En mathématiques, un anneau est une structure algébrique avec deux opérations binaires, communément appelées addition et multiplication. Ces opérations sont définies de manière à émuler et généraliser les entiers. D’autres exemples courants d’anneaux incluent l’anneau de polynômes d’une variable à coefficients réels, ou un anneau de matrices carrées d’une dimension donnée.

Pour être considéré comme un anneau, l’addition doit être commutative et chaque élément doit avoir un inverse sous addition : par exemple, l’inverse additif de 3 est -3. Cependant, la multiplication en général ne satisfait pas ces propriétés. Un anneau dans lequel la multiplication est commutative et chaque élément à l’exception de l’élément d’identité additive (0) a un inverse multiplicatif (réciproque) est appelé un champ: par exemple, l’ensemble des nombres rationnels. (Le seul anneau dans lequel 0 a un inverse est l’anneau trivial d’un seul élément.)

Un anneau peut avoir un nombre fini ou infini d’éléments. Un exemple d’anneau avec un nombre fini d’éléments est , l’ensemble des restes lorsqu’un entier est divisé par 5, c’est-à-dire l’ensemble {0,1,2,3,4} avec des opérations telles que 4 + 4 = 3 car 8 a le reste 3 lorsqu’il est divisé par 5. Un anneau similaire peut être formé pour d’autres valeurs positives de .

Définition formelle

Un anneau est un ensemble R équipé de deux opérations binaires, généralement notées + et · et appelées respectivement addition et multiplication, telles que :

• (R, +) est un groupe abélien
• La multiplication est associative
• Les lois distributives gauche et droite tiennent :
  • a ·(b +c) =(a·b) +(a ·c)
  • (a + b) ·c =(a · c) +(b · c)

En pratique, le symbole · est généralement omis et la multiplication est simplement désignée par juxtaposition. L’ordre habituel des opérations est également supposé, de sorte que a + bc est une abréviation de a + (b * c). La propriété distributive est spécifiée séparément pour la multiplication à gauche et à droite pour couvrir les cas où la multiplication n’est pas commutative, comme un anneau de matrices.

Types d’anneaux

Anneau unitaire

Un anneau dans lequel il y a un élément d’identité pour la multiplication est appelé anneau unitaire, anneau unitaire ou simplement anneau avec identité. L’élément identité est généralement noté 1. Certains auteurs, notamment Bourbaki, exigent que leurs anneaux aient un élément d’identité, et appellent des anneaux sans pseudonymes d’identité.

Anneau commutatif

Un anneau dans lequel l’opération de multiplication est commutative est appelé anneau commutatif. De tels anneaux commutatifs sont l’objet d’étude de base en algèbre commutative, dans laquelle les anneaux sont généralement également supposés avoir une unité.

Anneau de division

Pour plus d’informations, voir : Anneau de division.

Un anneau unitaire dans lequel chaque élément a non nul a un inverse, c’est−à−dire un élément a−1 tel que a-1a = aa-1 = 1, est appelé anneau de division ou champ de biais.

Homomorphismes d’anneaux

Un homomorphisme d’anneaux est un mappage d’un anneau à un anneau respectant les opérations de l’anneau. Autrement dit,

Si les anneaux sont unitaires, on suppose souvent que mappe l’élément d’identité de à l’élément d’identité de .

Un homomorphisme peut mapper un ensemble plus grand sur un ensemble plus petit ; par exemple, l’anneau pourrait être les entiers et pourrait être mappé sur l’anneau trivial qui ne contient que l’élément unique .

Sous-anneaux

Si est un anneau, un sous-ensemble de est appelé sous-anneau si est un anneau sous les opérations en anneau héritées de . On peut voir que cela équivaut à exiger que soit fermé sous multiplication et soustraction.

Si est unitaire, certains auteurs exigent qu’un sous-anneau de contienne l’unité de .

Idéaux

Un idéal bilatéral d’un anneau est une sous-bague telle que pour tout élément dans et tout élément dans nous avons que et sont des éléments de . Le concept d’idéal d’anneau correspond au concept de sous-groupes normaux d’un groupe. Ainsi, on peut introduire une relation d’équivalence sur en déclarant que deux éléments de sont équivalents si leur différence est un élément de . L’ensemble des classes d’équivalence est alors désigné par et est un anneau avec les opérations induites.

Si est un homomorphisme d’anneau, alors le noyau de h, défini comme l’image inverse de 0, , est un idéal de . Inversement, si est un idéal de , alors il existe un homomorphisme d’anneau naturel, l’homomorphisme de quotient, de tel que est l’ensemble de tous les éléments mappés à 0 dans .

Exemples

• L’anneau trivial {0} est constitué d’un seul élément, qui sert à la fois d’identité additive et multiplicative.
• Les entiers forment un anneau avec addition et multiplication définies comme d’habitude. C’est un anneau commutatif.
  • Les nombres rationnels, réels et complexes forment chacun des anneaux commutatifs.
• L’ensemble des polynômes forme un anneau commutatif.
• L’ensemble des matrices carrées forme un anneau sous addition par composant et multiplication matricielle. Cet anneau n’est pas commutatif si n>1.
• L’ensemble de toutes les fonctions continues à valeurs réelles définies sur l’intervalle forme un anneau sous addition et multiplication ponctuelles.

Construire de nouveaux anneaux à partir de ceux donnés

• Pour chaque anneau nous pouvons définir l’anneau opposé en inversant la multiplication dans . Étant donné la multiplication dans , la multiplication dans est définie comme . La « carte d’identité » de , mappant chaque élément sur lui-même, est un isomorphisme si et seulement si est commutative. Cependant, même si n’est pas commutatif, il est toujours possible que et soient isomorphes en utilisant une carte différente. Par exemple, si est l’anneau de matrices de nombres réels, alors la carte de transposition de , mappant chaque matrice à sa transposition, est une matrice de transposition. isomorphisme.
• Le centre d’un anneau est l’ensemble des éléments de qui commuent avec chaque élément de ; c’est-à-dire que est un élément de la centrez si pour chaque . Le centre est un sous-anneau de . On dit qu’un sous-anneau de est central s’il s’agit d’un sous-anneau du centre de .
• Le produit direct de deux anneaux R et S est le produit cartésien R×S avec les opérations

(r1, s1)+(r2, s2) =(r1 + r2, s1+s2) et (r1, s1)(r2, s2) =(r1r2, s1s2). Avec ces opérations, R×S est un anneau.

• Plus généralement, pour tout ensemble d’index J et collection d’anneaux , le produit direct et la somme directe existent.
  • Le produit direct est la collection de « tuples infinis » avec l’addition et la multiplication par composants comme opérations.
  • La somme directe d’une collection d’anneaux est le sous-anneau du produit direct constitué de tous les tuples infinis avec la propriété que rj = 0 pour tous les j sauf finiment nombreux. En particulier, si J est fini, alors la somme directe et le produit direct sont isomorphes, mais en général ils ont des propriétés très différentes.
• Comme tout anneau est à la fois un module gauche et un module droit sur lui-même, il est possible de construire le produit tensoriel de R sur un anneau S avec un autre anneau T pour obtenir un autre anneau, à condition que S soit un sous-anneau central de R et T.

Histoire

L’étude des anneaux provient de l’étude des anneaux polynomiaux et des champs de nombres algébriques dans la seconde moitié du XIXe siècle, entre autres par Richard Dedekind. Le terme anneau lui-même, cependant, a été inventé par David Hilbert en 1897.

Voir aussi

• Glossaire de la théorie des anneaux
• Algèbre sur un anneau commutatif
• Anneau non associatif

• Types spéciaux d’anneaux:
  • Anneau commutatif
  • Anneau de division
  • Champ
  • Domaine intégral (ID)
  • Domaine Idéal principal (PID)
  • Domaine de factorisation unique (UFD)
• Constructions d’anneaux
  • Anneau de groupe
  • Anneau matriciel
  • Anneau polynomial
• Anneaux à structure ajoutée
  • Anneau différentiel
  • Domaine euclidien (ED)