Una legge di potenza è una relazione in cui un cambiamento relativo in una quantità dà luogo ad un cambiamento relativo proporzionale nell’altra quantità, indipendente dalla dimensione iniziale di tali quantità.

Un esempio è l’area di una regione quadrata in termini di lunghezza del suo lato. Se raddoppiamo la lunghezza moltiplichiamo l’area per un fattore di quattro. Allo stesso modo, se raddoppiamo la lunghezza di un lato di un cubo, moltiplichiamo il volume del cubo di un fattore otto. Ognuno di questi è un esempio di una relazione di legge di potere. Ciò che è importante è che i fattori non dipendono da quanto è grande il quadrato o il cubo per cominciare.

Questi esempi mostrano che le leggi di potenza differiscono per una quantità come la dimensione dello spazio. Le dimensioni di un quadrato e di un cubo sono rispettivamente 2 e 3, quindi quando moltiplichiamo la lunghezza di un lato per 2, moltiplichiamo l’area e il volume per 2^2 e 2^3 rispettivamente. Maggiore è la dimensione di un oggetto, maggiore è il multiplo che useremmo. La dimensione in una legge di potenza può essere qualsiasi numero: positivo, negativo o frazionario. Le dimensioni frazionarie hanno dato origine al concetto di frattali (anche se potremmo anche pensare a un lato di un cubo come ad avere una dimensione frazionaria di 1/3 rispetto al volume, poiché moltiplicando il volume per un fattore di 8 aumenta il lato di un fattore di 8^(1/3), o 2).

Una legge di potenza può essere trasformata in una relazione lineare se tracciamo le variabili su assi logaritmici. Tracciare due quantità l’una contro l’altra in questo modo è il modo in cui generalmente determiniamo se hanno una relazione di legge di potere.

Le leggi di potenza sono molto importanti perché rivelano una regolarità sottostante nelle proprietà dei sistemi. Spesso i sistemi altamente complessi hanno proprietà in cui i cambiamenti tra fenomeni a diverse scale sono indipendenti da quali scale particolari stiamo guardando. L’immagine che prendiamo in una scala è quindi simile in qualche modo all’immagine che prendiamo in un’altra scala. Questa proprietà auto-simile è alla base delle relazioni di legge di potere.

Le proprietà di molti sistemi naturali e umani seguono le leggi di potenza. Un esempio particolare di una legge di potere è una relazione inversa, che ha una dimensione di -1. La frequenza dei terremoti varia inversamente con la loro intensità. Il numero di città con una certa popolazione varia inversamente in funzione di quella popolazione. Il numero di persone che hanno un dato reddito, è anche circa inversamente correlato a quel reddito.

Concetti correlati: Frattali, Scala

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