Geometrické seriesEdit

shrnutí metody mají vlastnosti správnosti, linearity a stability bude součet geometrické řady

∑ k = 0 ∞ r k = 1 − r . {\displaystyle \ sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}={\frac {a}{1-r}}.}

v tomto případě a = 1 a r = -2, takže součet je 1/3.

Euler summationEdit

V jeho 1755 Školách, Leonhard Euler účinně vzal to, co se nyní nazývá Eulerova transformace 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯, po příjezdu na konvergentní řady 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯. Od druhé sumy se 1/3, Euler dospěl k závěru, že 1 − 2 + 4 − 8 + … = 1/3. Jeho představy o nekonečných sériích se zcela neřídí moderním přístupem; dnes se říká, že 1 − 2 + 4 − 8 + … je Eulerův součet a jeho Eulerův součet je 1/3.

Euler transformovat začíná posloupnost kladných podmínky:

a0 = 1, a1 = 2, a2 = 4, a3 = 8,…

pořadí vpřed rozdíly je pak

Δa0 = a1 − a0 = 2 − 1 = 1, Δa1 = a2 − a1 = 4 − 2 = 2, Δa2 = a3 − a2 = 8 − 4 = 4, Δa3 = a4 − a3 = 16 − 8 = 8,…

což je stejná posloupnost. Proto všechny iterované dopředné diferenční sekvence začínají Δna0 = 1 pro každé n. Eulerova transformace je řada

a 0 2-Δ a 0 4 + Δ 2 a 0 8-Δ 3 a 0 16 + ⋯ = 1 2 − 1 4 + 1 8 − 1 16 + ⋯ . {\displaystyle {\frac {a_{0}}{2}}-{\frac {\Delta a_{0}}{4}}+{\frac {\Delta ^{2}a_{0}}{8}}-{\frac {\Delta ^{3}a_{0}}{16}}+\cdots ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}}+\cdots .}

Toto je konvergentní geometrická řada, jejíž součet je 1/3 obvyklým vzorcem.

Borelův součet

borelův součet 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ je také 1/3; když Émile Borel představila limit formulace Borel sčítání v roce 1896, byl to jeden z jeho prvních příkladů po 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯

P-adic numbersEdit

posloupnost částečných součtů spojené s 1 − 2 + 4 − 8 … {\displaystyle 1-2+4-8\ldots }

v 2-adická metrika je 1 , − 1 , 3 , − 5 , 11 , … {\displaystyle 1,-1,3,-5,11,\ldots }