Configuration physique

Notre objectif est de fournir des bornes quantitatives ultimes applicables à toute procédure de refroidissement — à savoir, nous souhaitons trouver une borne inférieure pour la température qu’un système peut atteindre après tout processus qui utilise certaines ressources données ou dure un temps donné t. Par conséquent, nous devons permettre la transformation quantique la plus générale, c’est-à-dire celles qui respectent la conservation totale de l’énergie et sont réversibles au microscope (unitaires). Cette configuration générale comprend des protocoles thermodynamiquement irréversibles ainsi que des protocoles irréalistes où un contrôle total des degrés de liberté microscopiques du bain est requis. Étonnamment, nous constaterons ici, comme cela a été constaté pour le cas de la deuxième loi25,27, 29, 30, qu’avoir un tel degré de contrôle irréaliste ne semble pas donner un avantage par rapport à un contrôle très grossier.

Nous montrerons que la densité des états du réservoir aidant le processus de refroidissement a un impact important sur la vitesse à laquelle un système peut être refroidi. (La densité d’états Ω(E) est le nombre d’états avec l’énergie E.) Nous voyons que plus Ω (E) croît rapidement, plus la température peut être atteinte avec des ressources fixes ou dans un laps de temps fixe. Encore plus: si Ω(E) croît exponentiellement ou plus rapidement, alors le refroidissement au zéro absolu en temps fini est en principe possible, ce qui permet une violation de la troisième loi. Cependant, nous verrons que Ω(E) exponentielle ou super-exponentielle doit être considérée comme non physique. Cela devient plus intuitif lorsqu’il est exprimé en termes de capacité thermique (micro-canonique) C(E), liée à S(E) = ln Ω(E) via

où les nombres premiers représentent les différentiels. Si Ω(E) croît exponentiellement ou plus rapidement, alors C(E) est infini ou négatif, ce qui est considéré comme non physique. Si Ω(E) est sous-exponentielle, alors C(E) est positif. Et, plus Ω(E) croît rapidement, plus C(E) est grand. Seul un réservoir avec un espace de Hilbert de dimension infinie peut maintenir S(E) en croissance pour tous les E. Et en effet, les réservoirs de dimension infinie sont ceux qui permettent un refroidissement plus rapide. Cependant, nos résultats sont généraux et s’appliquent également au cas de dimension finie.

Supposons que nous voulons refroidir un système quantique de dimension d’espace de Hilbert d, et le hamiltonien HS ayant une dégénérescence de l’état fondamental g, un écart au-dessus de l’état fondamental Δ et la plus grande énergie J. Quelles sont les ressources nécessaires pour le faire?

Hypothèses fondamentales

Précisons la configuration plus concrètement et rassemblons les hypothèses que nous adopterons (celles qui proviennent des principes premiers) :

(i)Nous considérons que le début du processus se fait lorsque le système n’a pas encore été mis en contact avec le système de stockage de travail (le poids) ni le réservoir, de sorte qu’au départ, l’état global est pS⊗pB⊗pW. Bien qu’un autre scénario de départ initial puisse être intéressant, son examen dépasse le cadre du présent document.

(ii) Nous permettons la transformation quantique la plus générale sur le système, le bain et le poids, qui est réversible (unitaire) et préserve l’énergie totale. Cela peut sembler restrictif par rapport aux paradigmes qui autorisent des termes d’interaction arbitraires, mais ce n’est pas le cas, car des interactions arbitraires peuvent être incorporées dans le modèle comme indiqué à l’annexe H de la réf. 27 et en réf. 25, simplement en laissant l’énergie du système de travail fluctuer. Dans de nombreux paradigmes, cela est implicitement appliqué en supposant que toute l’énergie manquante est comptée comme travail. Les paradigmes qui relâchent cette condition ignorent essentiellement l’énergie transférée à d’autres systèmes, ou traitent ces autres systèmes comme classiques. Essentiellement, nous imposons la conservation de l’énergie pour nous assurer de bien tenir compte de tous les coûts énergétiques associés à l’interaction tandis que les différents unitaires ou termes d’interaction transfèrent ou prennent simplement l’énergie du poids pour compenser. Le processus de refroidissement est donc toute transformation de la forme

