Diofantiske ligninger har været i nyhederne på det seneste. Dette fordi den 6. September 2019 meddelte et hold ledet af forskere ved University of Bristol og MIT, at de havde opdaget den endelige løsning på det såkaldte “summer of three cubes”-problem, der beder om heltalsløsninger til ligningen H3 + y3 + H3 = k for værdier på k mellem 1 og 100. Siden formuleringen i 1954 ved University of Cambridge, indtil 2016, var hver løsning fundet undtagen to, for k=33 og k=42. I Marts i år, matematiker Andreas R. Booker i et papir offentliggjort på arksiv.org meddelte, at han havde fundet den rigtige løsning til k=33 ved hjælp af ugers beregningstid på Bristols supercomputer. Hans løsning, præsenteret i papiret “Cracking problemet med 33” er:
>
så for bare en uges tid siden brød nyheden igen: k=42 var blevet opdaget, igen af booker sammen med en anden Andrei, andre Sutherland på mit, ved hjælp af den såkaldte velgørenhedsmotor. Deres svar er:
for værdier på K mellem 1 og 1000 er der stadig løsninger, der findes for heltalene 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 906, 921 og 975.
summen af tre kuber problem er et eksempel på et problem, der beder om løsninger på en Diophantin ligning, som kan defineres som:
Definition
A Diophantine equation is an algebraic equation with several unknowns and integer coefficients.
det vil sige,Diophantine ligninger er ligninger med flere ukendte variabler (h, y, å,..) hvis løsninger (=0) kun vises, når koefficienterne i ligningen (a, b, c,…) er heltal ( … ,-2, -1, 0, 1, 2, … ).
den lineære Diophantinligning
en lineær Diophantinligning er en ligning af den første grad, hvis løsninger er begrænset til heltal. Den prototypiske lineære Diofantinligning er:
hvor A, B og C er heltalskoefficienter og Y er variabler. Typiske lineære diofantinproblemer involverer derfor hele mængder, såsom f.eks. (Brilliant.org, 2019):
How many ways are there to make $2.00 from only nickels and quarters?
løsningerne på problemet findes ved at tildele variabler til antallet af nikkel (h) og antallet af kvartaler (y). Vi ved, at $2 er 200 cent (c), og at en nikkel er værd 5 cent (A) og en fjerdedel 25 cent (b). Således kommer vi let frem til ligningen, der angiver antallet af måder, hvorpå vi kan have $2,00 i nikkel og kvartaler:
nu, fordi dette er en enkelt ligning med to ukendte, kan vi ikke løse for en variabel ad gangen (som man kunne gøre med et typisk system af lineære ligninger). I stedet for det lineære tilfælde kan vi bruge følgende sætning:
Linear Diophantine equations have integer solutions if and only if c is a multiple of the greatest common divisor of a and b.If integers (x, y) constitute a solution to the linear Diophantine equation for given a, b and c, then the other solutions have the form (x + kv, y - ku) where k is an arbitrary integer and u and v are the quotients of a and b (respectively) by the greatest common divisors of a and b.
den største fælles divisor (GCD) af to eller flere heltal, som ikke alle er nul, er det største positive heltal, der deler hvert af heltalene. For vores eksempel ovenfor kan vi begynde med at factorere den fælles divisor 5 og opnå:
den største fælles divisor af A og B, 1 og 5, er 1. Enhver ikke-negativ c er et multiplum af 1. Der er ni sådanne multipla af 5, som er mindre end eller lig med 40. De er 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40. Derfor er der ni måder at gøre $2,00 fra nickels og kvartaler. De er:
(0, 8), (5, 7), (10, 6), (15, 5), (20, 4), (25, 3), (30, 2), (35, 1) og (40, 0).
ovenstående proces er en simpel version af det, der kaldes Diophantinanalyse, den proces, der kræves for at finde løsninger på Diophantine ligninger. De spørgsmål, der typisk stilles under sådanne analyser, er:
- er der nogen løsninger?
- er der nogen løsninger ud over nogle, der let findes ved inspektion?
- er der endeligt eller uendeligt mange løsninger?
