Si un sommet est incliné sur une surface horizontale et filé rapidement, son axe de rotation commence à précéder autour de la verticale. Après un court intervalle, le sommet s’installe dans un mouvement dans lequel chaque point de son axe de rotation suit un chemin circulaire. La force de gravité verticale produit un couple horizontal τ autour du point de contact avec la surface; le sommet tourne dans le sens de ce couple avec une vitesse angulaire Ω telle qu’à tout moment

τ= Ω × L, {\displaystyle {\boldsymbol{\tau}} = \mathbf{\Omega}\times\mathbf{L}, }

où L est le moment angulaire instantané du sommet.

Au départ, cependant, il n’y a pas de précession et le sommet tombe directement vers le bas. Cela donne lieu à un déséquilibre des couples qui déclenche la précession. En tombant, le sommet dépasse le niveau auquel il précéderait régulièrement et oscille ensuite autour de ce niveau. Cette oscillation est appelée nutation. Si le mouvement est amorti, les oscillations s’atténueront jusqu’à ce que le mouvement soit une précession constante.

La physique de la nutation dans les sommets et les gyroscopes peut être explorée en utilisant le modèle d’un sommet symétrique lourd dont la pointe est fixe. (Un sommet symétrique est un sommet à symétrie de rotation, ou plus généralement un sommet dans lequel deux des trois moments principaux d’inertie sont égaux.) Initialement, l’effet de friction est ignoré. Le mouvement du sommet peut être décrit par trois angles d’Euler : l’angle d’inclinaison θ entre l’axe de symétrie du sommet et la verticale ; l’azimut φ du sommet autour de la verticale ; et l’angle de rotation ψ du sommet autour de son propre axe. Ainsi, la précession est le changement de φ et la nutation est le changement de θ.

Si le sommet a une masse M et que son centre de masse est à une distance l du point pivot, son potentiel gravitationnel par rapport au plan du support est

V = M g l cos ⁡(θ). {\displaystyle V= Mgl\cos(\thêta).}

Dans un système de coordonnées où l’axe z est l’axe de symétrie, le sommet a des vitesses angulaires ω1, ω2, ω3 et des moments d’inertie I1, I2, I3 autour des axes x, y et z. Puisque nous prenons un sommet symétrique, nous avons I1 = I2. L’énergie cinétique est

E r = 1 2 I 1 (ω 1 2 + ω 2 2) + 1 2 I 3 ω 3 2. {\displaystyle E_ {\text{r}} = {\frac{1}{2}} I_{1}\left(\omega _{1}^{2}+\ omega _{2}^{2}\ droite) + {\frac{1}{2}} I_{3}\omega_{3}^{2}.}

En termes d’angles d’Euler, c’est

E r = 1 2 I 1 (θ 2 + ϕ 2 sin 2 ⁡(θ)) + 1 2 I 3 (ψ + ϕ cos ⁡(θ))2. {\displaystyle E_ {\text{r}} = {\frac{1}{2}} I_{1}\ left({\dot {\theta}}^{2} +{\dot{\phi}}^{2}\sin^{2} (\theta)\right) +{\frac{1}{2}} I_{3}\left({\dot{\psi}} +{\dot{\phi}}\cos(\theta)\right) ^{{ 2}.}

Si les équations d’Euler-Lagrange sont résolues pour ce système, on constate que le mouvement dépend de deux constantes a et b (chacune liée à une constante de mouvement). Le taux de précession est lié à l’inclinaison par

ϕ= b-a cos ⁡(θ) sin 2 ⁡(θ). {\displaystyle {\dot{\phi}} = {\frac{b-a\cos(\thêta)}{\sin^{2}(\thêta)}}.}

L’inclinaison est déterminée par une équation différentielle pour u = cos(θ) de la forme

u 2= f(u) {\displaystyle {\dot{u}}^{2} =f(u)}

où f est un polynôme cubique qui dépend des paramètres a et b ainsi que des constantes liées à l’énergie et au couple gravitationnel. Les racines de f sont les cosinus des angles pour lesquels la vitesse de variation de θ est nulle. L’un d’eux n’est pas lié à un angle physique; les deux autres déterminent les limites supérieure et inférieure de l’angle d’inclinaison, entre lesquelles le gyroscope oscille.