où U est une unité globale satisfaisant

(iii) Le travail qui est consommé dans la transformation est pris du poids. Puisque nous nous intéressons aux limitations ultimes, nous considérons un poids idéalisé avec un Hamiltonien ayant un spectre continu et illimité . Tout autre système de travail peut être simulé avec celui-ci30. Nous désignons par wmax la valeur dans le pire des cas du travail consommé, c’est-à-dire que

wmax sera généralement beaucoup plus grand que le travail moyenWW〉. Dans tout processus physiquement raisonnable effectué en temps fini, on s’attend à ce qu’il soit fini.

(iv) Nous avons également besoin, comme dans ref. 29, que la transformation de refroidissement commute avec les translations sur le poids. En d’autres termes, le fonctionnement de la machine thermique est indépendant de l’origine des énergies du poids, de sorte qu’il dépend juste de la quantité de travail fournie par le poids. Cela peut être compris comme définissant ce qu’est le travail — c’est simplement le changement d’énergie que nous pouvons induire sur un système externe. Cela garantit également que le poids n’est qu’un mécanisme de livraison ou de stockage de travail, et n’est pas, par exemple, un vidage entropique (voir le Résultat 1 dans la Discussion complémentaire). Il garantit également que le processus de refroidissement laisse toujours le poids dans un état qui peut être utilisé lors du prochain cycle ou du processus. Ainsi

où l’opérateur hermitien Π agit comme pour tous . Au-delà, nous permettons que l’état initial du poids pW soit arbitraire. En particulier, il peut être cohérent, ce qui présente un avantage27.

(v)On suppose que le bain a un volume V et est à l’état thermique à température inverse donnée , avec ZB la fonction de partition du bain. On désigne la densité d’énergie libre du bain (à l’état canonique pB) par .

(vi) La capacité thermique micro-canonique (2) n’est pas négative C(E) pour toutes les énergies E. Cela implique que S(E) est sublinéaire dans E. Nous prouvons également dans les Méthodes supplémentaires que si S(E) croît linéairement ou plus rapidement, un refroidissement parfait en temps fini est possible.

Avec ces hypothèses, nous montrons que pour refroidir parfaitement le système au zéro absolu, au moins une de ces deux ressources, le volume du bain V, ou la valeur dans le pire des cas du travail consommé wmax doit être infinie. De plus, nous avons lié la température la plus basse réalisable du système en termes de V et de wmax.

Quantifiant l’inaccessibilité à partir des premiers principes

Avec les hypothèses (i)–(vi), nous considérons deux cas, l’un où les états initial et final sont thermiques, et l’autre où nous autorisons des états initial et final arbitraires. Notre premier résultat concerne le premier et indique que dans tout processus où le travail le plus défavorable injecté est wmax, la température finale du système ne peut pas être inférieure à

dans la grande limite wmax, V. La densité d’énergie libre micro-canonique à température inverse β0 est définie par

où E0 est la solution de l’équation S'(E0) =β0. Rappelons que, lorsque le volume du bain V est important, il arrive généralement que fmic(β0) = fcan(β0) et ceux-ci sont indépendants de V.

Analysons le comportement de l’équation(7) en termes de ressources investies. À mesure que wmax croît, β0 diminue et fmic augmente, ce qui donne une température finale inférieure . Étant donné que toute la dépendance volumique dans l’équation (7) est explicite, un V plus grand se traduit également par une température finale plus basse.

Dans ce qui suit, nous fournissons une borne pour la famille d’entropies physiquement pertinente

où α >0 et ν∈[1/2,1) sont deux constantes. Une telle entropie est étendue, et si nous plaçons elle décrit le rayonnement électromagnétique (ou tout champ bosonique sans masse) dans une boîte de dimension D de volume V. On pense généralement qu’il n’y a pas d’autre réservoir qui ait une densité d’états croissant plus rapidement avec E que celle-ci36, et certainement aucun qui ait ν≥1. Le dernier correspond au bain à capacité thermique négative discuté précédemment, ce qui permet un refroidissement avec wmax fini. Dans la Discussion complémentaire, nous adaptons la borne (7) à l’entropie (9), en obtenant

jusqu’aux termes principaux. Maintenant, toute la dépendance à V et wmax est explicite. En particulier, nous observons que des valeurs plus grandes de V et de wmax permettent des températures plus basses. Et aussi, des valeurs plus grandes de ν, ce qui équivaut à une croissance plus rapide de l’entropie, permettant des températures plus basses.

Comme mentionné ci-dessus, les processus de refroidissement que nous considérons sont très généraux. En particulier, ils peuvent modifier l’Hamiltonien du système au cours du processus, tant que l’Hamiltonien final est identique à l’hamiltonien initial HS. Ceci exclut la méthode de refroidissement inintéressante consistant à redimensionner le hamiltonien HS→0. Cependant, nos limites peuvent facilement être adaptées au processus où le Hamiltonien final diffère du hamiltonien initial, comme nous le verrons dans la conclusion.

Considérons maintenant le cas plus général, où ni l’état initial ni l’état final n’ont besoin d’être thermiques, mais peuvent être arbitraires. Comme il est déjà bien connu14,15, 17, 18, 30, l’inaccessibilité du zéro absolu n’est pas une conséquence du fait que l’état cible a une faible énergie, mais plutôt qu’il a une faible entropie. Par conséquent, cela se traduit directement par l’inaccessibilité de tout état pur, ou plus généralement de tout état de rang g inférieur à l’état initial. Ce type de processus est généralement connu sous le nom d’effacement de l’information ou de purification. Maintenant, nous analysons les limites de tout processus qui prend un état initial arbitraire pS et le transforme en un état final avec support sur le projecteur de rang g P. Nous quantifions l’inexactitude de la transformation par l’erreur . Par souci de clarté, nous supposons que le système a un hamiltonien trivial HS = 0 (le cas général est traité dans la Discussion supplémentaire), et nous désignons par λmin et λmax les valeurs propres les plus petites et les plus grandes de pS. Dans les Méthodes complémentaires, nous montrons que tout processus pS→ a une erreur

Les résultats présentés ci-dessus, ainsi que d’autres plus généraux présentés dans la Discussion Complémentaire, quantifient notre capacité à refroidir un système (ou plus généralement, à le mettre dans un état de rang réduit), en termes de deux ressources: le volume du bain V, et la fluctuation dans le pire des cas du travail consommé wmax. Elles constituent donc une forme de troisième loi, en ce sens qu’elles placent une borne sur le refroidissement, compte tenu de ressources finies. Nous souhaitons maintenant traduire cela par le temps qu’il faudrait pour refroidir le système, et nous le ferons, en considérant la notion de machine thermique et en faisant deux hypothèses physiquement raisonnables.

Machines thermiques

Rappelons que le domaine de la complexité informatique est basé sur la thèse de Church-Turing — l’idée que nous considérons un ordinateur comme une machine de Turing, puis explorons comment le temps de calcul évolue avec la taille du problème. Différentes machines peuvent fonctionner différemment — la tête de l’ordinateur peut se déplacer plus ou moins vite sur la bande mémoire; les informations peuvent être stockées en bits ou dans des unités de mémoire de dimensions supérieures, et la tête peut écrire dans cette mémoire à des vitesses différentes. La nature ne semble pas imposer de limite fondamentale à la dimension d’une unité de mémoire d’ordinateur ou à la vitesse à laquelle elle peut être écrite. Cependant, pour toute réalisation physiquement raisonnable d’un ordinateur, et quelle que soit la vitesse de ces opérations, il est fixe et fini, et ce n’est qu’alors que nous examinons l’échelle du temps avec la taille du problème. Et ce qui est important, c’est la mise à l’échelle globale du temps avec l’entrée (polynomiale ou exponentielle), plutôt que des constantes. De même ici, nous considérerons une machine thermique fixe, et nous supposerons qu’elle ne peut transférer une quantité finie d’énergie dans le bain de chaleur qu’en un temps fini. De même, dans un temps fini, il ne peut pas explorer un bain de chaleur de taille infinie. Une machine thermique qui a fait autrement serait physiquement déraisonnable.