- kan alle løsninger findes i teorien?
- kan man i praksis beregne en komplet liste over løsninger?
populære teknikker, der bruges til at løse Diofantinske ligninger, inkluderer faktornedbrydning, afgrænsning af uligheder, parametrisering, modulær aritmetik, induktion, Fermats uendelige afstamning, reduktion til Pells og fortsatte fraktioner, positionelle talsystemer og elliptiske kurver (
Hardy-Ramanujan-ligningen
Hardy-Ramanujan-nummeret 1729, kendt som et “førerhusnummer”, defineres som “det mindste antal, der kan udtrykkes som summen af to terninger på to forskellige måder”, fra en anekdote fra den britiske matematiker G. H. Hardy, da han besøgte den indiske matematiker Srinivasa Ramanujan på hospitalet:
“Jeg kan huske, at jeg engang skulle se ham, da han var syg på Putney. Jeg havde kørt i førerhus nummer 1729 og bemærkede, at antallet forekom mig temmelig kedeligt, og at jeg håbede, at det ikke var et ugunstigt tegn. “Nej,” svarede Ramanujan, ” det er et meget interessant tal; det er det mindste antal, der kan udtrykkes som summen af to terninger på to forskellige måder.”- G. H. Hardy (1918)
ligningen i hjertet af taksicab-tal er Diophantin, nemlig ligningen:
de to forskellige måder 1729 kan udtrykkes, da summen af to terninger er 13 + 123 og 93 + 103. Indtil videre er seks numre kendt. De er:
Ta(1) = 2
= 1³ + 1³Ta(2) = 1,729
= 1³ + 12³ = 9³ + 10³Ta(3) = 87,539,319
= 167³ + 436³ = 228³ + 423³ = 255³ + 414³Ta(4) = 6,963,472,309,248
= 2421³ + 19083³ = 5436³ + 18948³ = 10200³ + 18072³ = 13322³ + 16630³Ta(5) = 48,988,659,276,962,496
= 38787³ + 365757³ = 107839³ + 362753³ = 205292³ + 342952³ = 221424³ + 336588³ =231518³ + 331954³Ta(6) = 24,153,319,581,254,312,065,344
= 582162³ + 28906206³ = 3064173³ + 28894803³ = 8519281³ + 28657487³ = 16218068³ + 27093208³ = 17492496³ + 26590452³ = 18289922³ + 26224366³
Fermats sidste sætning
tal, der kan udtrykkes som summen af terninger (såsom dem fra summen af tre kuber problem og Hardy-Ramanujan nummer) blev først nævnt i 1657 af Bernard fr ejendom citerer eksemplet på nummer 1729 i hans korrespondancer med John og Pierre de Fermat. Fermats navn siden er blevet noget synonymt med det mere generelle tilfælde af problemet efter hans 1637-påstand i margenen på en kopi af Diophantus’ Arithmetica, at ingen tre positive heltal A, b og c tilfredsstiller Diophantinligningen
som Fermat (in) berømt sagde, at han havde vist sig at være sand for heltalsværdier på n større end 2, men som han ikke kunne medtage i sine noter i bogen, fordi margenen var for smal:
Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet - Pierre de Fermat, 1637
oversat, hans tekst lyder “det er umuligt for en terning at være summen af to terninger, en fjerde magt at være summen af to fjerde kræfter, eller generelt for ethvert tal, der er en magt større end den anden, der er summen af to lignende kræfter. Jeg har opdaget en virkelig fantastisk demonstration af dette forslag om, at denne margen er for snæver til at indeholde.”(Nagell, 1951).formodningen blev berømt endelig bevist efter 358 år i 1994 af den engelske matematiker Andreas viles i hans papir modulære elliptiske kurver og Fermats sidste sætning offentliggjort i Annals of Mathematics 141 (3), s.443-551. 129 sider lang bruger teknikker fra algebraisk geometri og talteori til at bevise et specielt tilfælde af modularitetssætningen for elliptiske kurver, som sammen med Ribet ‘ s sætning indebærer sandheden i Fermats sidste sætning. På grund af sin omfattende brug af moderne matematik er det sikkert, at viles’ bevis ikke kan være det samme, der hævdes at blive fundet af Fermat — som stadig er tabt (og sandsynligvis slet ikke var et bevis).
