de identidade de .

Um homomorphism pode mapear um conjunto maior para um conjunto menor; por exemplo, o anel de pode ser inteiros e pode ser mapeada para o trivial anel que contém apenas o único elemento .

Subrings

Se é um anel, um subconjunto de é chamado um subring se é um anel sob o anel de operações herdadas a partir de . It can be seen that this is equivalent to required that be closed under multiplication and subtraction.

Se é unital, alguns autores exigir que um subring de deve conter a unidade de .

Ideais

os dois lados de um ideal de um anel é um subring tal que, para qualquer elemento no e o elemento no temos que e são elementos de . O conceito de ideal de um anel corresponde ao conceito de subgrupos normais de um grupo. Assim, podemos introduzir uma relação de equivalência em ao declarar que dois elementos de são equivalentes se a sua diferença é um elemento de . The set of equivalence classes is then denoted by and is a ring with the induced operations.

If is a ring homomorphism, then the kernel of h, defined as the inverse image of 0, , is an ideal of . Por outro lado, se é um ideal de e, em seguida, há uma natural anel homomorphism, o quociente homomorphism, a partir de tais que é o conjunto de todos os elementos mapeados para 0 .

exemplos

• O anel trivial {0} consiste em apenas um elemento, que serve como aditivo e identidade multiplicativa.
• os inteiros formam um anel com adição e multiplicação definidas como usuais. É um anel comutativo.os números racionais, reais e complexos formam anéis comutativos.

o conjunto de polinômios forma um anel comutativo.

the set of square matrices forms a ring under componentwise addition and matrix multiplication. Este anel não é comutativo se n>1.

o conjunto de todas as funções contínuas de valor real definidas no intervalo forma um anel sob adição e multiplicação pontualmente.

a Construção de novos anéis de dado queridos

• Para cada anel , podemos definir o oposto do anel invertendo a multiplicação de . Dada a multiplicação de no , a multiplicação de no é definido como . O “mapa de identidade”de para , mapeando cada elemento para si, é um isomorfismo se e somente se é comutativo. No entanto, mesmo se não é comutativa, ainda é possível e para ser isomórfica usando um mapa diferente. Por exemplo, se é o anel de matrizes de números reais, então a transposição mapa a partir de , o mapeamento de cada matriz para a sua transposição, é um isomorfismo.
• O centro de um anel é o conjunto de elementos que deslocam a todo elemento de ‘; isto é, é um elemento do centro se para cada . O centro é uma sub-estrutura de . Dizemos que um subring de é central se é uma subring do centro de .
• O produto direto de dois anéis de R e S é o produto cartesiano R×S em conjunto com as operações

(r1, s1) + (r2, s2) = (r1+r2, s1+s2) e (r1, s1), (r2, s2) = (r1r2, s1s2). Com estas operações R×S é um anel.

• Mais geralmente, para qualquer conjunto de índices J e coleção de anéis , o produto direto e a soma direta existem.
  • O produto direto é a coleção de “tuplas infinitas” com adição e multiplicação de componentes como operações.
  • A soma direta de uma coleção de anéis é o subring do produto direto que consiste de todas as infinitas-tuplas com a propriedade que rj=0 para todos, mas finitely muitos j. Em particular, se J é finito e, em seguida, direto soma e o produto direto são isomórficos, mas em geral, eles têm bastante diferentes propriedades.
• uma vez que qualquer anel é tanto um direito e esquerdo do módulo sobre si próprio, é possível construir o produto de R através de um anel de S com outro anel de T para obter um outro anel, desde S é uma central de subring de R e T.

História

O estudo dos anéis originou-se a partir do estudo de polinômio anéis e algébricas número de campos na segunda metade do século xix, entre outros por Richard Dedekind. O termo anel em si, no entanto, foi cunhado por David Hilbert em 1897.

Veja também:

• Glossário de anel teoria
• Álgebra sobre um anel comutativo
• Ī anel

• tipos Especiais de anéis:
  • anel Comutativo
  • Divisão de anel
  • Field
  • Integral de domínio (ID)
  • Principais ideal de domínio (PID)
  • a Única fatoração de domínio (UFD)

• Construções dos anéis
  • anel de Grupo
  • Matriz anel
  • anel de polinˆ Omio

• Anéis com adição de estrutura
  • Diferencial anel
  • Euclidiana de domínio (ED)