Nous pouvons considérer à la fois V et wmax comme des fonctions monotones du temps t. Plus notre machine thermique tourne longtemps, plus elle peut pomper de travail dans le bain de chaleur et plus le volume du bain qu’elle peut explorer est important. Pour toute machine thermique particulière, on peut mettre une borne finie sur en substituant ces fonctions dans l’équation (10). En particulier, si l’on suppose que l’interaction est médiée par la dynamique d’un Hamiltonien local, alors l’interaction d’un système avec un bain de volume V et de dimension spatiale d prendra du temps

où v est proportionnel à la vitesse du son dans le bain (ou vitesse de Lieb–Robinson 37), et V1/D à la dimension linéaire du bain. La mise en œuvre des unitaires généraux prend beaucoup plus de temps que l’équation (12), mais cela sert de borne inférieure. Puisque nous nous intéressons ici à l’échelle de la température avec le temps, plutôt qu’avec des facteurs constants, nous n’avons pas besoin de nous inquiéter du fait que les machines thermiques pratiques fonctionnent à des vitesses beaucoup plus lentes. Bien sûr, tout comme pour les ordinateurs réels, les machines thermiques ont généralement des vitesses bien inférieures à la limite de Lieb–Robinson. Notez que, bien que V soit fini, l’espace de Hilbert du bain peut être de dimension infinie. Si l’on voulait avoir une borne indépendante de la machine thermique, et indépendante de la vitesse du son qui est une propriété du bain, alors on pourrait toujours prendre v pour la vitesse de la lumière. Bien qu’une telle limite ne soit pas pertinente dans la pratique, elle serait fondamentale. Ceci est similaire aux bornes du calcul, où pour obtenir une borne fondamentale, il faut prendre la vitesse de la porte pour être infinie (puisqu’il n’y a pas de borne fondamentale à ce sujet) et convertir le nombre de bits utilisés dans le processus en temps en multipliant par la vitesse de la lumière.

Une relation entre le travail dans le pire des cas wmax et le temps t est obtenue en remarquant ce qui suit. En t fini, il n’est pas possible d’injecter dans le bain une quantité infinie de travail. Pour simplifier, nous supposons ici une relation linéaire

où la constante u dépendra des interactions entre le système et le poids. Cependant, nous soulignons que, si une configuration physique particulière est mal modélisée par les relations (12) et (13), alors toute autre liaison t≥h1 (wmax) et t≥h2 (V) est également bonne. Tant que h1 et h2 sont des fonctions strictement monotones, le principe d’inaccessibilité tiendra.

Limitations en utilisant des machines thermiques

Pour toute machine thermique particulière, nous pouvons maintenant déduire des limitations sur la température pouvant être atteinte dans un temps t donné. Comme le système physique dont nous connaissons la croissance entropique la plus rapide est le rayonnement, il vaut la peine de consacrer le paragraphe suivant au cas dans l’équation (9), car cela devrait fournir une limite avec une large validité. En utilisant les relations particulières (12) et (13), et en les remplaçant dans l’équation (10), pour le cas du rayonnement, on obtient

dans la grande limite t. Notre borne (14) peut être adaptée directement à toute autre relation t≥h1 (wmax) et t≥h2 (V). Il est intéressant d’observer dans l’équation (14) la relation entre le temps caractéristique (combien de temps faut-il pour refroidir à un fixe) et la taille du système VS. En exploitant la relation habituelle ln d∝VS, nous obtenons la mise à l’échelle sublinéaire

Quelque chose de préoccupant à propos de result(11) est que, dans la limite λmin→0, la limite devient triviale . Ceci peut être résolu en tronquant l’état initial pS au sous-espace contenant les k plus grandes valeurs propres et en optimisant la borne résultante pour en fonction de k. De plus, cette méthode de troncature permet d’étendre tous nos résultats à des systèmes de dimension infinie (d=∞).