donde los primos representan diferenciales. Si Ω(E) crece exponencialmente o más rápido, entonces C (E) es infinito o negativo, lo que se considera no físico. Si Ω (E) es subexponencial, entonces C(E) es positivo. Y, cuanto más rápido crece Ω(E), más grande es C(E). Solo un depósito con espacio de Hilbert de dimensión infinita puede mantener a S (E) creciendo para todos los E. Y de hecho, los depósitos de dimensión infinita son los que permiten un enfriamiento más rápido. Sin embargo, nuestros resultados son generales y también se aplican al caso de dimensiones finitas.

Supongamos que queremos enfriar un sistema cuántico con la dimensión espacial de Hilbert d, y el Hamiltoniano HS con degeneración de estado fundamental g, brecha por encima del estado fundamental Δ y mayor energía J. ¿Cuáles son los recursos necesarios para hacerlo?

Suposiciones fundamentales

Especifiquemos más concretamente la configuración y recojamos las suposiciones que adoptaremos (las que provienen de los primeros principios):

(i) Consideramos que el inicio del proceso es cuando el sistema aún no se ha puesto en contacto con el sistema de almacenamiento de trabajo (el peso) ni el depósito, de modo que inicialmente, el estado global es pS p pB.pW. Si bien puede ser de interés otro escenario inicial, su consideración está fuera del alcance del presente documento.

(ii) Permitimos la transformación cuántica más general en el sistema, el baño y el peso, que es reversible (unitario) y conserva la energía total. Esto podría parecer restrictivo en comparación con los paradigmas que permiten términos de interacción arbitraria, sin embargo, este no es el caso, ya que las interacciones arbitrarias pueden incorporarse al modelo como se muestra en el Apéndice H de la ref. 27 y en ref. 25, simplemente permitiendo que la energía del sistema de trabajo fluctúe. En muchos paradigmas, esto se aplica implícitamente asumiendo que toda la energía faltante se cuenta como trabajo. Los paradigmas que relajan esta condición esencialmente ignoran la energía transferida a otros sistemas, o tratan a estos otros sistemas como clásicos. Esencialmente, imponemos la conservación de energía para garantizar que contabilizamos adecuadamente todos los costos de energía asociados con la interacción, mientras que los diversos términos unitarios o de interacción simplemente transfieren o toman energía del peso para compensar. El proceso de enfriamiento es por lo tanto, cualquier transformación de la forma

donde U es global y unitaria de satisfacciones

(iii) El trabajo que se consume dentro de la transformación es tomado por el peso. Dado que estamos interesados en las limitaciones últimas, consideramos un peso idealizado con hamiltoniano que tiene espectro continuo e ilimitado . Con este one30 se puede simular cualquier otro sistema de trabajo. Denotamos por wmax el peor de los casos el valor de la obra consumida, es decir,

wmax generalmente es mucho mayor que el promedio de trabajo 〈W〉. En cualquier proceso físicamente razonable llevado a cabo en un tiempo finito, uno espera que sea finito.

(iv) También requerimos, como en ref. 29, que la transformación de enfriamiento conmuta con las traducciones en el peso. En otras palabras, el funcionamiento de la máquina térmica es independiente del origen de las energías del peso, por lo que solo depende de cuánto trabajo se entrega del peso. Esto puede entenderse como la definición de lo que es el trabajo, es simplemente el cambio de energía que podemos inducir en algún sistema externo. Esto también garantiza que el peso sea solo un mecanismo para entregar o almacenar el trabajo, y no sea, por ejemplo, un vertedero de entropía (véase el Resultado 1 en la Discusión Complementaria). También garantiza que el proceso de enfriamiento siempre deje el peso en un estado que se pueda usar en la próxima tirada o en el proceso. Por lo tanto

donde el Hermitian operador Π actúa como para todos los . Más allá de esto, permitimos que el estado inicial del peso pW sea arbitrario. En particular, puede ser coherente, lo que ofrece una ventaja27.

(v) Asumimos que el baño tiene volumen V y está en estado térmico a una temperatura inversa dada , con ZB la función de partición del baño. Denotamos la densidad de energía libre del baño (en el estado canónico pB) por .

(vi) La capacidad de calor micro-canónica (2) no es C(E) negativa para todas las energías E. Esto implica que S(E) es sublineal en E. También demostramos en los Métodos Suplementarios que si S (E) crece linealmente o más rápido, entonces es posible un enfriamiento perfecto en un tiempo finito.

Con estas suposiciones, mostramos que para enfriar perfectamente el sistema a cero absoluto, al menos uno de estos dos recursos, el volumen del baño V, o el valor en el peor de los casos del trabajo consumido wmax tiene que ser infinito. Además, vinculamos la temperatura más baja alcanzable del sistema en términos de V y wmax.

Cuantificando la inalcanzabilidad desde los primeros principios

Con los supuestos (i)–(vi), consideramos dos casos, uno donde el estado inicial y final son térmicos, y otro donde permitimos estados iniciales y finales arbitrarios. Nuestro primer resultado se refiere al primero, y afirma que en cualquier proceso donde el peor trabajo inyectado es wmax, la temperatura final del sistema no puede ser inferior a

en el límite grande de wmax,V. La densidad de energía libre micro-canónica a temperatura inversa β0 se define por

donde E0 es la solución de la ecuación S'(E0) = β0. Recordemos que, cuando el volumen del baño V es grande, suele darse el caso de que fmic(β0)=fcan (β0) y estos son independientes de V.

Analicemos el comportamiento de la ecuación (7) en términos de los recursos invertidos. A medida que wmax crece, β0 disminuye y fmic aumenta, produciendo una temperatura final más baja . Dado que toda la dependencia del volumen en la ecuación (7) es explícita, por lo tanto, una V más grande también se traduce en una temperatura final más baja.

a continuación, se facilita un enlace para las personas más relevantes de la familia de entropías

donde α>0 y ν∈[1/2, 1) son dos constantes. Tal entropía es extensa, y si establecemos describe la radiación electromagnética (o cualquier campo bosónico sin masa) en una caja D-dimensional del volumen V. En general, se cree que no hay otro reservorio que tenga una densidad de estados que crezcan más rápido con E que este 36, y ciertamente ninguno que tenga ν≥1. El último, corresponde al baño con capacidad calorífica negativa discutido anteriormente, que permite el enfriamiento con wmax finito. En la Complementaria de la Discusión, nos adaptamos atado (7) a la entropía (9), obteniendo

hasta los principales términos. Ahora, toda la dependencia de V y wmax es explícita. En particular, observamos que valores más grandes de V y wmax permiten temperaturas más bajas. Y también, valores más grandes de ν, que equivalen a un crecimiento de entropía más rápido, lo que permite temperaturas más bajas.

Como se mencionó anteriormente, los procesos de enfriamiento que consideramos son muy generales. En particular, pueden alterar el Hamiltoniano del sistema durante el proceso, siempre y cuando el Hamiltoniano final sea idéntico al inicial HS. Esto excluye el método de enfriamiento poco interesante que consiste en volver a escalar el hamiltoniano HS→0. Sin embargo, nuestros límites se pueden adaptar fácilmente al proceso donde el Hamiltoniano final difiere del inicial, como discutiremos en la conclusión.

Consideremos ahora el caso más general, donde ni el estado inicial ni el final necesitan ser térmicos, sino que pueden ser arbitrarios. Como ya es bien conocido14, 15, 17, 18, 30, la inalcanzabilidad del cero absoluto no es consecuencia del hecho de que el estado objetivo tenga baja energía, sino más bien de que tenga baja entropía. Por lo tanto, esto se traduce directamente en la inalcanzabilidad de cualquier estado puro, o más generalmente, cualquier estado con rango g menor que el estado inicial. Este tipo de procesos se conocen generalmente como borrado de información o purificación. Ahora analizamos las limitaciones de cualquier proceso que tome un estado inicial arbitrario pS y lo transforme en un estado final con soporte en el proyector g-rank P. Cuantificamos la inexactitud de la transformación mediante el error . En aras de la claridad, asumimos que el sistema tiene HS=0 hamiltoniano trivial (el caso general se trata en la Discusión Suplementaria), y denotamos por λmin y λmax los valores propios más pequeños y más grandes de pS. En los Métodos Suplementarios, mostramos que cualquier proceso pS→ tiene error

Los resultados presentados anteriormente, así como otros de mayor generalidad presentados en la Discusión Suplementaria, cuantifican nuestra capacidad para enfriar un sistema (o, más generalmente, ponerlo en un estado de rango reducido), en términos de dos recursos: el volumen del baño V, y la fluctuación en el peor de los casos de la obra consumida wmax. Por lo tanto, constituyen una forma de tercera ley, en el sentido de que imponen un límite al enfriamiento, dados algunos recursos finitos. Ahora queremos traducir esto en el tiempo que llevaría enfriar el sistema, y lo haremos, considerando la noción de una máquina térmica y haciendo dos suposiciones físicamente razonables.

Máquinas térmicas

Recordemos que el campo de la complejidad computacional se basa en la tesis de Church-Turing, la idea de que consideramos que una computadora es una máquina de Turing, y luego exploramos cómo el tiempo de computación se escala con el tamaño del problema. Diferentes máquinas pueden funcionar de manera diferente: el cabezal de la computadora puede moverse más rápido o más lento a través de la cinta de memoria; la información puede almacenarse en bits o en unidades de memoria de dimensiones superiores, y el cabezal puede escribir en esta memoria a diferentes velocidades. La naturaleza no parece imponer un límite fundamental a la dimensión de una unidad de memoria de ordenador o a la velocidad a la que se puede escribir. Sin embargo, para cualquier realización físicamente razonable de una computadora, y cualquiera que sea la velocidad de estas operaciones, es fija y finita, y solo entonces examinamos la escala de tiempo con el tamaño del problema. Y lo que es importante es la escala general del tiempo con entrada (polinomio o exponencial), en lugar de cualquier constante. Del mismo modo aquí, consideraremos una máquina térmica fija, y asumiremos que solo puede transferir una cantidad finita de energía al baño de calor en un tiempo finito. Del mismo modo, en un tiempo finito, no puede explorar un baño de calor de tamaño infinito. Una máquina térmica que de lo contrario sería físicamente irrazonable.

Podemos considerar tanto V como wmax como funciones monótonas del tiempo t. Cuanto más tiempo funcione nuestra máquina térmica, más trabajo puede bombear al baño de calor y mayor es el volumen del baño que puede explorar. Para cualquier máquina térmica en particular, se puede poner un límite finito en sustituyendo estas funciones en la ecuación (10). En particular, si asumimos que la interacción está mediada por la dinámica de un Hamiltoniano local, entonces la interacción de un sistema con un baño de volumen V y dimensión espacial d tomará tiempo

donde v es proporcional a la velocidad del sonido en el baño (o velocidad Lieb–Robinson 37), y V1 / D la dimensión lineal del baño. La implementación de unidades generales toma mucho más tiempo que la ecuación (12), pero esto sirve como un límite inferior. Dado que aquí nos interesa la escala de temperatura con el tiempo, en lugar de con factores constantes, no necesitamos preocuparnos por el hecho de que las máquinas térmicas prácticas funcionan a velocidades mucho más lentas. Por supuesto, al igual que con las computadoras reales, las máquinas térmicas generalmente tienen velocidades muy por debajo del límite Lieb–Robinson. Tenga en cuenta que, a pesar de que V es finito, el espacio de Hilbert del baño puede ser de dimensiones infinitas. Si uno quisiera tener un límite que fuera independiente de la máquina térmica, e independiente de la velocidad del sonido que es una propiedad del baño, entonces uno siempre podría tomar v como la velocidad de la luz. Si bien esa obligación no sería pertinente en la práctica, sería fundamental. Esto es similar a los límites en la computación, donde para obtener un límite fundamental, uno debe tomar la velocidad de la puerta para ser infinita (ya que no hay un límite fundamental en esto) y convertir el número de bits utilizados en el proceso en tiempo multiplicando por la velocidad de la luz.

Se obtiene una relación entre el trabajo en el peor de los casos wmax y el tiempo t observando lo siguiente. En t finita no es posible inyectar en el baño una cantidad infinita de trabajo. Por simplicidad, aquí se asume una relación lineal

donde la constante u dependerá de las interacciones entre el sistema y el peso. Sin embargo, enfatizamos que, si una configuración física en particular está modelada incorrectamente por las relaciones (12) y (13), entonces cualquier otra t≥h1(wmax) y t≥h2(V) también es buena. Mientras h1 y h2 sean funciones estrictamente monótonas, el principio de inalcanzabilidad se mantendrá.

Limitaciones usando máquinas térmicas

Para cualquier máquina térmica en particular, ahora podemos derivar limitaciones en la temperatura que se puede alcanzar en un tiempo dado t. Dado que el sistema físico con el crecimiento de entropía más rápido que conocemos es la radiación, vale la pena dedicar el siguiente párrafo al caso en la ecuación (9), porque esto debería proporcionar un límite con validez amplia. Usando las relaciones particulares (12) y (13), y sustituyéndolas en la ecuación (10), para el caso de la radiación, obtenemos

en el límite t grande. Nuestro límite (14) se puede adaptar directamente a cualquier otra relación t≥h1(wmax) y t≥h2(V). Es interesante observar en la ecuación (14)la relación entre el tiempo característico (cuánto tiempo se tarda en enfriarse a un fijo) y el tamaño del sistema VS. Explotando la relación habitual ln d VS VS obtenemos la escala sublineal

Algo concerniente al resultado (11) es que, en el límite λmin→0 el límite se convierte en trivial. Esto se puede resolver truncando el estado inicial pS al subespacio que contiene los valores propios más grandes de k y optimizando el límite resultante para como una función de k. Además, este método de truncamiento permite extender todos nuestros resultados a sistemas de dimensiones infinitas (d=∞).