Diophantine egyenletek volna a híreket. Ez azért van, mert szeptember 6-án 2019-ben a Bristoli Egyetem és az MIT kutatói által vezetett csapat bejelentette, hogy felfedezték a végső megoldást az úgynevezett “három kocka összegére”, amely egész megoldásokat kér az X3 + y3 + z3 = k egyenletre az 1 és 100 közötti k értékekre. A Cambridge-i Egyetem 1954-es megfogalmazása óta, egészen 2016-ig, minden megoldást találtak, kivéve kettőt, K=33 és k=42. Ez év márciusában Andrew R. Booker matematikus az arXiv-on közzétett cikkben.org bejelentette, hogy megtalálta a helyes megoldást a k=33-ra, hetekig tartó számítási idő felhasználásával Bristol szuperszámítógépén. A “33-as probléma megoldása” című cikkben bemutatott megoldása:
>
majd, csak egy héttel ezelőtt, ismét a hír tört: k=42 fedezték fel, ismét Booker együtt egy másik Andrew, Andrew Sutherland a mit, a tömegből származó úgynevezett jótékonysági motor. A válaszuk az:
az 1 és 1000 közötti K értékek esetén az egész számokra továbbra is megoldást kell találni 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 906, 921 és 975.
A három kocka összege probléma egy példa arra a problémára, amely megoldást kér egy Diofantin egyenletre, amely meghatározható:
Definition
A Diophantine equation is an algebraic equation with several unknowns and integer coefficients.
vagyis a Diofantin egyenletek olyan egyenletek,amelyek több Ismeretlen változót tartalmaznak (x, y, z,..), amelyek megoldásai (=0) csak akkor jelennek meg, ha az egyenlet együtthatói (a, b, c,…) egészek ( … ,-2, -1, 0, 1, 2, … ).
A lineáris Diofantin egyenlet
a lineáris Diofantin egyenlet az első fokú egyenlet, amelynek megoldásai egész számokra korlátozódnak. A prototípusos lineáris Diofantin egyenlet a következő:
ahol a, B és C egész együtthatók, X és y pedig változók. A tipikus lineáris Diofantin problémák tehát egész mennyiségeket érintenek, például (Brilliant.org, 2019):
How many ways are there to make $2.00 from only nickels and quarters?
a probléma megoldásait úgy találjuk meg, hogy változókat rendelünk a nickelek (x) és a negyedek (y) számához. Tudjuk, hogy 2 dollár 200 cent (c), és hogy egy nikkel 5 cent (a) és egy negyed 25 cent (b). Így könnyen eljutunk az egyenlethez, amely meghatározza, hogy hány módon lehet 2,00 dollár nickelekben és negyedekben:
Most, mert ez az egyetlen egyenlet, két ismeretlen, nem tudunk megoldani egy változó, egy időben (mint egy jól jönne egy tipikus lineáris egyenletrendszer). Ehelyett a lineáris esetre a következő tételt használhatjuk:
Linear Diophantine equations have integer solutions if and only if c is a multiple of the greatest common divisor of a and b.If integers (x, y) constitute a solution to the linear Diophantine equation for given a, b and c, then the other solutions have the form (x + kv, y - ku) where k is an arbitrary integer and u and v are the quotients of a and b (respectively) by the greatest common divisors of a and b.
két vagy több egész szám legnagyobb közös osztója (GCD), amelyek nem mind nulla, a legnagyobb pozitív egész szám, amely elosztja az egyes egész számokat. A fenti példánkban kezdhetjük az 5 közös osztó faktorálásával, megszerezve:
az A és B, 1 és 5 legnagyobb közös osztója 1. Bármely nem negatív c az 1 többszöröse. Kilenc ilyen 5-ös többszöröse van, amelyek 40-nél kisebbek vagy egyenlőek. Ezek 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40. Ezért kilenc módon lehet 2,00 dollárt keresni a nickels and quarters – ből. Ezek:
(0, 8), (5, 7), (10, 6), (15, 5), (20, 4), (25, 3), (30, 2), (35, 1) és (40, 0).
a fenti folyamat egy egyszerű változata az úgynevezett Diophantine analízisnek, amely a Diophantine egyenletek megoldásának megtalálásához szükséges folyamat. Az ilyen elemzések során általában feltett kérdések a következők:
- vannak-e megoldások?
- vannak-e olyan megoldások, amelyek néhányon túl könnyen megtalálhatók az ellenőrzés során?
- van véges vagy végtelen sok megoldás?
- elméletben minden megoldás megtalálható?
- a gyakorlatban ki lehet számítani a megoldások teljes listáját?
a Diofantikus egyenletek megoldására használt népszerű technikák közé tartozik a faktorbomlás, az egyenlőtlenségek korlátozása, parametrizáció, moduláris aritmetika, indukció, Fermat végtelen leszármazása, Pell és folytonos frakciókra való redukció, helyzeti számrendszerek és elliptikus görbék (Wikiversity, 2019).
A Hardy-Ramanujan egyenlet
A Hardy-Ramanujan szám 1729, az úgynevezett “taxi Cab szám” meghatározása: “a legkisebb szám, amelyet két kocka összegeként lehet kifejezni két különböző módon”, a brit matematikus anekdotájából G. H. Hardy, amikor meglátogatta Srinivasa Ramanujan Indiai matematikust a kórházban:
” emlékszem, egyszer láttam őt, amikor beteg volt Putney-ban. Az 1729-es taxiban ültem, és megjegyeztem, hogy ez a szám számomra meglehetősen unalmasnak tűnik, és remélem, hogy nem kedvezőtlen előjel. “Nem,” Ramanujan válaszolt, ” Ez egy nagyon érdekes szám; ez a legkisebb szám, amelyet két kocka összegeként lehet kifejezni két különböző módon.”- G. H. Hardy (1918)
a taxicab számok középpontjában álló egyenlet Diofantin, nevezetesen az egyenlet:
az 1729 két különböző módja kifejezhető, mivel két kocka összege 13 + 123 és 93 + 103. Eddig hat taxiszám ismert. Ezek:
Ta(1) = 2
= 1³ + 1³Ta(2) = 1,729
= 1³ + 12³ = 9³ + 10³Ta(3) = 87,539,319
= 167³ + 436³ = 228³ + 423³ = 255³ + 414³Ta(4) = 6,963,472,309,248
= 2421³ + 19083³ = 5436³ + 18948³ = 10200³ + 18072³ = 13322³ + 16630³Ta(5) = 48,988,659,276,962,496
= 38787³ + 365757³ = 107839³ + 362753³ = 205292³ + 342952³ = 221424³ + 336588³ =231518³ + 331954³Ta(6) = 24,153,319,581,254,312,065,344
= 582162³ + 28906206³ = 3064173³ + 28894803³ = 8519281³ + 28657487³ = 16218068³ + 27093208³ = 17492496³ + 26590452³ = 18289922³ + 26224366³
Fermat utolsó tétele
számok kifejezhető, mint az összeg kockák (mint például azok az összeg három kocka probléma és a Hardy-Ramanujan szám) először említette 1657-ben Bernard fr ingatlan az 1729-es szám példájára hivatkozva John Wallis-szal való levelezésében és Pierre de Fermat. Fermat neve azóta kissé szinonimájává vált a probléma általánosabb esetével, miután 1637-ben a Diophantus Arithmetica másolatának margóján azt állította, hogy nincs három pozitív a, b és c egész szám, amely kielégíti a Diophantine egyenletet
melyik Fermat (in)híresen kijelentette, hogy igaznak bizonyult a 2-nél nagyobb N egész értékekre, de amelyeket nem tudott belefoglalni a jegyzeteibe a könyvben, mert a margó nem volt túl szűk:
Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet - Pierre de Fermat, 1637
lefordítva szövege így szól: “lehetetlen, hogy egy kocka két kocka összege legyen, a negyedik hatalom két negyedik hatvány összege legyen, vagy általában bármely olyan szám esetében, amely nagyobb, mint a második, két hasonló hatvány összege. Felfedeztem ennek a javaslatnak egy igazán csodálatos demonstrációját, amelyet ez a mozgástér túl szűk ahhoz, hogy tartalmazzon.”(Nagell, 1951).
a sejtés volt híresen végül bizonyított után 358 év 1994-ben az angol matematikus Andrew Wiles az ő papír moduláris elliptikus görbék és Fermat utolsó tétel megjelent az Annals of Mathematics 141 (3), pp 443-551. Wiles 129 oldalas ellentmondással való igazolása az algebrai geometria és a számelmélet technikáit használja az elliptikus görbék modularitási tételének speciális esetének bizonyítására, amely Ribet tételével együtt Fermat Utolsó tételének igazságát vonja maga után. A modern matematika széles körű használata miatt bizonyos, hogy Wiles bizonyítéka nem lehet ugyanaz, mint amit Fermat talált-ami még mindig elveszett (és valószínűleg egyáltalán nem volt bizonyíték).
Pitagorasz hármas
a talán legismertebb Diofantin-egyenlet az összes közül a Fermat Utolsó tételéből származó egyenlet sajátos esete, de n=2. Ez az egyenlet, amely segít megtalálni a hossza az oldalán, jobbra ferde háromszög
Pell-egyenlet
Pell-egyenlet (néha a Pell-Fermat-egyenlet) a következő forma bármely egyenlete, ahol n egy adott pozitív négyzetmentes egész szám, és egész megoldásokat keresünk x és y esetén:
ezt a diofantikus egyenletet először az indiai matematikus, Brahmagupta tanulmányozta alaposan 628 körül. Kifejlesztette az úgynevezett chakravala módszert más meghatározatlan egyenletek megoldására. Ez körülbelül ezer évvel a névadója előtt John Pell (1611-1685) angol matematikus tanulmányozta, miközben Johann Heinrich Rahn alatt dolgozott. A neve abból a téves hozzárendelésből származik, amelyet Lord Brouncker adott Pellnek Leonard Euler 1732-33-ban.
A Pell-egyenlet N = 2-vel való alakjának egyenleteit már Kr.E. 400 − ban tanulmányozták mind Indiában, mind Görögországban, azon az eseten kívül, amikor x2-2y2 = -1, mivel e két egyenlet kapcsolódik a 2 négyzetgyökének kiszámításából kapott irracionális számhoz (ha x és y pozitív egész számok, amelyek kielégítik ezt az egyenletet, akkor x/y közelíti meg a 2.
derékszögű koordinátákban az egyenlet hiperbola alakú, mivel az egyenlet megoldásai akkor fordulnak elő, amikor a görbe áthalad egy olyan ponton, amelynek x és y koordinátái mind egész számok, például x = 1, y = 0 és x = -1, y = 0. Lagrange bebizonyította, hogy mindaddig, amíg n nem tökéletes négyzet, Pell egyenletének végtelen sok különálló egész megoldása van.
az ERD ++ – Straus-sejtés
az ERD ++ – Straus-sejtés azt állítja, hogy minden 2-nél nagyobb egész számra a 4/n racionális szám három pozitív egységfrakció összegeként fejezhető ki. Ez azt jelenti, hogy minden n 2. számú egész számra létezik X, y és z pozitív egész szám,így:
Ha n összetett szám (n=PQ), akkor a 4/n kiterjesztése megtalálható a 4/p vagy 4 / Q kiterjesztéséből.így ha létezik ellenpélda, akkor az ellenpéldát alkotó legkisebb n-nek prímszámnak kell lennie. Ez az eredmény tovább korlátozódik a hat végtelen számtani progresszió egyikére modulo 840 (Mordell, 1967).
a sejtést Paul Erdogan és Ernst G. Straus matematikusokról nevezték el, akik 1948-ban fogalmazták meg. 2019-től nem bizonyított. Az egyenlet Diofantikus változata akkor jelenik meg, amikor az egyik mindkét oldalon a nevezővel megszorozódik, és megkapja a polinom formáját:
For n=5 for instance, there are two solutions:
Euler’s Sum of Powers Conjecture
Leonard Euler in 1769 incorrectly conjectured that Diophantine equations of the form
That is,
Euler's sum of powers conjecture
For all integers n and k greater than 1, if the sum of the n kth powers of positive integers is itself a kth power, then n is greater than or equal to k.
azaz, hogy ha az összeg az első n kifejezések a ++ egyenlő egy olyan kifejezés, amely maga a K-edik hatalom (pl. B)), akkor n nagyobbnak vagy egyenlőnek kell lennie k. a sejtés Euler kísérlete volt Fermat utolsó tételének általánosítására. A sejtést 1966-ban Lander és Parkin számítógépes kereséssel cáfolta, amikor felfedezték a K=5 eset ellenpéldáját, amelyet az úgynevezett “valaha megjelent legrövidebb cikk”jelentett be: