Mars 2005

Dans ce numéro:

• Introduction aux Graphiques X-R
• Exemple
• Quand utiliser les graphiques X-R
• Étapes de la construction d’un Graphique X-R
• Résumé
• Liens rapides

Ce mois-ci est le premier dans une publication en plusieurs parties sur des graphiques X-R. Ce mois-ci, nous présentons le graphique et fournissons les étapes de la construction d’un graphique X-R. Le mois prochain, nous examinerons un exemple détaillé d’un graphique X-R. Le diagramme X-R est un type de diagramme de contrôle qui peut être utilisé avec des données de variables. Comme la plupart des autres graphiques de contrôle de variables, il s’agit en fait de deux graphiques. Un graphique concerne les moyennes des sous-groupes (X). L’autre graphique concerne les plages de sous-groupes (R). Ces graphiques sont un outil très puissant pour surveiller la variation d’un processus et détecter les changements dans la moyenne ou la quantité de variation du processus.

Introduction aux graphiques X-R

Supposons que vous soyez membre d’une équipe de bowling. Vous jouez trois matchs par soir une fois par semaine dans une ligue de bowling. Vous êtes intéressé à déterminer si vous améliorez votre jeu de bowling. Quelles sont les différentes approches que vous pourriez utiliser? Une idée est que vous puissiez tracer le score de chaque match. Cependant, vous êtes plus intéressé par votre score moyen sur une nuit donnée. Une autre idée est donc de tracer la moyenne des trois matchs chaque soir. Vous souhaitez certainement augmenter cette moyenne au fil du temps. Vous êtes également intéressé à être plus cohérent, c’est-à-dire à ne pas avoir un grand jeu suivi d’un pauvre. Ainsi, une autre idée est de garder une trace de la gamme de scores pour les trois matchs chaque soir. Dans des situations comme celle-ci (lorsque vous souhaitez surveiller les moyennes au fil du temps tout en gardant une trace de la variation entre les résultats individuels), le graphique X-R est très utile.

Le diagramme X-R est une méthode permettant d’examiner deux sources de variation différentes. Une source est la variation des moyennes des sous-groupes. L’autre source est la variation au sein d’un sous-groupe. Considérons l’exemple de bowling ci-dessus. Vous disposez de données assez fréquemment (trois matchs par semaine). Vous pouvez également sous-regrouper rationnellement les données. Les trois jeux individuels que vous jouez en une nuit peuvent être utilisés pour former un sous-groupe.

En continuant avec l’exemple de bowling, supposons qu’une nuit vos trois scores de bowling soient 169, 155 et 189. Ces trois scores forment un sous-groupe. Vous pouvez calculer la plage de ce sous-groupe en soustrayant le score minimum du score maximum. Ainsi, la plage est:

Range=Maximum-Minimum=189 – 155=34

Vous pouvez tracer cette valeur sur un graphique range(R). Ceci est fait pour chaque sous-groupe (une nuit de bowling trois parties). Le diagramme de répartition montre la variation au sein de chaque sous-groupe, c’est-à-dire, la quantité de variation de vos scores de bowling sur une nuit. Vous souhaitez que cette variation soit faible et constante dans le temps.

Le graphique des moyennes (X) présente une variation différente de celle du graphique des plages. En utilisant les trois scores ci-dessus, vous pouvez calculer un score moyen pour la nuit en prenant la moyenne des trois scores individuels. La moyenne du sous-groupe est :

X = (169+155+189)/3 = 171

Vous pouvez tracer cette valeur sur le graphique X. Ceci est fait pour chaque sous-groupe. Le graphique X montre la variation hebdomadaire de votre score de bowling moyen hebdomadaire. Vous souhaitez que cette variation soit faible et constante dans le temps. Cela vous permet de prédire quel sera votre score moyen sur n’importe quelle nuit, dans certaines limites.

La figure ci-dessous est un exemple du graphique X-R pour cet exemple de bowling. La partie supérieure de la figure est le graphique en X. Chaque score moyen hebdomadaire de bowling (c’est-à-dire la moyenne des trois jeux individuels) est tracé. La moyenne globale (Xdbar = X double barre) a été calculée et tracée en ligne continue. Xdbar est la moyenne de toutes les moyennes des sous-groupes. Les limites de contrôle supérieures et inférieures ont également été calculées et tracées. Le graphique X est en contrôle statistique. La partie inférieure de la figure est le graphique range(R). La plage est tracée pour chaque semaine. La plage moyenne et les limites de contrôle ont été calculées et tracées. La gamme est également en contrôle statistique.

Qu’est-ce que cela signifie lorsque le graphique X-R est en contrôle statistique? Cela signifie que la moyenne du sous-groupe est constante dans le temps et que la variation au sein d’un sous-groupe est constante dans le temps. Nous pouvons prédire ce que le processus fera dans un avenir proche. Dans l’exemple de bowling, cela signifie que vous pouvez prédire quelle sera la moyenne de vos trois parties sur une nuit donnée. Votre moyenne se situera entre environ 158 et 208 avec une moyenne à long terme d’environ 183. Vous pouvez également prédire quelle sera votre gamme de scores de bowling sur une nuit donnée. La plage peut aller de 0 à environ 62 avec une plage moyenne d’environ 24. Tant que le processus reste en contrôle (votre bowling), les résultats resteront les mêmes.

Exemple

Quand utiliser les graphiques X-R

Les graphiques X-R doivent être utilisés lorsque vous avez pris des données fréquemment. La fréquence à laquelle vous tracez des points sur les graphiques dépend de la taille de votre sous-groupe. Par exemple, si la taille de votre sous-groupe est de quatre, il faudra quatre échantillons avant de calculer la moyenne et la plage et de tracer les points. Si vous ne prenez qu’un échantillon par jour, il faudra quatre jours avant de pouvoir tracer les points. Si le point est hors de contrôle, la raison en est peut-être survenue il y a quatre jours. Cela rend souvent difficile de savoir ce qui s’est passé.

Les graphiques X-R doivent être utilisés si vous pouvez rationnellement sous-grouper les données et si vous souhaitez détecter les différences entre les sous-groupes au fil du temps. Cela signifie qu’il devrait y avoir une base logique pour la façon dont les sous-groupes sont formés. Ils devraient être formés pour examiner la variation qui vous intéresse. Vous pourriez être intéressé par la variation d’un jour à l’autre. Dans ce cas, des échantillons d’un jour seraient utilisés pour former un sous-groupe. Le graphique X examinerait la variation d’un jour à l’autre, tandis que le graphique R examinerait la variation au cours d’une journée.

Le graphique R est une mesure de la variation à court terme du processus. Des sous-groupes devraient être formés pour minimiser la quantité de variation au sein d’un sous-groupe. Cela amène le graphique X à effectuer le travail de détection des modifications de processus.

Étapes de construction d’un diagramme X-R

Les étapes de construction d’un diagramme X-R sont données ci-dessous.

1. Rassemblez les données.

a. Sélectionnez la taille du sous-groupe (n). Les tailles typiques des sous-groupes sont de 4 à 5. Le concept de sous-groupe rationnel doit être considéré. L’objectif est de minimiser la quantité de variation au sein d’un sous-groupe. Cela nous aide à « voir » plus facilement la variation du graphique des moyennes.
b. Sélectionnez la fréquence à laquelle les données seront collectées. Les données doivent être collectées dans l’ordre dans lequel elles sont générées (dans la plupart des cas).
c. Sélectionnez le nombre de sous-groupes (k) à collecter avant le calcul des limites de contrôle. Vous pouvez commencer avec des limites de contrôle initiales après dix sous-groupes, mais recalculez les limites à chaque fois jusqu’à atteindre vingt sous-groupes.
d. Pour chaque sous-groupe, consignez les résultats individuels et indépendants de l’échantillon.
e. Pour chaque sous-groupe, calculez la moyenne du sous-groupe:

où n est la taille du sous-groupe.
f. Pour chaque sous-groupe, calculez la plage de sous-groupes:

R= Xmax-Xmin

où Xmax est le résultat d’échantillon individuel maximal dans le sous-groupe et Xmin est le résultat d’échantillon individuel minimal dans le sous-groupe.

2. Tracez les données.

a. Sélectionnez les échelles des axes x et y pour les graphiques X et R.
b. Tracez les plages de sous-groupes sur le graphique R et connectez les points consécutifs avec une ligne droite.
c. Tracez les moyennes du sous-groupe sur le graphique X et connectez les points consécutifs avec une ligne droite.

3. Calculez les moyennes globales du processus et les limites de contrôle.

a. Calculez la plage moyenne (Rbar):

où k est le nombre de sous-groupes.
b. Tracez Rbar sur le diagramme de plage sous forme de ligne continue et d’étiquette.
c. Calculez la moyenne globale du processus (Xdbar):

d. Tracez X sur le graphique X sous forme de ligne continue et d’étiquette.
e. Calculez les limites de contrôle pour le graphique R. La limite de contrôle supérieure est donnée par UCLr. La limite de contrôle inférieure est donnée par LCLr.

où D4, D3 sont des constantes du graphique de contrôle qui dépendent de la taille du sous-groupe (voir le tableau ci-dessous).
f. Tracez les limites de contrôle sur le graphique R sous forme de lignes pointillées et d’étiquette.
g. Calculez les limites de contrôle pour le graphique X. La limite de contrôle supérieure est donnée par UCLx. La limite de contrôle inférieure est donnée par LCLx.

où A2 est une constante de graphique de contrôle qui dépend de la taille du sous-groupe (voir le tableau ci-dessous). h. Tracez les limites de contrôle sur le graphique X sous forme de lignes pointillées et d’étiquette.

4. Interpréter les deux graphiques pour un contrôle statistique.

a. Toujours considérer la variation en premier. Si le graphique R est hors de contrôle, les limites de contrôle sur le graphique X ne sont pas valides car vous n’avez pas une bonne estimation de. Tous les tests de contrôle statistique s’appliquent au graphique X. Les points au-delà des limites, le nombre d’essais et la durée des essais s’appliquent au graphique R.

5. Calculez l’écart-type du processus, le cas échéant.

a. Si le graphique R est sous contrôle statistique, l’écart type du processus, s, peut être calculé comme suit ::

où d2 est une constante de graphique de contrôle qui dépend de la taille du sous-groupe (voir le tableau ci-dessous).

Pour calculer les limites de contrôle et estimer l’écart-type du processus, vous devez utiliser les constantes de diagramme de contrôle D4, D3, A2 et d2. Ces constantes de diagramme de contrôle dépendent de la taille du sous-groupe (n). Ces constantes de diagramme de contrôle sont résumées dans le tableau ci-dessous. Par exemple, si votre sous-groupe est 4, alors D4 = 2,282, A2 = 0,729 et d2 = 2,059. Il n’y a pas de valeur pour D3. Cela signifie simplement que le graphique R n’a pas de limite de contrôle inférieure lorsque la taille du sous-groupe est de 4.

Summary

This publication has introduced the X-R chart. Quand vous devriez utiliser un graphique X-R a été couvert ainsi que les étapes de construction du graphique.