Geometrisk serieredit

enhver summationsmetode, der besidder egenskaberne af regelmæssighed, linearitet og stabilitet, vil opsummere en geometrisk serie

liter k = 0 liter a r k = a 1 − r . {\displaystyle \ sum _ {k=0}^{\infty }ar^{k}={\frac {a}{1-r}}.}

i dette tilfælde a = 1 og r = -2, så summen er 1/3.

Euler summationEdit

i sine 1755 institutioner tog Leonhard Euler effektivt det, der nu kaldes Euler-transformationen af 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯, ankomst til den konvergente serie 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯. Da sidstnævnte beløber sig til 1/3, konkluderede Euler, at 1 − 2 + 4 − 8 + … = 1/3. Hans ideer om uendelige serier følger ikke helt den moderne tilgang; i dag siger man det 1 − 2 + 4 − 8 + … er Euler summable, og at dens Euler sum er 1/3.

Euler-transformationen begynder med sekvensen af positive udtryk:

a0 = 1, a1 = 2, a2 = 4, a3 = 8,…

sekvensen af fremadgående forskelle er derefter

Lira0 = A1 − A0 = 2 − 1 = 1, Lira1 = a2 − A1 = 4 − 2 = 2, Lira2 = a3 − A2 = 8 − 4 = 4, Lira3 = A4 − a3 = 16-8 = 8,…

hvilket er lige den samme rækkefølge. Derfor starter de itererede forskellesekvenser alle med Larpna0 = 1 for hver n. Euler-transformationen er serien

A 0 2-Lot A 0 4 + Lot 2 a 0 8-Lot 3 a 0 16 + ⋯ = 1 2 − 1 4 + 1 8 − 1 16 + ⋯ . {\displaystyle {\frac {a_{0}}{2}}-{\frac {\Delta a_{0}}{4}}+{\frac {\Delta ^{2}a_{0}}{8}}-{\frac {\Delta ^{3}a_{0}}{16}}+\cdots ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}} + \cdots .}

Dette er en konvergent geometrisk serie, hvis sum er 1/3 ved den sædvanlige formel.

Borel summationrediger

Borel summen af 1 − 2 + 4 − 8 + også 1/3; da Borel introducerede grænseformuleringen af Borel summation i 1896, var dette et af hans første eksempler efter 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯

p-adiske talrediger

sekvensen af delvise Summer forbundet med 1 − 2 + 4 − 8 … {\displaystyle 1-2 + 4-8 \ ldots }

i 2-adic metric er 1 , − 1 , 3 , − 5 , 11 , … {\displaystyle 1,-1,3, -5,11,\ldots }