în matematică, un inel este o structură algebrică cu două operații binare, denumite în mod obișnuit adunare și înmulțire. Aceste operații sunt definite astfel încât să imite și să generalizeze numerele întregi. Alte exemple comune de inele includ inelul polinoamelor unei variabile cu coeficienți reali sau un inel de matrice pătrate de o dimensiune dată.

pentru a se califica ca inel, adăugarea trebuie să fie comutativă și fiecare element trebuie să aibă un invers sub adăugare: de exemplu, inversul aditiv al lui 3 este -3. Cu toate acestea, multiplicarea în general nu satisface aceste proprietăți. Un inel în care înmulțirea este comutativă și fiecare element, cu excepția elementului de identitate aditiv (0), are un invers multiplicativ (reciproc) se numește câmp: de exemplu, mulțimea numerelor raționale. (Singurul inel în care 0 are un invers este inelul banal al unui singur element.)

un inel poate avea un număr finit sau infinit de elemente. Un exemplu de inel cu un număr finit de elemente este , mulțimea resturilor atunci când un număr întreg este împărțit la 5, adică mulțimea {0,1,2,3,4} cu operații precum 4 + 4 = 3 deoarece 8 are restul 3 Când este împărțit la 5. Un inel similar poate fi format pentru alte valori pozitive ale .

definiție formală

un inel este un set r echipat cu două operații binare, care sunt în general notate + și · și numite adunare și înmulțire, respectiv, astfel încât:

• (r, +) este un grup abelian
• înmulțirea este asociativă
• legile distributive stânga și dreapta dețin:
  • a·(b + c) = (A·b) + (a·c)
  • (A + B)·C = (A·C) + (B·C)

în practică, simbolul · este de obicei omis, iar multiplicarea este doar notată prin juxtapunere. Se presupune și ordinea obișnuită a operațiunilor, astfel încât a + bc este o abreviere pentru a + (b·c). Proprietatea distributivă este specificată separat pentru multiplicarea stânga și dreapta pentru a acoperi cazurile în care multiplicarea nu este comutativă, cum ar fi un inel de matrice.

tipuri de inele

inel Unital

un inel în care există un element de identitate pentru multiplicare se numește inel unital, inel unitar sau pur și simplu inel cu identitate. Elementul de identitate este în general notat 1. Unii autori, în special Bourbaki, cer ca inelele lor să aibă un element de identitate și să apeleze inele fără pseudorings de identitate.

inel comutativ

un inel în care operația de înmulțire este comutativă se numește inel comutativ. Astfel de inele comutative sunt obiectul de bază al studiului în algebra comutativă, în care se presupune, în general, că inelele au o unitate.

inel de divizare

pentru mai multe informații, consultați: inel de divizare.

un inel unital în care fiecare element diferit de zero a are un invers, adică un element a-1 astfel încât a−1a = aa−1 = 1, se numește inel de diviziune sau câmp oblic.

Homomorfismele inelelor

un homomorfism inelar este o mapare de la un inel la un inel respectând operațiile inelare. Adică

dacă inelele sunt unitale, se presupune adesea că mapează elementul de identitate al la elementul de identitate al .

un homomorfism poate mapa un set mai mare pe un set mai mic; de exemplu, inelul ar putea fi numerele întregi și ar putea fi mapat pe inelul banal care conține doar un singur element.

Subrings

dacă este un inel, un subset de se numește subring dacă este un inel sub operațiunile de inel moștenite de la. Se poate observa că acest lucru este echivalent cu solicitarea ca să fie închis sub înmulțire și scădere.

dacă este unital, unii autori cer ca un subring de ar trebui să conțină unitatea de.

idealuri

un ideal față-verso al unui inel este un subring astfel încât pentru orice element în și orice element în avem că și sunt elemente ale. Conceptul de ideal al unui inel corespunde conceptului de subgrupuri normale ale unui grup. Astfel, putem introduce o relație de echivalență pe declarând că două elemente ale sunt echivalente dacă diferența lor este un element al . Setul de clase de echivalență este apoi notat cu și este un inel cu operațiile induse.

dacă este un omomorfism inelar, atunci nucleul lui h, definit ca imaginea inversă a lui 0,, este un ideal al. În schimb, dacă este un ideal de , atunci există un omomorfism inelar natural, homomorfismul coeficient, de la la astfel încât este setul tuturor elementelor mapate la 0 în .

Exemple

• inelul trivial {0} constă dintr-un singur element, care servește atât ca identitate aditivă, cât și multiplicativă.numerele întregi formează un inel cu adunare și înmulțire definite ca de obicei. Acesta este un inel comutativ.numerele raționale, reale și complexe formează fiecare inele comutative.

setul de polinoame formează un inel comutativ.

setul de pătrate matrici formează un inel sub Adunarea componentwise și multiplicarea matricei. Acest inel nu este comutativ dacă n >1.

setul tuturor funcțiilor continue cu valoare reală definite pe interval formează un inel sub adunare și înmulțire punctuală.

construirea de inele noi din cele date

• pentru fiecare inel putem defini inelul opus prin inversarea înmulțirii în. Având în vedere înmulțirea în, înmulțirea în este definită ca. „Harta de identitate”de la la , mapând fiecare element la sine, este un izomorfism dacă și numai dacă este comutativ. Cu toate acestea, chiar dacă nu este comutativ, este încă posibil ca și să fie izomorf folosind o hartă diferită. De exemplu, dacă este inelul matrici ale numerelor reale, atunci harta de transpunere de la la , mapând fiecare matrice la transpunerea sa, este o izomorfism.
• centrul unui inel este setul de elemente ale care fac naveta cu fiecare element al ; adică este un element al centru dacă pentru fiecare . Centrul este un subring de . Spunem că un subring al este central dacă este un subring al Centrului.
• produsul direct al celor două inele R și S este produsul cartezian R_7 S împreună cu operațiile

(r1, S1) + (r2, s2) = (r1+r2, S1+S2) și (r1, S1)(R2, s2) = (r1r2, s1s2). Cu aceste operațiuni, r-ul S este un inel.

• Mai general, pentru orice set de indici J și colecție de inele, există produsul direct și suma directă.
  • produsul direct este colecția de „tupluri infinite” cu adăugare și multiplicare în funcție de componente ca operații.
  • suma directă a unei colecții de inele este subringul produsului direct format din toate tuplurile infinite cu proprietatea că rj=0 pentru toți, dar finit mulți j. în special, dacă J este finit, atunci suma directă și produsul direct sunt izomorfe, dar în general au proprietăți destul de diferite.
• deoarece orice inel este atât un modul stânga și dreapta peste el însuși, este posibil să se construiască produsul tensor al lui R peste un inel S cu un alt inel T pentru a obține un alt inel, cu condiția ca S să fie un subinel central al lui R și T.

Istorie

studiul inelelor provine din studiul inelelor polinomiale și al câmpurilor numerice algebrice din a doua jumătate a secolului al XIX-lea, printre altele de Richard Dedekind. Cu toate acestea, termenul inel în sine a fost inventat de David Hilbert în 1897.

Vezi și

• Glosarul teoriei inelului
• Algebra peste un inel comutativ
• inel Nonasociativ

• tipuri speciale de inele:
  • inel comutativ
  • inel de diviziune
  • câmp
  • domeniu Integral (ID)
  • domeniu ideal principal (PID)
  • domeniu unic de factorizare (UFD)

• construcții de inele
  • inel de grup
  • inel Matrix
  • inel polinomial

• inele cu structură adăugată
  • inel diferențial
  • domeniul euclidian (ed)