Les fonctions de distribution ne sont rien d’autre que les fonctions de densité de probabilité utilisées pour décrire la probabilité avec laquelle une particule particulière peut occuper un niveau d’énergie particulier. Lorsque nous parlons de fonction de distribution de Fermi-Dirac, nous sommes particulièrement intéressés par la connaissance de la chance par laquelle nous pouvons trouver un fermion dans un état d’énergie particulier d’un atome (plus d’informations à ce sujet peuvent être trouvées dans l’article « États de l’énergie atomique”). Ici, par fermions, on entend les électrons d’un atome qui sont les particules à ½ spin, liées au principe d’exclusion de Pauli.

Nécessité de la fonction de distribution de Fermi Dirac

Dans des domaines tels que l’électronique, un facteur particulier qui revêt une importance primordiale est la conductivité des matériaux. Cette caractéristique du matériau se traduit par le nombre d’électrons libres dans le matériau pour conduire l’électricité.

Selon la théorie des bandes d’énergie (voir l’article « Bandes d’énergie dans les cristaux” pour plus d’informations), ce sont le nombre d’électrons qui constituent la bande de conduction du matériau considéré. Ainsi, pour avoir une idée sur le mécanisme de conduction, il est nécessaire de connaître la concentration des porteuses dans la bande de conduction.

Expression de distribution de Dirac de Fermi

Mathématiquement, la probabilité de trouver un électron dans l’état d’énergie E à la température T est exprimée comme

Où,

est la constante de Boltzmann
T est la température absolue
Ef est le niveau de Fermi ou l’énergie de Fermi

Maintenant, essayons de comprendre la signification du niveau de Fermi. Pour ce faire, mettez

dans l’équation (1). Ce faisant, nous obtenons,

Cela signifie que le niveau de Fermi est le niveau auquel on peut s’attendre à ce que l’électron soit présent exactement 50% du temps.

Niveau de Fermi dans les semi-conducteurs

Les semi-conducteurs intrinsèques sont les semi-conducteurs purs qui ne contiennent aucune impureté. En conséquence, ils sont caractérisés par une chance égale de trouver un trou que celle d’un électron. Cela implique qu’ils ont le niveau de Fermi exactement entre les bandes de conduction et de valence comme le montre la figure 1a.

Ensuite, considérons le cas d’un semi-conducteur de type n. Ici, on peut s’attendre à ce que plus d’électrons soient présents par rapport aux trous. Cela signifie qu’il y a plus de chances de trouver un électron proche de la bande de conduction que de trouver un trou dans la bande de valence. Ainsi, ces matériaux ont leur niveau de Fermi situé plus près de la bande de conduction comme le montre la figure 1b.
Suivant les mêmes motifs, on peut s’attendre à ce que le niveau de Fermi dans le cas de semi-conducteurs de type p soit présent près de la bande de valence (Figure 1c). En effet, ces matériaux manquent d’électrons c’est-à-dire qu’ils ont plus de trous ce qui rend la probabilité de trouver un trou dans la bande de valence plus élevée que celle de trouver un électron dans la bande de conduction.

Effet de la température sur la Fonction de distribution de Fermi-Dirac

À T= 0 K, les électrons auront une énergie faible et occuperont ainsi des états d’énergie plus faibles. L’état d’énergie le plus élevé parmi ces états occupés est appelé niveau de Fermi. Cela signifie qu’aucun état d’énergie situé au-dessus du niveau de Fermi n’est occupé par des électrons. On a donc une fonction pas à pas définissant la fonction de distribution de Fermi-Dirac comme le montre la courbe noire de la figure 2.
Cependant, à mesure que la température augmente, les électrons gagnent de plus en plus d’énergie grâce à laquelle ils peuvent même atteindre la bande de conduction. Ainsi, à des températures plus élevées, on ne peut distinguer clairement les états occupés et les états inoccupés comme l’indiquent les courbes bleue et rouge de la figure 2.