Diophantine rovnic byly ve zprávách v poslední době. To proto, že na 6. září 2019 tým vést výzkumníky na University of Bristol a MIT oznámila, že objevili konečné řešení tzv. „sumy tři kostičky“ problém, který žádá o celočíselné řešení rovnice x3 + y3 + z3 = k pro hodnoty k mezi 1 a 100. Od jeho formulace v roce 1954 na univerzitě v Cambridge až do roku 2016 bylo nalezeno každé řešení kromě dvou, Pro K=33 a k=42. V březnu tohoto roku, matematik Andrew R. Booker v článku publikovaném na arXiv.org oznámil, že našel správné řešení pro K=33 pomocí týdnů výpočetního času na superpočítači Bristol. Jeho řešení, představila v novinách „Praskání problém s 33“ je:

Pak už jen týden nebo tak dávno, znovu zlomil novinky: k=42 byla objevena před, opět Booker spolu s dalším Andrew, Andrew Sutherland na MIT, pomocí crowd-source tzv. Charity Engine. Jejich odpověď je:

Pro hodnoty k mezi 1 a 1000, řešení stále lze nalézt na celá čísla 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 906, 921 a 975.

součet tří kostek problém je příklad problému žádat o řešení Diophantine rovnice, která může být definována jako:

Definition
A Diophantine equation is an algebraic equation with several unknowns and integer coefficients.

To znamená, Diophantine rovnice jsou rovnice s několika neznámými proměnnými (x,y, z, ..) jejichž řešení (=0) se objevují pouze tehdy, když koeficienty rovnice (a, b, c,…) jsou celá čísla ( … ,-2, -1, 0, 1, 2, … ).

Linear Diophantine Rovnice

linear Diophantine rovnice je rovnice prvního stupně, jejichž řešení jsou omezena na celá čísla. Typický linear Diophantine rovnice je:

kde, b a c jsou celočíselné koeficienty a x a y jsou proměnné. Typické linear Diophantine problémy se proto týkají celé částky, jako je e.g (Brilliant.org, 2019):

How many ways are there to make $2.00 from only nickels and quarters?

řešení problémů se nacházejí přiřazením proměnných, aby počet drobných (x) a počet čtvrtletí (y). Víme, že $ 2 je 200 centů (c) a že nikl má hodnotu 5 centů (a) a čtvrt 25 centů (b). Snadno tedy dospějeme k rovnici určující počet způsobů, jak můžeme mít 2.00 $v niklech a čtvrtinách:

Teď, protože to je jediné rovnice se dvěma neznámými, nemůžeme vyřešit pro jednu proměnnou v čase (jak by se dalo udělat s typickým soustavy lineárních rovnic). Místo toho, pro lineární případ, můžeme použít následující větu:

Linear Diophantine equations have integer solutions if and only if c is a multiple of the greatest common divisor of a and b.If integers (x, y) constitute a solution to the linear Diophantine equation for given a, b and c, then the other solutions have the form (x + kv, y - ku) where k is an arbitrary integer and u and v are the quotients of a and b (respectively) by the greatest common divisors of a and b.

největší společný dělitel (GCD) ze dvou nebo více celých čísel, které nejsou všechny nulové, je největší kladné celé číslo, které dělí každé z čísel. Pro náš příklad výše, můžeme začít tím, že vytknutí společný dělitel 5, získání:

největší společný dělitel a a b, 1 a 5, je to 1. Jakékoli nezáporné c je násobek 1. Existuje devět takových násobků 5, které jsou menší nebo rovny 40. Jsou to 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40. Proto existuje devět způsobů, jak vydělat $ 2.00 z niklů a čtvrtí. Jsou to:

(0, 8), (5, 7), (10, 6), (15, 5), (20, 4), (25, 3), (30, 2), (35, 1) og (40, 0).

výše uvedený postup je jednoduchý verze toho, co se nazývá Diophantine analýzy, procesu, který je potřebný pro nalezení řešení Diophantine rovnic. Otázky obvykle kladené během těchto analýz jsou:

• existují nějaká řešení?
• existují nějaká řešení nad rámec některých, která lze snadno najít kontrolou?
• existuje konečně nebo nekonečně mnoho řešení?
• lze teoreticky najít všechna řešení?
• lze v praxi vypočítat úplný seznam řešení?

Populární techniky používané k řešení Diophantine rovnic zahrnují faktor rozkladu, vymezovací pomocí nerovností, parametrizace, modulární aritmetika, indukce, Fermatova nekonečný sestup, snížení, Pell ‚ s a pokračovat frakce, poziční číselné soustavy a eliptické křivky (Wikiverzitu, 2019).

Hardy-Ramanujan Rovnice

Hardy-Ramanujan číslo 1729, známý jako „taxi cab číslo“ je definován jako „nejmenší číslo vyjádřitelné jako součet dvou kostky dvěma různými způsoby“, z anekdota Britský matematik G. H. Hardy, když navštívil Indický matematik Srinivasa Ramanujan v nemocnici:

„vzpomínám si, že jednou ho vidět, když byl nemocný v Putney. Jel jsem v taxíku číslo 1729 a poznamenal, že se mi číslo zdálo spíše nudné a že jsem doufal, že to není nepříznivé znamení. „Ne,“ odpověděl Ramanujan, “ je to velmi zajímavé číslo; je to nejmenší číslo vyjádřitelné jako součet dvou kostek dvěma různými způsoby.“— G. H. Hardy (1918)

rovnice v srdci taxíku čísla je Diophantine, tj. rovnice:

dva různé způsoby, 1729 je vyjádřitelné jako součet dvou kostky jsou 13 + 123 a 93 + 103. Zatím je známo šest čísel taxíku. Jsou to:

Ta(1) = 2 
= 1³ + 1³Ta(2) = 1,729 
= 1³ + 12³ = 9³ + 10³Ta(3) = 87,539,319 
= 167³ + 436³ = 228³ + 423³ = 255³ + 414³Ta(4) = 6,963,472,309,248 
= 2421³ + 19083³ = 5436³ + 18948³ = 10200³ + 18072³ = 13322³ + 16630³Ta(5) = 48,988,659,276,962,496
= 38787³ + 365757³ = 107839³ + 362753³ = 205292³ + 342952³ = 221424³ + 336588³ =231518³ + 331954³Ta(6) = 24,153,319,581,254,312,065,344
= 582162³ + 28906206³ = 3064173³ + 28894803³ = 8519281³ + 28657487³ = 16218068³ + 27093208³ = 17492496³ + 26590452³ = 18289922³ + 26224366³

Fermat je Poslední Teorém

Čísla vyjádřitelné jako součet kostek (jako např. ty, z součet tří kostek problém a Hardy-Ramanujan číslo) byly poprvé uvedeno v roce 1657 Bernard Frénicle de Bessy, který popsal majetku cituje příklad číslo 1729 v jeho korespondence s John Wallis a Pierre de Fermat. Fermatova jméno, protože se stal jakýmsi synonymem pro obecnější případ problému, po jeho 1637 tvrzení v rozpětí kopii Diophantus‘ Arithmetica, že žádné tři kladná celá čísla a, b, a c splňují Diophantine rovnice,

, Které Fermat (v)skvěle uvedl, že se ukázala být pravda pro celočíselné hodnoty n větší než 2, ale které nemohl zahrnout do jeho poznámek v knize, protože marže byla příliš úzký:

Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet - Pierre de Fermat, 1637

Překládal, jeho text se čte „je možné, že kostka musí být součet dvou kostky, čtvrtou být součet dvou čtvrté pravomoci, nebo obecně pro jakékoli číslo, které je větší moc než druhý, aby byl součet dvou jako síly. Objevil jsem skutečně úžasnou ukázku tohoto tvrzení, že tato marže je příliš úzká na to, aby ji obsahovala.“(Nagell, 1951).

dohad byl skvěle konečně ukázala po 358 let v roce 1994 anglický matematik Andrew Wiles v jeho papíru Modulární eliptické křivky a velká Fermatova Věta zveřejněny v Annals of Matematiky 141 (3), pp 443-551. Wilese, důkaz sporem, na 129 stran, používá techniky z algebraické geometrie a teorie čísel prokázat zvláštní případ modularita věta pro eliptické křivky, které spolu s Ribet věta znamená pravdu o velká Fermatova věta. Vzhledem k jeho rozsáhlé využití moderní matematiky, je jisté, že Wiles‘ důkaz nemůže být stejná prohlašoval, že našel Fermat, která stále zůstává ztratil (a pravděpodobně nebyl důkaz).

Pythagorova třílůžkové

možná nejvíce dobře známý Diophantine rovnice je zvláštní případ rovnice z velká Fermatova Věta, ale pro n=2. To je rovnice, která pomáhá člověku najít délku strany pravoúhlý trojúhelník

Pell Rovnice

Pell rovnice (někdy Pell-Fermatova rovnice) je každá rovnice tvaru kde n je dané kladné square-free číslo a číslo hledat řešení pro x a y:

Tento Diophantine rovnice byl poprvé zkoumán značně Indický matematik Brahmagupta kolem roku 628. Vyvinul takzvanou metodu chakravala pro její řešení a další neurčité rovnice. To asi tisíc let před jeho jmenovcem, anglickým matematikem Johnem Pellem (1611-1685), studoval při práci pod Johannem Heinrichem Rahnem. Jeho název vznikl z mylné atribuce řešení poskytované Lord Brouncker na Pell Leonard Euler v 1732-33.

Rovnice podobě Pell rovnice s n = 2 je známo, že byly studovány jak brzy jak 400 před naším LETOPOČTEM v Indii a Řecku, kromě případu, kde x2 − 2y2 = -1, protože spojení těchto dvou rovnic iracionální číslo získané z výpočtu odmocniny ze 2 (pokud x a y jsou kladná celá čísla splňující tuto rovnici, pak x/y je aproximace √2).

V Kartézské souřadnice, rovnice má tvar hyperboly, jako řešení rovnice se vyskytují všude tam, kde křivka prochází přes bod, jehož souřadnice x a y jsou celá čísla, např. x = 1, y = 0 a x = -1, y = 0. Lagrange dokázal, že pokud n není dokonalý čtverec, Pellova rovnice má nekonečně mnoho různých celočíselných řešení.

Erdős–Straus Dohad

Erdős–Straus domněnek uvádí, že pro každé celé číslo větší než 2, racionální číslo 4/n může být vyjádřen jako součet tří kladných jednotky frakcí. To znamená, že pro každé celé číslo n ≥ 2 existuje pozitivní celá čísla x,y a z taková, že:

Pokud n je složené číslo (n = pq), pak rozšíření pro 4/n může být zjištěno z rozšíření 4/p nebo 4/q. Pokud tedy protipříklad existuje, nejmenší n tvoří protipříklad by to být prvočíslo. Tento výsledek je dále omezen na jeden ze šesti nekonečných aritmetických průběhů modulo 840 (Mordell, 1967).

Ta domněnka je pojmenována po matematiků Paul Erdős a Ernst G. Straus, který formuloval v roce 1948. Od roku 2019 zůstává neprokázáno. Diofantická verze rovnice se objeví, když se člověk vynásobí jmenovatelem na obou stranách a získá svůj polynomiální tvar:

For n=5 for instance, there are two solutions:

Euler’s Sum of Powers Conjecture

Leonard Euler in 1769 incorrectly conjectured that Diophantine equations of the form

That is,

Euler's sum of powers conjecture
For all integers n and k greater than 1, if the sum of the n kth powers of positive integers is itself a kth power, then n is greater than or equal to k.

To znamená, že pokud součet prvních n podmínek aᵏ se rovná termín, který je sám o sobě kth energie (např. bᵏ), pak n musí být větší než nebo rovna k. Dohad byl pokus o Euler zobecnit velká Fermatova věta. Domněnka byla vyvrácena v roce 1966 Lander a Parkin pomocí počítačového vyhledávání, když objevili protipříklad pro případ k=5, oznámený v tzv.:

zvláštní případ k = 4 bylo později vyvráceno Elkies (1986), kteří objevili způsob konstrukce nekonečné série protipříklady. Jeho nejmenší protipříklad byl: