En matemáticas, un anillo es una estructura algebraica con dos operaciones binarias, comúnmente llamada la adición y la multiplicación. Estas operaciones se definen para emular y generalizar los enteros. Otros ejemplos comunes de anillos incluyen el anillo de polinomios de una variable con coeficientes reales, o un anillo de matrices cuadradas de una dimensión dada.

Para calificar como anillo, la suma debe ser conmutativa y cada elemento debe tener un inverso debajo de la suma: por ejemplo, el inverso aditivo de 3 es -3. Sin embargo, la multiplicación en general no satisface estas propiedades. Un anillo en el que la multiplicación es conmutativa y cada elemento, excepto el elemento de identidad aditiva (0), tiene un inverso multiplicativo (recíproco) se denomina campo: por ejemplo, el conjunto de números racionales. (El único anillo en el que 0 tiene una inversa es el anillo trivial de un solo elemento.)

Un anillo puede tener un número finito o infinito de elementos. Un ejemplo de un anillo con un número finito de elementos es , el conjunto de restos cuando un entero se divide por 5, es decir, el conjunto {0,1,2,3,4} con operaciones como 4 + 4 = 3 porque 8 tiene el resto 3 cuando se divide por 5. Se puede formar un anillo similar para otros valores positivos de .

Definición formal

Un anillo es un conjunto R equipado con dos operaciones binarias, que generalmente se denotan + y · y se llaman suma y multiplicación, respectivamente, de modo que:

• (R, +) es un grupo abeliano
• La multiplicación es asociativa
• Las leyes distributivas izquierda y derecha tienen:
  • a·(b + c) = (a·b) + (a·c)
  • (a + b)·c = (a·c) + (b·c)

En la práctica, el símbolo · generalmente se omite, y la multiplicación se denota simplemente por yuxtaposición. También se asume el orden de operaciones habitual, de modo que a + bc es una abreviatura de a + (b·c). La propiedad distributiva se especifica por separado para la multiplicación izquierda y derecha para cubrir los casos en los que la multiplicación no es conmutativa, como un anillo de matrices.

Tipos de anillos

Anillo unital

Un anillo en el que hay un elemento de identidad para la multiplicación se llama anillo unital, anillo unitario o simplemente anillo con identidad. El elemento de identidad se denota generalmente como 1. Algunos autores, en particular Bourbaki, exigen que sus anillos tengan un elemento de identidad, y llaman a los anillos sin pseudónimos de identidad.

Anillo conmutativo

Un anillo en el que la operación de multiplicación es conmutativa se llama anillo conmutativo. Tales anillos conmutativos son el objeto básico de estudio en álgebra conmutativa, en la que generalmente también se supone que los anillos tienen una unidad.

Anillo de división

Para obtener más información, consulte: Anillo de división.

Un anillo unital en el que cada elemento distinto de cero a tiene un inverso, es decir, un elemento a-1 tal que a−1a = aa−1 = 1, se denomina anillo de división o campo oblicuo.

Homomorphisms de los anillos

Un anillo homomorphism es una asignación de un anillo para un anillo respetando el anillo de operaciones. Es decir,

Si los anillos son unital, se suele suponer que el mapas de la identidad del elemento a la identidad del elemento .

Un homomorfismo puede asignar un conjunto más grande a un conjunto más pequeño; por ejemplo, el anillo podría ser los enteros y podría asignarse al anillo trivial que contiene solo el elemento único .

Subrings

Si es un anillo, un subconjunto de se llama un sub-anillo si es un anillo con el sello de operaciones heredadas de . Se puede ver que esto es equivalente a requerir que se cierre en multiplicación y resta.

Si es unital, algunos autores exigen que un sub-anillo de debe contener la unidad de .

Ideales

Una de dos caras ideal de un anillo es un sub-anillo tales que para cualquier elemento en el y cualquier elemento en el tenemos que y son elementos de . El concepto de ideal de un anillo corresponde al concepto de subgrupos normales de un grupo. Por lo tanto, podemos introducir una relación de equivalencia en declarando que dos elementos de son equivalentes si su diferencia es un elemento de . El conjunto de clases de equivalencia se denota por y es un anillo con las operaciones inducidas.

Si es un homomorfismo de anillo, entonces el núcleo de h, definido como la imagen inversa de 0, , es un ideal de . Por el contrario, si es un ideal de , entonces existe un natural anillo de homomorphism, el cociente homomorphism, de a tales que es el conjunto de todos los elementos asignados a 0 en el .

Ejemplos

• El anillo trivial {0} consta de un solo elemento, que sirve como identidad aditiva y multiplicativa.
• Los enteros forman un anillo con suma y multiplicación definidas como de costumbre. Este es un anillo conmutativo.
  • Los números racionales, reales y complejos forman anillos conmutativos.
• El conjunto de polinomios forma un anillo conmutativo.
• El conjunto de matrices cuadradas forma un anillo debajo de la adición de componentes y la multiplicación de matrices. Este anillo no es conmutativo si n>1.
• El conjunto de todas las funciones continuas de valor real definidas en el intervalo forma un anillo debajo de la suma y multiplicación por puntos.

Construyendo nuevos anillos a partir de los dados

• Para cada anillo podemos definir el anillo opuesto invirtiendo la multiplicación en . Dada la multiplicación en el , la multiplicación en el se define como . El «mapa de identidad» de a , la asignación de cada elemento a sí mismo, es un isomorfismo si y sólo si es conmutativa. Sin embargo, incluso si no es conmutativo, es posible que y sean isomorfos utilizando un mapa diferente. Por ejemplo, si es el anillo de matrices de números reales, entonces la transposición mapa de a , la asignación de cada matriz a su transpuesta, es un isomorfismo.
• El centro de un anillo es el conjunto de elementos de que conmutan con todos los elementos de ; es decir, es un elemento del centro si cada . El centro es un sub-anillo de . Decimos que un sub-anillo de es central si se trata de un sub-anillo del centro de .
• El producto directo de dos anillos de R y S es el producto cartesiano R×S junto con las operaciones

(r1, s1) + (r2, s2) = (r1+r2, s1+s2) y (r1, s1)(r2, s2) = (r1r2, s1s2). Con estas operaciones R×S es un anillo.

• Más generalmente, para cualquier conjunto de índices J y colección de anillos , el producto directo y la suma directa existen.
  • El producto directo es la colección de» tuplas infinitas « con adición y multiplicación de componentes como operaciones.
  • La suma directa de una colección de anillos es el subring del producto directo que consiste en todas las tuplas infinitas con la propiedad de que rj=0 para todas las j, excepto para muchas finitas. En particular, si J es finito, entonces la suma directa y el producto directo son isomorfos, pero en general tienen propiedades bastante diferentes.
• Dado que cualquier anillo es un módulo izquierdo y derecho sobre sí mismo, es posible construir el producto tensor de R sobre un anillo S con otro anillo T para obtener otro anillo, siempre que S sea un subring central de R y T.

Historia

El estudio de anillos se originó a partir del estudio de anillos polinómicos y campos de números algebraicos en la segunda mitad del siglo XIX, entre otros por Richard Dedekind. El término anillo en sí, sin embargo, fue acuñado por David Hilbert en 1897.

Véase también

• Glosario de anillo de la teoría
• Álgebra sobre un anillo conmutativo
• no asociativo anillo

• tipos Especiales de los anillos:
  • Conmutativa anillo
  • División de anillo
  • Campo
  • Integral de dominio (ID)
  • Principal ideal de dominio (PID)
  • Única factorización de dominio (UFD)

• las Construcciones de los anillos
  • anillo de Grupo
  • Matriz de anillo
  • Polinomio anillo

• Anillos con el agregado de estructura
  • Diferencial anillo
  • Euclidiana de dominio (ED)