De combien de façons un jeu de cartes peut-il être organisé? Il est très facile de calculer la réponse, mais très difficile de saisir sa signification.

Il y a 52 cartes. Ainsi, le premier peut être choisi de 52 manières. La prochaine peut être l’une des 51 cartes restantes. Pour le troisième, il y a 50 choix, et ainsi de suite jusqu’à ce qu’il ne reste qu’une seule carte, ne laissant que la possibilité de la mettre en dernier.

Par conséquent, le nombre total de possibilités est

Ce nombre est appelé factoriel 52. Dire que c’est un grand nombre est un euphémisme. Le programme Mathematica peut calculer avec une précision arbitraire et la saisie de la factorielle de commande donne le résultat suivant :

Dans notation plus compressée, c’est , ou, pour une seule précision, ; c’est-à-dire 1 suivi de 68 zéros.

Décrivant 52!

Il est difficile d’illustrer la taille de en termes de tout ce qui est pratique. Les gens ont parlé du nombre de gouttes dans l’océan ou du nombre de grains de sable qui rempliraient le Grand Canyon. Ces nombres ne se rapprochent nulle part de .

Le nombre d’atomes dans l’univers observable est estimé à environ , qui est un billion de fois plus grand que . Mais cela nous aide-t-il vraiment à visualiser à quoi ressemble l’un ou l’autre de ces nombres? L’article de Wikipédia sur les noms de Grands Nombres décrit comme un unvigintillion. Ainsi, est environ quatre-vingts unvigintillion. Mais ce n’est qu’un nom.

L’Univers est secondes. Si un arrangement aléatoire de cartes était choisi chaque seconde pendant toute la vie de l’Univers, seule une infime fraction de tous les ordres possibles serait sélectionnée. La chance que la même commande soit choisie deux fois est tout à fait négligeable. Même si un milliard d’arrangements étaient choisis chaque seconde, il n’y aurait toujours aucune chance réelle de dupliquer.

Pour une description amusante de l’ampleur étonnante de , voir http://czep.net/weblog/52cards.html

L’approximation de Stirling

Le calcul du nombre est simple. Multipliez simplement 52 par 51, le résultat par 50 et ainsi de suite jusqu’à ce que vous atteigniez 1. Mais comme c’est fastidieux et à quel point c’est sujet aux erreurs!

Il existe une belle expression donnant une approximation à toute factorielle, nommée en l’honneur de James Stirling (1692-1770), un mathématicien écossais (bien qu’il semble que le résultat ait été déclaré plus tôt par Abraham de Moivre). L’approximation est

C’est en fait le premier terme d’une expansion asymptotique. En prenant le terme suivant, nous avons

En branchant l’argument , la première formule donne ce qui est correct à 2 décimales. La deuxième formule donne , avec une erreur relative d’une seule partie sur un million.

Une autre approximation a été trouvée parmi les articles du mathématicien indien Srinivasa Ramanujan et publiée dans son Cahier perdu en 1988:

Cela donne à une partie sur un milliard.

Mélanger et répéter les ordres

Avec un si grand nombre de possibilités, on peut se demander si un ordre choisi au hasard d’un jeu de cartes se produit plus d’une fois. En faisant des hypothèses très raisonnables, il est facile de soutenir qu’un ordre particulier ne se produira jamais deux fois au cours de la vie de l’Univers. Ainsi, lorsque vous mélangez soigneusement les cartes, vous êtes obligé d’arriver à une commande qui n’a jamais été vue auparavant et ne sera plus jamais revue.

Cependant, il y a une grande condition ici. Le brassage des cartes doit être suffisamment approfondi pour assurer une véritable randomisation. Des études mathématiques ont indiqué qu’un petit nombre de mélanges efficaces suffisent pour mélanger le paquet dans un ordre aléatoire. Bayer et Diaconis (1992) ont montré qu’après sept brassages aléatoires de riffles, l’un des 52! les configurations possibles sont également probables.