Pythagoras tredobler
den måske mest kendte Diophantine ligning af alle er et særligt tilfælde af ligningen fra Fermats sidste sætning, men for n=2. Dette er ligningen, som hjælper en med at finde længden af siderne af en retvinklet trekant
animation, der demonstrerer den enkleste pythagoranske Triple, 32 + 42=52 (
Pells ligning
Pells ligning (undertiden Pell-Fermat-ligningen) er en hvilken som helst ligning af følgende form, hvor n er et givet positivt kvadratfrit heltal, og heltalsløsninger søges til:
denne Diophantine ligning blev først undersøgt grundigt af den indiske matematiker Brahmagupta omkring år 628. Han udviklede den såkaldte chakravala-metode til løsning af den og andre ubestemte ligninger. Dette omkring tusind år før sin navnebror studerede den engelske matematiker John Pell (1611-1685) det, mens han arbejdede under Johann Heinrich Rahn. Dets navn stammer fra en fejlagtig tilskrivning af en løsning leveret af Lord Brouncker til Pell af Leonard Euler i 1732-33.
ligninger af formen af Pells ligning med n = 2 er kendt for at være blevet undersøgt så tidligt som 400 F. kr. i både Indien og Grækenland, ud over det tilfælde, hvor H2 − 2Y2 = -1 på grund af forbindelsen mellem disse to ligninger til det irrationelle tal opnået ved beregning af kvadratroden af 2 (Hvis h og y er positive heltal, der opfylder denne ligning, så er H/y en tilnærmelse af kr2).i kartesiske koordinater har ligningen form af en hyperbola, da løsninger på ligningen forekommer, uanset hvor kurven passerer gennem et punkt, hvis koordinater er begge heltal, såsom 1, y = 0 og -1, y = 0. Lagrange beviste, at så længe n ikke er en perfekt firkant, har Pells ligning uendeligt mange forskellige heltalsløsninger.
Erd–Kris-Straus-formodningen
Erd–Kris-Straus-formodningen siger, at for hvert heltal større end 2 kan det rationelle tal 4 / n udtrykkes som summen af tre positive enhedsfraktioner. Det vil sige, for hvert heltal n-2 findes der positive heltal s, y OG Å sådan,at:
div >
Hvis n er et sammensat tal (n=PK), så kunne en udvidelse for 4/n findes fra en udvidelse af enten 4 / p eller 4 / k. hvis der således findes et modeksempel, skal den mindste n, der danner et modeksempel, være et primtal. Dette resultat begrænses yderligere til en af seks uendelige aritmetiske progressioner modulo 840 (Mordell, 1967).
Formodningen er opkaldt efter matematikere Paul Erdős og Ernst G. Straus, der formulerede det i 1948. Det forbliver uprøvet fra 2019. Den Diophantine version af ligningen vises, når man multiplicerer med nævneren på begge sider og opnår sin polynomiske form:
For n=5 for instance, there are two solutions:
Euler’s Sum of Powers Conjecture
Leonard Euler in 1769 incorrectly conjectured that Diophantine equations of the form
That is,
Euler's sum of powers conjecture
For all integers n and k greater than 1, if the sum of the n kth powers of positive integers is itself a kth power, then n is greater than or equal to k.
det vil sige, at hvis summen af de første n-udtryk for en Krin er lig med et udtryk, der i sig selv er en kth-magt (f. eks.B-Krin), så skal n være større end eller lig med k. formodningen var et forsøg fra Euler på at generalisere Fermats sidste sætning. Formodningen blev modbevist i 1966 af Lander og Parkin gennem computersøgning, da de opdagede et modeksempel på sagen k=5, annonceret i det såkaldte “korteste papir, der nogensinde er offentliggjort”:
det specielle tilfælde af k = 4 blev senere modbevist af Elkies (1986), der opdagede en metode til konstruktion af uendelig række modeksempler. Hans mindste modeksempel var: