Factorial 52: a Stirling Problem-ThatsMaths

În câte moduri poate fi aranjat un pachet de cărți? Este foarte ușor să calculați răspunsul, dar foarte greu de înțeles semnificația acestuia.

Card-Arc

există 52 de cărți. Astfel, primul poate fi ales în 52 de moduri. Următoarea poate fi oricare dintre cele 51 de cărți rămase. Pentru a treia, există 50 de opțiuni și așa mai departe până când rămâne doar o singură carte, lăsând doar opțiunea de a o pune ultima.

prin urmare, numărul total de posibilități este

$52! \ echiv 52 \ ori 51 \ ori 50 \ ori \Puncte \ ori 3 \ ori 2 \ ori 1\,.$

acest număr se numește factorial 52. A spune că este un număr mare este o subevaluare. Programul Mathematica poate calcula la precizie arbitrară și introducerea Factorial comanda produce următorul rezultat:

$80658175170943878571660636856403766975289505440883277824000000000000$

în notație mai comprimată, aceasta este $8.06582\times 10^{67}$ , sau, la doar o singură cifră de precizie, ${10^{68}}$ ; adică 1 urmat de 68 de zerouri.

descriind 52!

este dificil de ilustrat dimensiunea ${52!}$ în ceea ce privește orice practic. Oamenii au vorbit despre numărul de picături din ocean sau despre câte boabe de nisip ar umple Marele Canion. Aceste numere nu se apropie de ${52!}$ .

Numărul de atomi din universul observabil este estimat a fi de aproximativ ${10^{80}}$ , care este de un trilion de ori mai mare decât ${52!}$ . Dar acest lucru ne ajută cu adevărat să vizualizăm cum este oricare dintre aceste numere? Articolul Wikipedia despre numele numerelor mari descrie ${10^{66}}$ ca un unvigintillion. Astfel, ${52! \aprox 8 \ ori 10 ^ {67}}$ este de aproximativ optzeci unvigintillion. Dar acesta este doar un nume.

Universul este $de 4\ori 10^{17}$ vechi de secunde. Dacă s-ar alege un aranjament aleatoriu de cărți în fiecare secundă pe parcursul întregii vieți a universului, ar fi selectată doar o mică parte din toate ordonările posibile. Șansa ca aceeași comandă să fie aleasă de două ori este cu totul neglijabilă. Chiar dacă s-ar alege un miliard de aranjamente în fiecare secundă, nu ar exista încă nicio șansă reală de duplicare.

pentru o descriere amuzantă a magnitudinii uluitoare a ${52!}$ , vezihttp://czep.net/weblog/52cards.html

aproximarea lui Stirling

calculul numărului ${52}$ este simplu. Înmulțiți doar 52 cu 51, rezultatul cu 50 și așa mai departe până ajungeți la 1. Dar cât de plictisitor este acest lucru și cât de predispus la erori!

există o expresie frumoasă care dă o aproximare oricărui factorial, numit pentru James Stirling (1692-1770), un matematician scoțian (deși se pare că rezultatul a fost declarat mai devreme de Abraham de Moivre). Aproximarea este

$n! \aprox s_1 (n) \equiv \sqrt{2\pi n}\stânga (\frac{n}{e}\dreapta)^n$

acesta este de fapt primul termen dintr-o expansiune asimptotică. Luând următorul termen avem

$n! \aproximativ s_2(n) \equiv \sqrt{2\pi n}\stânga(\frac{n}{e}\dreapta)^n\stânga(1+\frac{1}{12N}\dreapta)$

conectarea argumentului ${n = 52}$ , prima formulă dă ${s_1(52) = 8.0529\ori 10^{67}}$ care este corect la 2 zecimale. A doua formulă dă ${s_2(52) = 8.06581\times 10^{67}}$ , cu eroare relativă de doar o parte dintr-un milion.

o altă aproximare a fost găsită printre lucrările matematicianului Indian Srinivasa Ramanujan și publicată în caietul său pierdut în 1988:

$\ ln (n!) \aproximativ n \ ln(n)-n+{\frac{1}{6}}\ln(n(1+4n (1+2n)))+{\frac {1}{2}}\Ln (\pi ).$

aceasta dă ${52!}$ la o parte dintr-un miliard.cu un număr atât de mare de posibilități, S-ar putea întreba dacă o ordine aleasă aleatoriu a unui pachet de cărți are loc de mai multe ori. Făcând presupuneri foarte rezonabile, este ușor de argumentat că o anumită ordonare nu va avea loc niciodată de două ori în timpul vieții Universului. Astfel, atunci când amestecați bine cărțile, sunteți obligat să ajungeți la o comandă care nu a mai fost văzută niciodată și nu va mai fi văzută niciodată.

cu toate acestea, există o mare condiție aici. Amestecarea cărților trebuie să fie suficient de amănunțită pentru a asigura o adevărată randomizare. Studiile matematice au indicat că un număr mic de amestecuri eficiente sunt suficiente pentru a amesteca pachetul în ordine aleatorie. Bayer și Diaconis (1992) a arătat că, după șapte shuffle aleatoare riffle, oricare dintre 52! configurațiile posibile sunt la fel de probabile.

Lasă un răspuns Anulează răspunsul

You may like this....